浅谈数形结合思想1.doc

［获奖论文联展］数形结合思想在解题中的应用2009-01-27摘要：数形结合是数学解题中常用的思想方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、 抽象问题具体化；能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维，有助于把握 数学问题的木质所谓数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系分析其代数 含义，又揭示其几何直观，使数量关系与空间形式和谐结合在一起的方法木文通过“以形 助数”和“以数助形”这两大题型的具体分析，揭示出“数”与“形”之间的紧密关系，从 而把问题优化，获得解决关键词：数形转换数形结合Application of the combination of Algebra andgeometry in solving problemsAbstract: As a thinking method , the combination of algebra and geometry is often available , which can simplify complicated problems, specify the abstract ones, and turn the abstract shapes and thought to be visual , and is accordingly helpful to grasp the essence of mathematics . The so called combination is an approach , which not only analyze meaning of algebra ,but also disclose the significance of geometry according to the inside relationship of conditions and conclusions , and harmoniously combines the form of number and space as one . This article will set forth the tight contact between algebra and geometry throughout the analysis of two typical styles "Geometry helps understand algebra" and "Algebra helps understand geometry,, ,in order to solve relevant problems well.Keyword: the transfer of algebra and geometry the combination of algebra and geometry数学以现实世界的数量关系和空间形式作为其研究的对象，而数和形是相互联系，也是 可以相互转化的。

把问题的数量关系与空间形式结合起来考察，或者把数量关系转化成图形 的性质问题，或者把图形的性质转化成数量关系问题，这种处理问题的思想与方法就是数形 结合的思想方法早•在数学萌芽时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形联系起来了 我国宋元时期，系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形 之间的几何关系表达成代数式之间的代数关系1 7世纪上半叶，法国数学家笛卡儿以坐标为 桥梁，在点与数对之间、曲线与方程之间建立起来对应关系，用代数方法研究几何问题，从 而创立了解析几何学后来，几何学中许多长期不能解决的问题，例如立方倍积、三等分任 意角、化圆为方等问题，最终也借助于代数方法得到了完满的解决即使在近代和现代数学 的研究中，几何问题的代数化也是一条重要的方法原则，有着广泛的应用沟通数与形的内在联系，不仅使几何学获得了代数化的有力工具，也使许多代数学和数 学分析的课题具有了明显的直观性，在数学解题中，运用数形结合思想，就是根据问题的具 体情形，或者把图形性质问题转化成数量关系来研究，后者把数量关系问题转化成图形性质 来研究，以便以数助形或以形助数，使问题简单化、抽象问题具体化。

在数学学习中，不单纯是数的计算与形的研究，更多的是用数形结合思想解题恩格斯 曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学数形结合就是根据数学问题 的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻 划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使 问题化难为易、化繁为简，从而得到解决数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数” 和“形”的矛盾的统一华罗庚先生说过：“数缺形时少宜观，形少数时难入微，数形结合百般 好，隔裂分家万事休数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题 与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化在运用数形结合思想 分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代 数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、 合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范 围O以下就对数形结合思想在解题中的应用从“以形助数”和“以数助形”这两方面试做一番探 讨。

一、由数到形，利用形的直观性开拓解题思路很多数学问题，本身是代数方面的问题，但通过观察可发现它具有某种几何特征，由于 这种几何特征可以发现数与形之间的新关系，使问题获解一） 借助于方程的曲线解决最值问题例1巳知*,诏捉矜-3点最大ft与景小值 lb Z jO对于二层财-3^^^^粘 "承常采用分析： 16 25构造直•线的截距的方法来求之令J^y = 3jr4-A,林:为.在IN唯+费=1上求一点.使典点的宜线斜率为3,且母辑上的截距"M小，由圈矽n・当直线八3g与捕U名+加包时，有"tt与尊小截距图1）＞ = 3x+A一 =＞ 169xJ + 96bx+Ub2 -400 = 0W + 25 =由A = 0,尚=13,故＞-3x的大值为13,最小值为-l义（二）借助于函数图象解决取值范围问题若集合酎+球邸＜5集合n = （kjjr = *+△} fiAfn n# e ， ，败的啊融冏为w分析：M=^x^ = 9,0 c,51|以3为半径的圆在x轴上方的部分，（如图），N表一条直线，其斜率k=1,纵截距我6,由图形易脚，饿使Mn"0, BP是使宜绮M*+白与半围有公?蹈园6的彖村8近值为_3,最大ft为常，叩-3 3＜永反(图2)例3若-3<<2,则x的取值范围是( )A、(- ,) B、(，)C、, 0) e (, +) D. (-, - ) e (, +) y析：木题若用常规解法则比较花 时间，x｛若用函数y=的图象求解，则比较简单。

如右图不难得出-3<<2的解是x <- 或 x >,选择D （图3）（三）借助于函数图象解决不等式的值域问题例4 W^^SXJF+2 > k常规解法：x^O原不等鲜知X+2S0 x+2>xJ.9K ffo^x<2j 解s，u L综上可知，JK不等式的解集为04-2数形结合解法：= 7^+21方=& 不等式Jx+2 >聃解，就是佚X. = Jx + 2的图<10 =曲上方的鄢段对邮横坐标，如FB9,不等式的解集为包七g < *.}V1B00 B（图4）而X.可由7x+2 = x,解得，x1 = 2,由石代=点定义摘片#之一2》可知叫=一2故不等构》集为何>2 G <2）.说明：这是一个代数问题，若依常规解法即要考虑x>0的情况，又要考虑xvO的情况，缺一 不可；而运用数形结合的方.法，只需设两个函数，再结合其图象，答案一目了然，从而使问 题直观化，得到解决ux+2 / = 例5求函数 8-2的值域解法一（代数法）：由 8M-2得八5-=皿"2x->tfx = -2^-2, 1/yr+in（x+^ =二疯戒戳小莉= . 七 fo|fln（x+<）1^1 W + lI..|书三柘1 T-行<疲+l ,解不等式得3 3（r*z^. rLb/I]A“*+2一力-用 mx^2 y=——函数的值域为 3 3解法二（几何法）： C8X-2的形式类似于斜率公式 勺一E , 8M-2表示过两点4⑵一令*8& A）的直线的斜率。

由于点5在单位圆*"尸=1上（见下图5）显然，〈七^3=i L却设过外的圆的切线方程为=心-2）,则有妒71 ，解得 3L项函数值域为 3（图5）（四）借助于图象解决解决排列组合问题例6某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒 装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有多少种？ 分析：木题主要考查排列组合的基木知识，不定不等式的解法以及借助数形结合思想解决实 际问题的能力解：设需买软片x片、买磁盘y盒,依题意得：60 x+70 y <500, X>3, y>20上述不等式同时成立所表示的平面区域为如右图所示的阴影二角形上整点（x, y ）共有7个，即为（3, 2）、（4, 2）、（5, 2）、（6 , 2 ）、（ 3 , 3 ）、（ 4 , 3 ）、（ 3 , 4 ）,共有7种不同的选购方式图6）（五）借助于复平面上的点解决复数问题例7已知复数三满足”-2-24|=妃，求二的模与辐角主值的范围分析：由于上一2-闾+-（2*初有明显的几何意义，它表示复数了对应的点到复数 2*为对应的点之间的距离，因此满足#-（2+201=4的复数二对应的点堂在以（2, 2） 为圆心，半径为&的圆上，（如下图），而M表示复数二对应的点兽到原点二的距离，显然, 当点堂，圆心U点：三点共线时，M取得最值，M- = 3^•.•M的取值范围为〔也 也同理，当点了在圆上运动变化时，当且仅当有线与该圆相切时，在切点处的点亳 的辐角主值取得最值，利用直线与圆相切，计算，得* = 2整，即压"=2土彳二

1的最大值是多少？分析：由区卜2可知，Z2对应的点在以（0, 0 ）为圆心，以2为半径的圆上，而K l+a - -（-3H表示复数与与- 3+*对应的点的距离，结合图形,易知，此距离的最大值为：I吟=/-3项+（1-驴斗2 =而*2二、从形到数，揭示形中数的本质数学的发展使许多几何问题不再是单纯的图形研究，人们在透过形的外表，触及其内在的数 量特征，探索由图形到数量的联系与规律，即“以数助形”就是将图形信息转化为代数信息， 使要解决的几何问题化为数量关系来实现数形转化一）用代数方法解决平面儿何问题例1 0己知心三顶点是水,求4的平分线AD的长A.B.C画出MA7的边及其"的平分线血）如右图）第二步，观察图形，挖掘图形的特性（…般性或特殊性），通过数量关系证明（肯定或否定） 观察、挖掘出来的特性特性有：（图9）（1） 而上庞；。