分部积分法.ppt课件

§4.3 §4.3 分部分部积分法分法一、一、幂函数与指数函数之函数与指数函数之积三、三、幂函数与函数与对数或反三角函数之数或反三角函数之积四、四、单独的独的对数或反三角函数数或反三角函数五、三角函数与指数函数之五、三角函数与指数函数之积六、多种方法的六、多种方法的综合运用合运用二、二、幂函数与三角函数之函数与三角函数之积运用分部积分法的关键在于运用分部积分法的关键在于的选择能否恰当的选择能否恰当. .的选择原那么是的选择原那么是: :1).1). 要易求得要易求得; ;2).2).要比要比易求易求. .阐明明分部分部积分法公式分法公式或者或者设函数设函数具有延续导数，具有延续导数，由由得得两两边求不定求不定积分，得分，得证明：证明：一、一、幂函数与指数函数之函数与指数函数之积选选例例1.1.求求解解选取适宜选取适宜的助手的助手由分部由分部积分公式分公式, ,得得其中，其中，解解例例2.2.求求选取适宜选取适宜的助手的助手注：假注：假设当被当被积函数是函数是幂函数〔指数函数〔指数为正整数〕与指数函数的正整数〕与指数函数的乘乘积，可，可设幂函数函数为u u，而将其他部分，而将其他部分为v’,v’,使得运用分部使得运用分部积分后，分后，幂函数的函数的幂次降低一次。

次降低一次二、二、幂函数与三角函数之函数与三角函数之积选选或者或者或或解解由分部由分部积分公式分公式, ,得得例例3.3.求求选取适选取适宜的助宜的助手手例例4 求求解解选取适选取适宜的助宜的助手手注：假注：假设当被当被积函数是函数是幂函数〔指数函数〔指数为正整数〕与正〔余〕弦函正整数〕与正〔余〕弦函数的乘数的乘积，可，可设幂函数函数为u u，而将其他部分，而将其他部分为v’,v’,使得运用分部使得运用分部积分后，分后，幂函数的函数的幂次降低一次次降低一次三、三、幂函数与函数与对数或反三角函数之数或反三角函数之积或者或者选选例例5.5.求求选取适选取适宜的助宜的助手手例例6.6.选取适选取适宜的助宜的助手手v注：假注：假设当被当被积函数是函数是幂函数与函数与对数函数或反三角函数的乘数函数或反三角函数的乘积，可，可设对数函数或反三角函数数函数或反三角函数为u u，而将，而将幂函数函数为v’,v’,使使得运用分部得运用分部积分后，分后，对数函数或反三角函数消逝数函数或反三角函数消逝四、四、单独的独的对数或反三角函数数或反三角函数或者或者当被当被积函数函数单纯为对数函数、反三角函数数函数、反三角函数时, ,也用分部也用分部积分公式。

分公式选选例例7.7.解解. .例例8.8.解解. .方法方法1 1，，换元法元法方法方法2 2设同同时用到分部用到分部积分法和分法和换元法元法五、三角函数与指数函数的乘五、三角函数与指数函数的乘积或者或者“打回打回头〞景象〞景象选选或或例例9.9.于是于是, ,解解. .“打回打回头〞景象〞景象v注：假注：假设当被当被积函数是指数函数与正〔余〕弦函数的乘函数是指数函数与正〔余〕弦函数的乘积，，u u和和v’v’可随意可随意选取取, ,但在两次分部但在两次分部积分中，必需分中，必需选用同用同类型的型的u u，以便，以便经过两次分部两次分部积分后分后产生循生循环式，从而解出所求式，从而解出所求积分阐明明在用分部在用分部积分法求不定分法求不定积分分时, ,常出常出现如下情形如下情形: :““打回打回头〞景象〞景象五、多种方法的五、多种方法的综合运用合运用有有时在在积分分过程中程中, ,需求同需求同时用到用到换元法和分部元法和分部积分法分法. .解解例例10.10.令令同同时用到用到换元法和分部元法和分部积分法分法解解: :阐明明: : 此此题假假设先求出先求出再求积分反而复杂. 的一个原函数是求例例11 .11 .知知笼统函数的函数的积分分练习一下求练习一下答案见答案见 例题例题4 4和和6 6。

小小 结两条两条阅历1 1〕分部〕分部积分法的四种情况分法的四种情况2 2〕多种〕多种积分方法的分方法的综合运用合运用2 2〕遇到〕遇到笼统函数的函数的积分要灵敏分要灵敏1 1〕分部积分法的关键是选取适宜的助手，即选择〕分部积分法的关键是选取适宜的助手，即选择适宜的适宜的 。