随机变量及其分布.docx

第二章随机变量及其分布§2.1随机变量概念对于随机试验:E甲，乙两人同时向某目标射击,次中靶情况AB,AB,AB,ABE:S{AB,Ab,ab,ab},X表示射击中靶的次数，对应的取值为；0,1,2定义：随机变量是定义在样本空间S={3}上的一个单值实函数，记作X=X（（o）,简记为X二、分类1、 离散型随机变量2、 非离散型随机变量§ 2.2 离散型随机变量一离散型随机变量的分布设离散型随机变量可能取的值为:x1,x2,,取这些值的概率为P（X=Xi）=pi,i=1,2,…（2.1）称（2.1）式为离散型随机变量X的分布律2.1）式也可以用表格的形式表示如下：XX1X2・・・Xi・・・PPlP2・・・p•••上述表格称为离散型随机变量X的分布列，分布列也可以表示成下列矩阵的形式：XXXRP2P离散型随机变量的分布律，分布列（以及下一节介绍的分布函数）统称为离散型随机变量的概率分布，简称为离散型随机变量的分布根据概率的性质，可知离散型随机变量的分布律具有下列性质 1） pi0,i=1,2,... 2） 2）ipi1常见的几种分布1、单点分布例:若随机变量X只取一个常数值C,即P（X=C）=1,则称X服从单点分布。

也叫退化分布 0-1 分布例：若随机变量X只能取两个数值0或1,其分布为X01pqp0

2 .泊松Poisson定理P41,设有一列二项分布X〜B("Pn),n=1,2,…，如果后叫，为与nn无关的正常数，则对任意固定的非负整数k,均有limPXn k nlimCkPk(1 Pn)nknk-e k!证略例5:P43.例6:P44,自学2.3随机变量的分布函数定义2.1设X是一随机变量（不论是离散型还是非离散型）对任意的实数x,令F(x)P(Xx)(2.11)则称F(x)为X的分布函例1:（书上例2.8）设X服从参数为p的（0-1）分布，即：P(Xk)pkq1k,k=0,1,其中0

二、图形例如：正态分布1(^^)-密度函数f(x)72—e2图形：datanormal;doi=-3to3by0.01;z0=exp(-i**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));output;end;run;procgplotdata=normal;plotz0*i=1;symbol1v=nonei=joinr=1c=black;run;x4(t)2122一，分布函数F(x)『e2出图形:datanormal;dox=-3to5by0.01;y=PROBNORM(x);output;end;run;procgplotdata=normal;ploty*x=1;symbollv=nonei=joinr=1c=black;run;三、性质性质1f(x)0(2.21)性质2f(x)dxF()1(2.22)性质3P(a0,且很小时，有P(x

2 .连续型随机变量X取任一点xo的概率为零即：P(X=X0)=0o3 .连续型随机变量X的密度函数为f(x),则它取值于区间(a,b)、(a,b］、［a,b)、［a,b］上的概率者B相等，即P(aXb)Paxb)P(aXb)P(aXb)aF(b)F(a)卜f(x)dxb同理，aP(Xa)P(Xa)1P(Xa)1F(a)1f(x)dx4 .连续型R.V.X的F(x)是连续函数但kx)不一定是连续的例1:(P51)设计R.V.X具有概率密度Ke3xx0f(x)Ke,x00,x0确定常数K,并求P{X>0.1}指数分布:—ex/x0f(x)e,x00,x0例：(第一版)设R.V.0x1,1X~f(x)—1x03Aexx0(1)确定常数A;(2)写出X的分布函数F(x);(3)P例：(第一版)已知随机变量A1ex,x0X-F(x)2B1ex,x02(1)确定A和B;(2)求f(x)；(3)求P(1X2):、均匀分布例：设R.V.X~f(x)0,a其"b,称X在［a,b］上服从均匀分布1)确P(

如果 X~U[a,b], a c d b的任意则对于的c,d—(d c) b ad1P(cXd)dxcba(2.32)三、指数分布若随机变量X的概率密度为Xf(x)0x0(2.33)其中常数则称X服从参数为的指数分布，相应的分布函数为F(x)1exx00x0(2.34)例：(第一版书上例2.12)经过长期的观测，对某些电子元件的寿命可作如下假定：在已使用了th的条件下，在以后的th内损坏的概率为t0(t)，其中是不依赖于t的常数；电子元件寿命为零的概率是零，求电子元件在内损坏的概率略四、正态分布1、定义：若随机变量X的概率密度为17f⑻2e,x(2.(35)其中，都为常数且0,则称X服从参数为，的正态分布，记为X~N(,2),有时也简称X为正态随机变量X的分布函数为x1(^F(x)e2dt\2(2.(36)2、验证1 (2^ax1fF()，——e2dx令t^=e2dt2 2121edt?223、作出f(x)的图形do i=- 3 to # by 0.0110f'(x)7T、(x(x))「0,得驻°,30Umf(x)0作图SAS®序:datanormal;z0=exp(-i** 2/2)/sqrt( 2*( 3.1415926 ));output;end;run;procgplotdata=normal;plotz0*i=1;symbol1v=nonei=joinr=1c=black;run;注意：一定要和由正态随机数区别开来。

如下面产生的是正态随机数datanormal;retain_seed_0;do_i_=1to1000;z=0+1*rannor(_seed_);output;end;drop_seed_;run;procgplotdata=normal;plotz*_i_=1;symbol1v=nonei=joinr=1c=black;run;4、性质：(1) f(x)的图形是关于直线x二对称的曲线…、1,一,一一(2) f()7^为最大值，当x选离时，f(x)0(3) 当固定而变化时对图形的影响，小f(x)大，分布曲线在x形成陡峭的高峰0.5, 1,2大f(x)小，分布曲线在x变成缓峰2,datanormal;doi=-2to6by0.01;z0=exp(-(i-2)**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));z1=exp(-(i-2)**2/(2*0.25))/(0.5*sqrt(2*(3.1415926)));z2=exp(-(i-2)**2/(2*4))/(2*sqrt(2*(3.1415926)));output;end;procgplotdata=normal;plotz0*i=1z1*i=1z2*i=1/overlay;symbol1v=nonei=joinr=1c=black;run;=2,=0.5,1,2,5,10图形：datanormal;doi=-5to9by0.01;z0=exp(-(i。