几何第01讲-几何的有名定理.doc

第一讲几何的有名定理〔1〕一梅涅劳斯定理Menelaus（公元98年左右），希腊数学家、天文学家，梅涅劳斯定理包含在 其几何著作？球论？里.梅涅劳斯定理设厶ABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线与一条不经过其顶 点的直线交于P、Q、R三点，那么BP CQ AR ,1.PC QA RB梅涅劳斯定理逆定理 设P、Q、R分别是△ AB的三边BC、CA、AB上或它们延长线上三点，假设有BP CQ ARPC QA RB1,那么P、Q、R三点在同一直线上.例题选讲例1. 过厶ABC的重心G的直线分别交AB、BE CFAC 于 E、F，交 CB 于 D求证：一 C- 1 oEA FA证连AG,交BC于M,DEF 截厶 ABM —匹 JAGEA GMMDDBBEEAGM GMAG AGDB2MDDEF截厶AMC — C-墜FA GMMDDCCFFAGM DCAG MDDC2MD故 BE CFEA FA 2MDDC2MD评注也可以添加辅助线证明：过A、B、C之一作DF的平行线分析要证P、Q、R三点共线，只需证明BPPCCAARRB1，利用三角形内例2.设厶ABC的/A的外角平分线与/ B 的延长线交于P, B的平分线与A交于Q, C的 平分线和AB交于R（图15-7）.求证P、Q、R三点 共线.p角及外角平分线的性质不难得到例3.莱莫恩（Lemoine）线如图，过△ ABC的三个顶点 A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延线交于P、Q、R.求证P、Q、R三点 共线.分析欲证p、q、r三点共线，只须证明PC.QA.詈1.证明因AP为圆的切线，所以△ ACP ABP，从而有ABACBP ABAP ' ACAPCPBP Ab 2两式相乘得CF亦同理可得殂QA2BC ARAB2 ' RBCA2BC^BP.CQ塑 1.CP QA RB由梅涅劳斯定理的逆定理得,P、Q、R三点共线,例4.戴沙格〔Desargues〕定理 设厶ABC 和厶A B对应顶点的连线AA , BB , CC交于 一点S,这时如果对应边BC和B' C：CA和C A AB和A' B'〔或它们的延长线〕相交，那么它们 的交点D、E、F在同一直线上.分析 由于D、E、F三点分别在△ ABC三 边延长线上，要证三点共线，只须证明 AF BD CF ’1FB DC EA注意图中多个三角形被多条直线所截；反复利用梅涅劳斯定理，即可得证.证明 因直线FA' B®^ SAB，由梅涅劳斯定理，有_SA' AF iA'A FB B'S同理，直线BCA截厶SAC，有肚 -SC' 1.直线DC B截△ SBC，有AA' C'C EASB BD CC' ’1.B'B DC C'S三式相乘，得 圧.匹.坐 1,由梅涅劳斯定理逆定理，D、E、F三点共线.FB DC EAF注戴沙格定理是射影几何中的一个重要定理•例5.牛顿〔Newton〕线设四边形ABCD的一组对边AB和CD的 延长线交于点E,另一组对边AD和B的延长 线交于F,那么AC中点L、BD中点M及EF 中点N三点共线.分析为了证明L、M、N共线，可考虑L、M、N三点是否分别在一个三角形的边或延长线上.由它们分别是 AC、BD、E的中点，设△ EBC三边中点为P、R、Q,那么显然有 M在P上, L在R 上, N在P延长线上.再利用梅涅劳斯定理不难得到证明.证明 设P、R、Q分别为EB、BC、CE中点，因为L、Q、R分别是CA、CE,CB的中点，所以它们在同一直线上，且有QLLR同理，M、R、P三点在同一直线上，且RMEAABCDMP DEN、P、Q三点在同一直线上，且PNNQBFFC三式相乘得QLRMZN 1ACD聖LN MP NQ AB DE FC但因直线AD切割△ EBC由梅涅劳斯定理，有^BL.CQ 1,QL RM PN ,1.LR MP NQ因L、M、N三点分别在△ PQ三边或其延长线上，故由梅涅劳斯定 理逆定理，L、M、N三点共线，注直线LMN叫做四边形ABCD的牛顿线。

例6. 假设在直角△ ABC中，CK是斜边上的高.CE 是/ ACK的平分线，E点在AK 上, D是AC的中点，F是 DE与CK的交点，那么BF// CE.证 在厶EBC中，作 B的平分线BH .EBC ACK, HBC ACE,HBC HCB ACE HCB 90 ,即 BH CE.从而可知厶EBC为等腰三角形.pE B D C F作腰BC上的高EP,那么CK=EP.把梅涅劳斯定理用于△ ACK和三点D、E、F，那么得CD善1,于是KF EKFC AECKEPBPBK KF BK,即BE FC BEACACBC利用分比定理得KF匹,从而FKB ~ CKE.故得 FB//CE.KC KE例7. （1996年全国高中数学联赛题）如图，圆01和圆02与ABC的三边所在的三条直线都相切,EF、GH为切点，并且EG FH的延长线交于P点,求证直线PA与BC垂直.分析：要证PA丄BC只要证明PA// OiE证明：延长PA交EF于D,直线PGE与厶ADC的三边延长线都相交，直线PHF与厶ABD的三边延长线都相交，由梅尼劳斯定理■DE CG 1,EC GA PDBFDP AH i , DE CG HB FD ,v hb=BF,EC=CG,二 DE 竺FD PA HB EC GA AH BF GA AH连接 OiGOiE,OiA,O2A,O2H,O2F，那么 Oi、A、02三点共线，以及 OiE丄 EF,QF丄EF,巴••• AD // OiE,FD•••O1EFO2 为直角梯形,又厶OiAGO2AH,二 OiA 些o2a ah故AD丄EF即PA丄EF.课外练习题IADFHE1 •设平行四边形 ABCD内一点E，过E引AB 的平行线与AD、BC交于K、G •过E引AD的 平行线与 AB、CD交于 F、H，那么FK、BD、 GH互相平行或交于一点.证明.设BD与FK交点为O.••• OKF 截^ ABD,AF BO DKFB OD KADH CG bo i.HC GB 0DG、H、0在同一直线上， 即FK,BD,GH交于一点2•—条直线与三角形三边或其延长线交于 L、M、N三点，假设L' M、N'点与L、M、N关于三边的中点对称，求证 L'、M、N'三点也共线.证明•由梅涅劳斯定理有 昱空处 iCL AM BN又由于 M、N'、L'分别与 M、N、L关于三边中点对称，所以 AN =BN,BN'=AN，BL' = CL, CL' =BL AM'=CM，CM =AM。

CL' AM' BN'代入上式得 1, ••• L、M、L三点共线.BL' CM ' AN'3 •设四边形，ABCD外切于O 0 •切点分别为E、F、G、H ，那么 HE、DB、GF 交于一点〔或 GH、CA、EF交于一点〕.证明.设HE与BD交于M ,那么HEM'截厶ABD,.AE BM' BF 1…EB M'D FC又设GF与DB交于M，那么C2型竺 1 GD MB FC 由上两式得型空，二M、M重合.M'D MDAAL和3BL可得:4. 从点K引四条直线，另两条直线分别交这四条直线于 A、B、C、D 和 Ai, Bi,Ci , Di,AC AD AiCi Ai Di试证： : BTC- : -B-D-BC BD BiCi BlDiADLDiAK—iAKLCAKACi iLCiBCLCiBiK iBKLDA DiACAKLCBiCiLDBKBiDi iLDiBDBiK证明：若AD//ADi，结论显然成立；若AD与AiDi相交与点L,则把梅涅劳斯定理分别用于将上面四条式子相乘可得：AD _BC AC! BlDi iAC BD AiDi BG即.AC : AD AC i : Ai DiBC BD Bi Ci Bi Di5. 设不等腰厶ABC的内切圆在三边BC、CA、AB上的切点分别为 D、E、 F,那么 EF 与 BC, FD 与 CA , DE 与AB的交点X、丫、Z在同一条直 线上；证：ABC被直线XFE所截，由定理1可得:BCCA舊1又 丁 AE AF代人上式可得：bx — fbXCCE同理可得：CY —DCAZ —EAYAAFZBbd将上面三条式子;相乘可得:bxCYAZXCYAzb1又丁 X、Y、Z都不在 ABC的边上，由定理2可得X、Y、Z三点共线6. 直线AA1, BB1, CC1相交于D，直线AB 和A1B1的交点为 C2,直线BC与B1C1的交 点是A2，直线AC与A1C1的交点是B2，试 证：A2、B2、C2三点共线；证：设 A B2、C2分别是直线BC和BQ，AC和AC1，AB和AB的交点, 对所得的三角形和在它们边上的点： OAB和（A，B,C2）,OBC和（B， G,A2）,0AC和（A，G,B2）应用梅涅劳斯定理有：AA 0B1 BC2 1 0C1 BBl CA^ 1 0A| CCi ABg〔OA1 BBl AC2 CCi OBi BA2 AA OC1 CB2将上面的三条式子相乘可得：.BC2 AB, CA2 iAC2 CB, ba由梅涅劳斯定理可知a,b2,c2共线•7. △ ABC的内切圆分别切三边 BC,CA ,AB于点D, E , F，点X是厶ABC的一个 内点，△ XBC的内切圆也在 D点与BC边 相切，并与CX，XB分别相切于点丫，Z •证 明：EFZY是圆内接四边形.分析：假设BC与EF交于P且DE • PF=PY・PZ,那么此题获证.略证：如果EF// BC，那么AB=AC，AD是EFZY的对称轴，因而EFZY是圆内接四边形.如果EF不平行于BC，可假定BC与EF的延长线相交于P，由梅涅劳斯定BP CE AF理，有 1.PC EA FB由圆幕定理，有 ZB DB FB,CY CD CE , AF EA,XZ YX,BP CY XZ BF CE AF1,PC YX ZB PC EA FB由梅涅劳斯定理的逆定理，知P, 丫，Z三点共线，于是，PE・PF= PD2=PY-PZ. 所以，EFZY是圆内接四边形.评述：此题证明除应用了梅涅劳斯定理及其逆定理， 还屡次应用了圆幕定理。

二塞瓦〔Ceva〕定理GCeva〔 1647年〜1743年〕，意大利著名数学家.塞瓦定理|设S为厶ABC边所在直线外一点，连接 AS、BS、CS分别和△。