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勾股定理的发现及证明勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，是人类最伟大的十个科学发现之一，被称为“几何学的基石”千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，给后代留下了众多神奇的传说一、勾股定理的发现相传4000多年前，大禹曾在治理洪水的过程中，利用勾股定理来测量两地的地势差，在3000多年以前，中国人已经知道用边长为3,4,5的直角三角形进行测量，勾股定理的叙述最早见于《周髀算经》（成书不晚于公元前2世纪的西汉时期），书中记载，周公问商高，天有没有台阶可以上去，地又不能用尺子去度量，，请问，怎么知道它们的高低长短呢？（周公与商高约是公元前11世纪左右的人）商高答：数是根据圆和方的道理得来的，圆从方得来，方又从矩得来，矩乃是从数学计算得来的以为“勾广三，股修四，径隅五”以上史实表明，商高在当时已经知道特殊情形下的勾股定理那么，”什么是“勾、股”呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5以后人们就简单地把它说成“勾三股四弦五”由此可见我国古代劳动人民的聪明智慧勾股定理在外国称为“毕达哥拉斯定理”。

为什么一个定理有这么多名称呢？毕达哥拉斯是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年毕达哥拉斯有次应邀参加一次餐会，这位主人的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，一些饥肠辘辘的贵宾颇有不满；但这位善于观察的毕达哥拉斯却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形图案，毕达哥拉斯不只是欣赏地砖的美丽，而是想到它们和“数”之间的关系，经过思考，发现了这个定理后人就以毕达哥拉斯的名字命名“毕达哥拉斯定理”为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”二、勾股定理的证明方法古今勾股定理的证明方法很多，到目前为止，大概有400多种，在这里仅举几个比较经典的证明方法一）、赵爽对勾股定理的证明我国古代的劳动人民早在几千年前就已经掌握了勾股定理并把它应用于实际的生产和生活之中现存数学典籍中最早给这一定理证明的，是赵爽在注解《周髀算经注》时给出的赵爽又名婴，字君卿，三国时吴国人，赵爽用“弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智二）、美国第二十任总统伽菲尔德对（勾股定理）的证明美国第二十任总统伽菲尔德法在数学史上被传为佳话。

总统在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德他走着走着，突然发现附近有两个小孩正在谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统证法”。

三）、刘徽的《青朱出入图》证法刘徽是中国魏晋时期数学家刘徽用了“出入相补法”证明了勾股定理也是用的以形证数的方法，只是具体的分合移补略有不同公元263年，刘徽为《九章算术》作注释在注释中，他画了一幅图形来证明勾股定理可惜图已失传，只留下一段文字：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂开方除之，即弦也后人根据这段文字补了一张图（见右图）只要把图中朱方（a2）的I移至I青方的II移至II'，山移至III7，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形（c2）．由此便可证得a2+b2=c2四）、欧几里得勾股定理的证明著名的希腊数学家欧几里得（公元前330年-前275年）系统地研究了有关直线、平面、圆和球的几何性质我们知道，在欧几里得之前，毕达哥拉斯定理即已闻名遐迩，因此，欧几里得决不是这一数学里程碑的发现人然而，我们下面看到的证明为他赢得了声誉，许多人都相信，这一证明最初是由欧几里得作出的这个证明的美妙之处在于其先决条件的精练他在巨著《几何原本》（第I卷，命题47如图）中给出一个很好的证明。