电磁场10_静电学2_泊松方程和边界条件.pdf

Research Institute of Antennas & RF Techniques电磁场电磁场Electromagnetic Fields 第第10讲 静电学讲 静电学2涂治红涂治红华南理工大学电子与信息学院 天线与射频技术研究所华南理工大学电子与信息学院 天线与射频技术研究所 TEL: 22236201-604 Email: zhtu@-泊松方程和边界条件-泊松方程和边界条件Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology第第10讲内容讲内容 泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程P64-67P64-67 静电场的边界条件静电场的边界条件P67-72P67-72介质分界面上静电场的边界条件介质分界面上静电场的边界条件介质分界面上电位的边界条件介质分界面上电位的边界条件理想电壁边界条件理想电壁边界条件Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology10.1 泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程【静电场的基本方程】【静电场的基本方程】0ED微分形式微分形式积分形式积分形式0 CSE dlD dSQ 性、各向同性媒质中，本构关系性、各向同性媒质中，本构关系DEResearch Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology2 【泊松方程和拉普拉斯方程】【泊松方程和拉普拉斯方程】DEEEDE     Possion方程方程Laplace方程若无源，则方程若无源，则20222 2 222xyz直角坐标系中拉普拉斯算子直角坐标系中拉普拉斯算子Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology解：令球心为球坐标系原点。

电场具有球对称性，电位φ只是解：令球心为球坐标系原点电场具有球对称性，电位φ只是r 的函数 φ满足拉普拉斯方程：的函数 φ满足拉普拉斯方程：【例【例10-1】已知导体的电位为】已知导体的电位为U（设无穷远处电位为（设无穷远处电位为0），球的半径为），球的半径为a，求球外的电位函数求球外的电位函数2222 221 20110arddrrrrrr drdr CCarr   Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology积分常数积分常数C1和和C2由边界条件确定由边界条件确定所以电位函数：所以电位函数：2100CUrarCaU  aUarr Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology【例【例10-2】两无限大平行板电极，板间距离为】两无限大平行板电极，板间距离为d，电压为，电压为U0，并充满密度为，并充满密度为 0 x/d 的体电荷。

求板间电场强度的体电荷求板间电场强度解：根据题意，有泊松方程且满足解：根据题意，有泊松方程且满足因为因为 分布仅为分布仅为x的函数，故的函数，故2000xxdd 00,0 ,x Uxd  ( ) xResearch Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology故故利用边界条件，求得利用边界条件，求得所以所以32 200 122 006xxdC xCdxdd  00 21 00,6UdCCd 3 000002 0000066ˆ26xxUdxddxUdEadd   Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology已经得到静电场和电位满足的方程已经得到静电场和电位满足的方程10.2 静电场的边界条件静电场的边界条件20,ED  Possion方程方程Laplace方程方程若无源，则若无源，则20这些方程反映空间点上静电场的特性。

但是它们是微分方程，只适合于场函数连续可导的情形这些方程反映空间点上静电场的特性但是它们是微分方程，只适合于场函数连续可导的情形Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology对于有媒质突变的问题，场函数不再是连续可导，因此场方程的微分形式不在适用对于有媒质突变的问题，场函数不再是连续可导，因此场方程的微分形式不在适用有时研究的问题是有界的，在边界上，场方程的微分形式也不再适用有时研究的问题是有界的，在边界上，场方程的微分形式也不再适用为此，需要寻找分界面和边界上静电场满足的方程，称之为为此，需要寻找分界面和边界上静电场满足的方程，称之为静电场的边界条件静电场的边界条件金属边界金属边界21介质交界面介质交界面Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology通常遇到的边界问题有由不同介质构成的介质分界面和金属边界通常遇到的边界问题有由不同介质构成的介质分界面和金属边界。

研究边界问题的方法是从场方程的积分形式出发，因为积分形式的方程不受边界约束研究边界问题的方法是从场方程的积分形式出发，因为积分形式的方程不受边界约束金属边界金属边界21介质交界面介质交界面Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology10.3 介质分界面上电场边界条件介质分界面上电场边界条件应用应用Gauss定理，由于柱面无限小，有定理，由于柱面无限小，有【法向电场边界条件】【法向电场边界条件】121212ˆˆˆ 4/ 2ˆ 4/ 2ˆ()0SRRD dSD n SDn SD aR hDaR hDDn Sh     Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology同时同时0sVQdvh SSh  注意注意: 是由介质是由介质2指向介质指向介质1ˆ nResearch Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology于是于是写成标量形式其中， 称为分界面上的面电荷密度。

写成标量形式其中， 称为分界面上的面电荷密度12ˆ()sDDn12nnsDD00limlimsShQhS   介质分界面上的法向电位移的差等于分界面上的面自由电荷密度介质分界面上的法向电位移的差等于分界面上的面自由电荷密度如果分界面上无自由电荷，则介质分界面上法向电位移矢量连续，即如果分界面上无自由电荷，则介质分界面上法向电位移矢量连续，即12nnDDResearch Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology对于各向同性媒质，边界条件可写出对于各向同性媒质，边界条件可写出 如果分界面上无自由电荷，则如果分界面上无自由电荷，则 说明介质分界面上法向电场强度不连续说明介质分界面上法向电场强度不连续如果考虑介质分界面上的束缚电荷密度，则不难导出如果考虑介质分界面上的束缚电荷密度，则不难导出可见，可见，在介质分界面上法向电位移和电场强度之所以不连续是因为在分界面上分布有表面电荷在介质分界面上法向电位移和电场强度之所以不连续是因为在分界面上分布有表面电荷。

1122nnsEE1122nnEE120()/nnssEEsResearch Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology【切向电场边界条件】【切向电场边界条件】应用电场环路积分公式应用电场环路积分公式12121212ˆˆˆˆ/ 2/ 2ˆˆ/ 2/ 2ˆ()00aaCbbE dlE t lEt lEn hEn hEn hEn hEEt lh          即即1212ˆ()00ttEEtEE 所以，所以，分界面上切向电场连续分界面上切向电场连续Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology通常希望用分界面法向单位矢量表示边界条件，为此考虑通常希望用分界面法向单位矢量表示边界条件，为此考虑则则由于的任意性，所以有由于的任意性，所以有上述的单位矢量变换方法在电磁场理论中常遇到。

上述的单位矢量变换方法在电磁场理论中常遇到ˆˆˆtsn 12ˆ()0nEE121212ˆˆˆ()() ()ˆˆ()0EEtEEs nnEEs  ˆ sResearch Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology所谓理想介质分界面是指所谓理想介质分界面是指分界面上无自由电荷分界面上无自由电荷根据电场边界条件，有根据电场边界条件，有于是于是10.4 理想介质分界面上电场方向的关系理想介质分界面上电场方向的关系1112221122coscossinsinEEEE1122tan tan ˆ n11E2E210Sˆtˆ s2Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology可见在分界面两侧，电场一般不在同一方向只有在电场与分界面垂直时，分界面两侧的电场才具有相同方向可见在分界面两侧，电场一般不在同一方向只有在电场与分界面垂直时，分界面两侧的电场才具有相同方向。

如平行板、同轴线和同心球中的电场如平行板、同轴线和同心球中的电场ˆ n11E2E210Sˆtˆ s2Research Institute of Antennas & RF TechniquesSouth China University of Technology10.5 介质分界面上电位边界条件介质分界面上电位边界条件。