2021-2022版老教材数学人教A版必修5学案：解三角形的实际应用举例一一高度、角度问题.pdf

第 2课时 解三角形的实际应用举例一一高度、 角度问题必备知识- 自主学习学习目标1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题（ 逻辑推理、数学运算）2. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题（ 数学建模）3•分清仰角、俯角、方向角、方位角和视角等概念（ 数学抽象）导思方位角、方向角和视角的含义是什么？1 . 仰角和俯角铅垂线线线£I 、 视 线⑴前提: 在视线所在的垂直平面内.⑵仰角： 视线在水平线以上时, 视线与水平线所成的角.⑶俯角： 视线在水平线以下时, 视线与水平线所成的角.思 考 ？ ’为了测量某建筑物的高度通常需要构造的三角形其所在平面与地面什么关系？提示： 构造的三角形其所在平面与地面垂直.2 . 视角从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的夹角， 如图所示， 视角50°指的是观察该物体的两端视线张开的角度.视线诚 I视线, 基 础 小 测 "1 . 辨 析记忆（ 对 的 打 “ J ”， 错 的 打 “ X ”） .⑴俯角和仰角都是对于水平线而言的. （）⑵仰角与俯角所在的平面是铅垂面. （）⑶ 从 A处 望 B处的仰角为a , 从 B处望A处的俯角为B , 贝 IJ a , B 的关系为 a+ 8 = 1 8 0 ° . （ ）提示： （ 1 ）， 由俯角和仰角的定义可知此说法正确.（ 2 ） V . 由仰角与俯角的定义可知， 此说法正确.（ 3 ） X . 画出示意图如图， 由图可知a = B .水平线, “ 飞 线*- - - - - - - 水平线2 . （ 教材二次开发： 练习改编） 如图所示， 为测量一树的高度， 在地上选取 A , B 两点， 从 A , B 两点分别测得树尖的仰角为3 0 ° , 4 5 。

且 A , B 两点之间的距离为6 0 m , 则树的高度为（）A .( 3 0 + 3 0 V 3 ) mB .( 3 0 + 1 5 V 3 ) mC . ( 1 5 + 3 0 V 3 ) mD. ( 1 5 + 3 V 3 ) m【 解析】选A .设树高为x m ,则B P二 &x m ,在4 A B P 中，A B = 6 0 , B P二 &x , A = 3 0 ° , Z A P B = 1 5 ° ,由正弦定理得_「_BP 即 - ,sin 150 sin 30° sin 150 sin 30解得 X=30+30V3.3 .(教材二次开发: 练习改编) 如图所示为一角槽， 已知A B 1 A D, A B 1 B E ,并测量得 A C = 3 m m , BC=2A/2 m m , A B = V 2 9 m m ,则N A C B = .【 解析】在A A B C中， 由余弦定理得/APD_ 32 + (2V 2)2-(V 29)2c o s N A C B — —2X3X2V2因为 N A C B £ ( 0 , n ) ,所以 Z.A C B — —.2 4答案: 如4关键能力♦ 合作学习类型一 在同一铅垂面内的高度问题( 数学建模)【 典例】1 .如图在离地面高4 0 0 m的热气球上, 观测到山顶C处的仰角为1 5 ° ,山 脚A处的俯 角 为4 5 ° .已知N B A C = 6 0 ° , 则山的高度B C为15°CM,A . 7 0 0 m B . 6 4 0 m C . 6 0 0 m D. 5 6 0 m2. 济南泉城广场上的泉标模仿的是隶书“ 泉”字， 其造型流畅别致， 是济南的标志和象征. 李明同学想测量泉标的高度， 于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为6 0 ° , 他又沿着泉标底部方向前进15. 2 m ,到达B点， 又测得泉标顶部仰角为8 0。

你能帮助李明同学求出泉标的高度吗？ （ 精确到1 m ,参考数据s i n 20 °^0 . 34, s i n 8 0 ° ^0 . 9 8 )B\A【 思路导引】1.在A M A C中, 三个角和AM可求, 根据正弦定理可求AC ,进而可求山的高度BC ;2. 设C , D分别为泉标的底部和顶端, 先在AABD中， 根据正弦定理求BD ,然后在R tABC D中求C D .【 解析】1. 选C .如图， 过点M作M D L AB,垂足为D .在 RtZ\AMD 中，NMAD=45° , MD=400 m ,AMn-MD =400&(m).sin45°在aMAC 中，ZAMC=45° +15° =60° ,ZMAC=180° -45° -60° =75° ,所以NMCA=180° -ZAMC-ZMAC=45° .由正弦定理， 得AC三AMsin/.AMCsin乙MCAL厉400V2X— 厂=------■ —―=400V3 (m).2在 RtAABC 中，BC=ACsin ZBAC=400V3X^ = 6 0 0 (m).22 .如图所示， 点C, D分别为泉标的底部和顶端.依题意，NBAD=60° , ZCBD=80° ,AB=15. 2 m,则NADB=80° -60° = 2 0 °， 在4 A B D中根据正弦定理， 得ABsin 60° 15. 2 X --BD二 - - - - - - - - -%- - - - - -J=^38. 72,sin 200 0. 34在 RtZ^BCD 中，CD=BDsin 80° %38. 72X0, 98%38 (m),即泉城广场上的泉标的高约为38 m .■解题策略测量仰角( 或俯角)求高度问题(1)基本思路: 构造含建筑物高度的三角形, 用正、余弦定理解答.⑵构造三角形的方法.①如图1所示, 取经过建筑物AB底部B的基线上两点H , G ,用同样高度的两个测角仪D H和C G测量得仰角B, a , 测量两个测角仪的距离， 构成△AC D .②如图2所示, 在建筑物C D顶部的竖立物体BC ,分别在B, C两处测量俯角a , B ,构成△ABC .图2题组训练1. 如图是一个斜拉桥示意图的一部分,A C与B D表示两条相邻的钢缆,A , B与C , D分别表示钢缆在桥梁与主塔上的弱点， 两条钢缆的仰角分别为a , B ,为了便于计算, 在点B处测得C的仰角为Y ,若AB= m ,则CD=()msinasin(a- y)A.cos(3sin(p- y)C mcosasin(p- y)cosPsin(a~Y)B msinasin(p- y)s i n / ?s m ( a - y)口 msinasin(^- y)cosPsin(a- y)【 解析】选 D.在4ABC中由正弦定理可得ABBCs i n ( a - y) sin{n- a), 所以BC 二m sinasin (a-y )’在4 B C D中， 由正弦定理可得BC CDsi7 i0 -0 ) s讥(£-y)'所以C D二BCsin(0-y) m sinasin(6 - y)cosB cos/?s 讥( a-y)2. 某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35° , 沿倾斜角为20。

的斜坡前进1 0 0 0 m后到达D处, 又测得山顶的仰角为6 5° , 求此山的高度. （ 精确到 1 m ,参考数据：s i n 35° ^0 . 57 3 6 , 7 2^1. 414)【 解析】如图， 过点D作D E〃AC交BC于E,因为 N D AC = 20 °， 所以 N AD E= 16 0 ° ,于是 N AD B= 36 0 ° - 16 0 ° - 6 5° = 135° .又 N BAD = 35° - 20 ° = 15°， 所以 N ABD = 30 ° .在4 A B D中， 由正弦定理,得AB二ADsinZ.ADB 1 000Xsinl35"sinZ.ABDsin30"• 二1 0 0 0 V 2( m ).在 R ta ABC 中，BC = ABs i n 35° ^8 11 ( m ).答： 此山的高度约为8 11 m .【 补偿训练】在社会实践中， 小明观察一棵桃树. 他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45° , 往正前方走4米后, 在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75° .⑴ 求B C的长.⑵若小明身高为1 . 70米, 求这棵桃树顶端点C离地面的高度（ 精确到0. 01 米 , 其 中 «仁1 . 732） .【 解析】（ 1）在a A B C 中，N C A B = 45° , Z DB C = 75°， 则 N A C B = 75° -45°= 30° , A B = 4,由正弦定理得,- BC——- - - , 解得 B C = 4&（ 米） .sin45° sin300⑵在 4C B D 中，N C DB = 90° , B C = 4&,所以 DC = 4&s i n 75° ,因为 s i n 75° 二s i n （ 45° + 30° ）= s i n 45° c o s 30° + c o s 45° s i n 30° =' ,4则 DC = 2+ 2， 5,所以 C E= 3. 70+ 2E 2 3. 70+ 3. 464七7. 16 （ 米） .答： （ 1 ） B C的 长 为4企 米 ；（ 2 ）这 棵 桃 树 顶 端 点C离 地 面 的 高 度 为7 . 1 6米 .类型二 不在同一铅垂面内的高度问题（ 数学建模）【 典例】空中有一气球D , 在它正西方向的地面上有一点A , 在此处测得气球的仰角为45 ° , 同时在气球的南偏东6 0 。

方向的地面上有一点B ,测得气球的仰角为30 ° , 两观察点A , B 相距2 6 6 m , 计算气球的高度. （ 结果保留根号）四步内容理解题意条件: ①在气球D 的正西方向的地面上A 处测得气球的仰角为45 °②在气球D 的南偏东6 0 °方向的地面上B 处， 测得气球的仰角为30 °③A , B 相距2 6 6 m结论: 计算气球的高度.思路探求令气球D在地面上的投影为点C , 解 R t A A C D 和R t Z ^ B C D n A C 与气球的高度的关系, C B 与气球的高度的关系= 在△A B C 中用余弦定理构造方程求气球的高度.书写表达如图, 令气球D 在地面上的投影为点C , 设C D = x , 在R t A A C D 中， Z D A C = 45 ° ,所以A C=C D= N ①在 R t / X B C D 中，Z C B D = 30 ° ,所以CI3 = -( ? 不 = 心 ＞ ②t a n 30在△A B C 中，Z A C B = 9 0 ° + 6 0 ° = 1 5 0 ° ,由 余 弦 定 理 得A B2= A C2+ B C - 2 - A C • B C - co s Z A C B ,所以266? =1?+ (庶Z) ? 2 • .r • 43x , (―§ )题后反思所 以X=38V7 m .所以气球的高度为38 V7 m .注意书写的规范性：① 解R t A A C D ,建立A C与所求量的关系② 解R t A B C D ,建立C B与所求量的关系③在4 A B C中构建方程计算所求量是解题关键.此类问题中， 既有方向角， 又有仰角， 要注意作出的示意图应是立体图♦解题策略解不在同一铅垂面内的高度问题的思路和方法⑴基本思路.方向角属于水平面的角度, 而仰角属于铅垂面内的角， 所以此类问题的图形通常是立体图形. 解题的基本思路是把目标高度转化为三角形的边长, 从而把空间问题转化为平面内解三角形问题.⑵基本方法.首先在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或几个三角形, 从而求出高度 .跟踪训练、1. A, B是海平面上的两个点, 相距800 m,在点A测得山顶C的仰角为45° ,NBAD=120° , 又在点B测得NABD=45°， 其中点D是点C在海平面上的射影, 则山高CD为.【 解析】如图， 由于CDLAD, NCAD=45° ,CAB A所以CD二AD.因此， 只需在4ABD中求出AD即可.在4ABD 中，ZBDA=180° -45 ° -120° =15° ,由, . .A.B. - = - - -A-D- -sinlS0 sin45°4所以 C D = A D = 8 0 0 ( V3+ 1 ) m .答案： 8 0 0 ( V3+ 1 ) m2 .如图， 某景区欲在两山顶A , C之间建缆车, 需要测量两山顶间的距离.已知山高A B = 1 k m , C D = 3 k m ,在水平面上E处测得山顶A的仰角为30 ° ,山顶C的仰角为6 0 ° , N A E C = 1 5 0 ° , 则两山顶A , C之间的距离为( )A . 2A/ 7 k mB . 3A/ 3 k mC . 4V2 k mD . 3A/ 5 k m【 解析】选 A . A B = 1 , C D = 3, Z A E B = 30 ° , Z C E D = 6 0 ° , Z A E C = 1 5 0 ° ,所以 A E = 2 A B = 2 , C E =, 0 J 二 二 二2班 ,在4A C E 中， 由余弦定理得 A C ?二A E 2 + C E 2 - 2 X A E X C E XC OS Z A E C = 4+ 1 2 - 2所以A C = 2 ， 7 ,即两山顶A , C之间的距离为2夕k m .【 补偿训练】如图， 某人在塔的正东方向上的C处, 在与塔垂直的水平面内， 沿南偏西6 0 °的方向以每小时6千米的速度步行了 1分钟以后， 在点D处望见塔的底端B在东北方向上， 已知沿途塔的仰角NA E B = a , a的最大值为 6 0° .A⑴求该人沿南偏西6 0°的方向走到仰角a 最大时一, 走了几分钟；⑵求塔的高A B .【 解析】（ 1 ） 依题意知， 在△ D B C 中， NB C D = 3 0° ,1Z D B C = 1 8 0° -4 5 ° = 1 3 5 ° , C D = 6 000 X —= 1 00 （ m） , Z D = 1 8 0° -1 3 5 °-3 0° = 1 5 ° ,由正弦定理得sinZ-DBC sin乙D所以B C 二CD , sin/-D 100Xsinl5°sinZ.DBC sinl35°_50(V6-72)= 5 0(7 3 -1 ) (m) .在 Rt Z \ A B E 中， t an a = — ,BE因为A B 为定长， 所以当B E 的长最小时， a 取最大值6 0° , 这时B E _LC D .当 B E ± C D 时， 在 Rt △ B E C 中 ， E C 二 B C - cos ZB C E = 5 0 （ V 3 -1 ） • —= 2 5 （ 3 -娟 ） （ m） , 设该人沿南偏西6 0°的方向走到仰2角a 最大时， 走了 t分钟,贝, t二 --E-C- -X 6 0= -2-5-(-3--V-3-) X 6 0= -3---V-3(,分 x 钟…) .6 000 6 000 4⑵ 由 ⑴ 知 ， 当a取得最大值6 0°时，B E _LC D ,在 Rt Z kB E C 中，B E = B C - s i n Z B C D ,所以 A B = B E - t an 6 0° 二B C • s i n Z B C D - t an 6 0"= 5 0(V 3 -1 ) --- V 3 = 2 5 ( 3 5 ) (m) ,2即所求塔高为2 5 (3 -J^) m.类型三测量角度问题(数学建模). . … 角.度上… 角度问题…【 典例】如图所示, 在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物C D的顶端C对于山坡的倾斜度为1 5 ° , 向山顶前进1 00 m到达B处, 又测得C对于山坡的倾斜度为4 5 ° , 若C D = 5 0 m,山坡对于地平面的坡度为0,则c o s。

等于()A . -- B . V 3 C . V 3-1 D . V 2 ~ l2【 思路导引】由题意可知A A D C可解， 角0与NB D C有密切关系.A RAC【解 析 】选C .在4ABC中，由 正 弦 定 理 ， -------= ------- ,即sinZ- ACB sin/LABCAB ACsin30 0 sinl350 '所以AC=1OOV 2 .在4 A D C 中， 由正弦定理得ACCDsinZ-BDC sinZ-CAD9即ACCDsin(J+90° ) sin l5Q所以 cos e = s i n（ e + 9 0 = 竺 谭 竺 一 = 叵 1角 一 度z.航行方向问题【 典例】 如图所示， 位于A处的信息中心获悉: 在其正东方向相距3 0 V 2海里的B处有一艘渔船遇险， 在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西4 5 °、 相距2 0海里的C处的乙船， 现乙船朝北偏东9的方向沿直线C B前往B处救援， 则c o s的值为【 思路导引】 先利用余弦定理求出B C ,再利用正弦定理求出s i n Z A C B ,得到cos Z A C B ,利用两角和与差的余弦即可求出cos 0 .【 解析】如图所示， 在4 A B C 中， A B = 3 0迎,A C = 2 0, NB A C = 1 3 5 ° ,由余弦定理得 B C2= A B2+ A C2-2A B • A C • c o s 135° = 3 400,所以 B C = 10 V 34,A R 3 、 /34由正弦定理得 s i n N A C B二 — • s i n N B A C = ---- .BC 34由N B A C = 135。

知N A C B为锐角，5 A/34故 c o s Z A C B = ----.故 c o s 0 = c o s (Z A C B + 45 ° )34= c o s Z A C B c o s 45° -s i n Z A C B s i n 45°二——V2 (z5 V34 3 V34x g---------------------- ) =---------・2 34 34 17答 案 : 上17♦变式探究将 本 例 条 件“ 30 V2 "改 为"40” , "45° ”改 为“ 30 其他条件不 变 , 试 求c o s 0 .【 解 析 】如图所示,北在Z k A B C 中，A B = 40, A C = 20, Z B A C = 120° ,由余弦定理得B C2= A B2+ A C2-2A B ・ A C - c o s 120° = 2 8 00,所以 BC=20 V 7 .由正弦定理得sinNACB二 竺 ・sinN B A C =/三 .BC7由 NBAC=120° 知NACB 为锐角，cosNACB= .7cos 9 -c o s ( Z ACB+30 ° )二cosNACBcos 30° -s i n ZACBs i n 30° 二 — —.14♦解题策略1 .有关仰角和俯角的问题⑴建筑物顶部无法到达或高度过高而无法测量时， 通常采用解三角形的方法解决, 在构造三角形时， 一般利用与地面垂直的直角三角形， 此时应注意仰角的应用.⑵但在某些情况下, 仍需根据正、余弦定理来解三角形.2 .测量角度问题画示意图的基本步骤定观测点、一找准观测点，并根据, '上北下南,当正, 北多厂 ［ 左西右东; 「的原则确定正北方向作出被硝—由题意正确地作出其他方位物的测方位物厂［ 位置示意图分析图中的已知量和未知量, 标出有关角和线段的大小标出有关量题组训练、1.长为3. 5 m的木棒A B斜靠在石堤旁, 木棒的一端A在离C处 1. 4 m的地面上, 另一端B 在离C处的2. 8 m的石堤上, 石堤的倾斜角为a ,则坡度值t a n a = ( )反LC.身16A管B.—16D.—151【 解析】选A .由题意得在4 A B C中，AB=3. 5 m, AC=1. 4 m, BC=2. 8 m,且Z a +Z ACB= n . 由 余 弦 定 理 得 AB2=AC2+BC2-2AC X BC X cos Z AC B,即3. 52=1.42+2. 82-2 X 1 .4 X 2. 8 X cos ( n — a ) ,解得 cos a =—， 所以 s in a =~ ~16 16所以tansina V231a =-------=-------.cosa S2 .已知岛A南偏西3 8 °方向, 距岛A 3 海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/ 时的速度向岛屿北偏西220方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶， 恰 好 用 0 .5 小时能截住该走私船？ （ 参考数据： sin 38°〜 5遍14 'sin 22°14【 解析】如图， 设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上一点,缉 私 艇 的 速 度 为 每 小 时x海 里 ，则BC=0. 5x, A C =5,依 题意，Z BA C = 18 0 ° - 38 ° - 22° = 120 ° ,由余弦定理可得 BC ? = A B? + A C 2- 2A B • A C c o s 120 ° ,所以 BC2= 4 9 ,所以 BC = 0 . 5 x = 7,解得 x = 14 .又由正弦定理得s i n NA BC ==— —j_ 2 _=5V3所以/A BC = 38 ° ,又BC 7 14因为NBA D = 38 °， 所 以BC 〃A D ,故缉私艇以每小时1 4海里的速度向正北方向行驶, 恰好用0 .5小时截住该走私船.【 补偿训练】游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路.线路1是从A沿直线步行到C ,线路2是先从A沿直线步行到景点B处, 然后从B沿直线步行到C .现有甲、 乙两位游客从A处同时出发匀速步行， 甲的速度是乙的速度的U倍， 甲走线路2,乙走线路1,最后他们同时到达C处.经9测量，A B= 1 0 4 0 m , BC = 5 0 0 m ,则si n Z BA C 等于.【 解析】依题意， 设乙的速度为x m / s,11则甲的速度为一X m / s,9因为 A B为 0 4 0 m , BC = 5 0 0 m ,所~ 以tA一C 二1 一040+500n——,X ——X9解得：A C = 1 260 m ,在A A B C中， 由余弦定理得__ ABZ+AC2-BC2 1 0402 + 1 2602-5002 12c o s Z BA C = - - - - - - - - - - - = - - - - - - - - - - - - - - -= —,2AB • AC 2X1 040X1 260 13所以 si n NBA C = 1~CO S2Z.B A C= /1~ .\ 7 \13/ 13答 案 二133.如图, 在海岸A处, 发现南偏东4 5 °方向距A为( 2禽 -2)海里的B处有一艘走私船, 在A处正北方向， 距A为2衣 海 里 的C处的缉私船立即奉命以10旧 海 里 / 时的速度追截走私船.( 1)刚发现走私船时一, 求两船的距离；⑵若走私船正以10加海里/ 时的速度从B处向南偏东75。

方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 并求出所需要的时间.( 精确到分钟， 参考数据: 、 反仁1 . 4 , 76^2. 5 )【 解 析 】 ⑴ 在4AB C中， 因 为A B= ( 2j 5 - 2)海里，A C = 2企 海 里 ， /BAC=135° ,由余弦定理， 得BC二J(2V 3-2)2+ (2V2) 2-2 x 2V2 x (2V3-2)cosl35°= 4 (海里) .⑵根据正弦定理， 可得sin NABC= 4BC 2所以NABC=30°， 易知NACB=15° ,设缉私船应沿CD方向行驶t小时， 才能最快截获( 在D点) 走私船， 如图所示.则有 CD=10V3t （ 海里） ，BD=10V2t （ 海里） .而NCBD=120°， 在A BC D中， 根据正弦定理，. - BDsiMCBD 1 0 y[2tsinl20 ' <2可得 s I n Z BCD=----------------- ——-----------------,CD 10V3t 2所以 NBCD=45° , ZBD C =15°， 所以 NACD=60° .在A C BD中， 根据正弦定理， 得 CB 一 严， 即嘈 二sinZ- BDC sin/. CBD， 屈- 五 亘'4 2解得t二' 一 ' 1小 时 "0. 7 8小时处4 7分钟.故缉私船沿南偏东6 0 °方向， 需4 7分钟才能追上走私船.课堂检测- 素养达标1 .如图， 要测出山上一座天文台B C的高, 从山腰A处测得A C=6 0 m ,天文台最高处B的仰角为45 ° , 天文台底部C的仰角为15。

则天文台B C的身为()A . 20V 2 mB . 30V 2 mC. 20V 3 m D. 30V 3 m【 解析】选B .由题图， 可得N B =45 ° , Z B A C=30° ,故B C，•乎 乙BAC=sin 乙 B史 也 空~ =30&m .s m 452 . 一轮船从A点沿北偏东7 0°的方向行驶10海里至海岛B ,又 从B沿北 偏 东10°的方向行驶10海里至海岛C,若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C,则此船沿—方向行驶—海里至海岛C .( )A .北偏东 6 0° 10A/2B .北偏东40° 10V 3C.北偏东30° 10V 3D.北偏东20° 10V2【解 析】 选 B. 由 已 知 得 在 4ABC中，NABC=180° -70° +10° =120° , AB=BC=10,故NBAC=30° ,所以从A到C的航向为北偏东70° -30° =40° ,由余弦定理得，AC2=AB2+BC-2AB • BCcos ZABC=102+10 - 2 X 10X 10X ( - 0=300,所以 AC=10V3.3 .如图， 两座相距60 m的建筑物AB, CD的高度分别为20 m、50 m, BD为 水 平 面 ，则 从 建 筑 物A B的 顶 端A看 建 筑 物C D的张角ZCAD=.【 解析】依题意可得AD=20V10 m, AC=30V5 m ,又CD=50 m,所以在△ACD中， 由余弦定理得cos NCAD二2AC • AD_ (30V S )2 + (20V 10)2-502_ 6 000 _y[22X 3O V 5X 2O V 1O 6 000V 2 2 '又0°