平面向量重难点解析.doc

平面向量重难点解析课文目录2. 1平面向量的实际背景及基本概念2. 2平面向量的线性运算2. 3平面向量的基本定理及坐标表示2. 4平面向量的数量积2. 5平面向量应用举例目标：1、 理解和掌握平面向量有关的概念；2、 熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算；3、 熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用；4、 明确平面向量作为工具在复数、解析几何、实际问题等方面的应用； 重难点：重点：向量的综合应用难点：用向量知识，实现几何与代数之间的等价转化要点精讲】1. 向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量 ，有二个要素：大小、方向•2. 向量的表示方法：① 用有向线段表示—aB(几何表示法)；② 用字母a、b等表示(字母表示法)；③ 平面向量的坐标表示(坐标表示法)：分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,、1作为基底任作一个向 量a ,由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a Xi : , (x, y) 叫做向量a的(直角)坐标，记作a (x, y),其中X叫做a在x轴上的坐标，y叫 做 a 在 y 轴上的坐标，特别地，P (1,0)，1 (0,1)，0 (0,0)11 Jx2 y2 ；若 A(x1，y1)，B(X2”2)，贝U AB x? x「y2 % ， ab . ~~yTT23. 零向量、单位向量：① 长度为0的向量叫零向量，记为 0 ;② 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量 .(注： —就是单位向量)|a|4. 平行向量：① 方向相同或相反的非零向量叫平行向量；i I i② 我们规定0与任一向量平行.向量a、b、c平行，记作a 〃 b 〃 c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量性质:0)■-■-aa//b (bo y1 X1JlaJIa%5•相等向量和垂直向量：①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量② 垂直向量一两向量的夹角为JlaoaJrbdra卷X12 y y1(Xi,yJ,(X2, y2))6. 向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

向量加法的三角形法则和平行四边形 法则平行四边形法则：aC a b （起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）AB1即n个向量……a首尾相连成一个封闭图形，则有ai a2②向量的减法向量加上的b相反向量，叫做 扎b 的差即:差向量的意义：oa= a, ob =b,则BA=a b③ 平面向量的坐标运算：若a （X|,y1），b （x2,y2），则a(Xi X2, yi y2)，(xi i2, yi y2)，(x, y)a + b) +c = a + (b +c)④ 向量加法的交换律：a + b =b +a ;向量加法的结合律:⑤ 常用结论：(1) 若aD 1(AB aC)，贝U D是AB的中点2(2) 或G是厶ABC的重心，则gA gB gC7. 向量的模：1、 定义：向量的大小，记为2、 模的求法：| i若 a (x,y)，则 | a | —y2若 A(xi,yi), B(x2,y2)，则 | | 区 xj2 (y? yj23、性质：2—Jra2Jra4—a■4—a(实数与向量的转化关系)4b彳a2)I2 |b|2，反之不然(3)三角不等式:ir aJla4—a(当且仅当a,b共线时取“=”)同向时同反向时Jra(3)运算定律i交换律：a*分配律:Jwfa ■ JIC彳adie\7—■lb①不满足结合律：即(JBFC(5)平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和, 即2|a|2 2|b|2 I? b|2 |a j|28 .实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作：入a(1) I 入 a|=| 入 || a| ;—l!(2) 入＞0时入a与a方向相同；入＜0时入a与a方向相反；入=0时入a = 0 ;入(卩a )=(入卩)a ,(入+卩)a = X a +卩a ,入(a + b)=入a +入b②向量没有除法运算。

如:都是错误的(4)已知两个非零向量a,b，它们的夹角为 ，则舟 b = i a 11b i cos坐标运算:(%,%), b (X2, y2)，则 a|b(5)向量tb a 在轴i上的投影为:(为a与n的夹角，n为I的方向向量)其投影的长为AB|n|j i i(6) a与b的夹角 和的关系:(肃为n的单位向量)(1)当 0时，a与b同向；当(2) 为锐角时，则有9.向量共线定理：o >不-T-q D— a— a时,a与b反向为钝角时，则有o >不4..2r6JlaJ— a向量b与非零向量a共线(也是平行)的充要条件是：有且只有一个非零实 数入，使b =入a10. 平面向量基本定理：如果e,, e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向 量a,有且只有一对实数入1,入2使a = X ie； +入2色1) 不共线向量e,、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a在给出基底e1、e的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一.入1,入2是被a，e1，e2唯一确定的数量＜向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标， 即若A(x , y)，则OA = (x,y );当向量起点不在原点时，向量 AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若 A(xi,yi), B(X2,y2),则 ab =(x2-xi,y 2-y 1)11. 向量a和b的数量积：① a • b=| a| • | b |cos ，其中 € [0 ,n ]为a和b的夹角。

② | b|cos称为b在a的方向上的投影③a • b的几何意义是：b的长度| b|在a的方向上的投影的乘积，是一个实数(可正、可负、也可是零)，而不是向量④ 若 a =(人,力),b= (X2, y2),则 a?b⑤ 运算律：a • b=b • a,(⑥ a和b的夹角公式：cos(a • b),YlY2(a+b) • c=a • c+b • c2Y2⑦ a?a a2 | a|2=x2+y2,或 | a |= x2 y2 a ⑧ |a・ b | < | a | • | b |12. 两个向量平行的充要条件：符号语言：若a // b , a工0 ,贝U a = X b坐标语言为：设 a = (x*y 1) , b =(X2,y 2)，贝U a // b (x 1,y 1)= X (x2,y 2), 即 x1 %2，或 X1y2-X2y1=0y1 y2在这里，实数X是唯一存在的，当 a与b同向时，X >0;当a与b异向时，X <0 X |=回，入的大小由a及b的大小确定因此，当a , b确定时，X的符号与|b|大小就确定了这就是实数乘向量中X的几何意义13. 两个向量垂直的充要条件：符号语言：a丄ba • b =0坐标语言：设 a =(X1,y 1), b =(X2,y 2)，贝U a 丄 b X1X2+y

解题思路分析：以OA， 0B为邻边，0C为对角线构造平行四边形把向量 0C在OA， 0B方向上进行分解，如图，设 0E=^ OA， OD =卩OB，入＞0，卩＞0贝U OC = X OA + ^ OB••• | OA |=| OB 1=1二入=| OE |，卩=| OD |△ OEC中, Z E=60，，Z OCE=7°5 由 ^0^ -l°CL _LC^得： sin 75 sin 60 sin 45. 5(3j2 后) 5 屈6 ， 3“ 5(3血 5/6“• • OC OA OB6 3说明：用若干个向量的线性组合表示一个向量，是向量中的基本而又重要的问题，通常通过构造平行四边形来处理例 2、已知△ ABC中，A(2,-1 )，B(3, 2)，C (-3，-1 )，BC边上的高为 AD求点D和向量AD坐标 解题思路分析： 用解方程组思想设 D (x, y)，则 AD = (x-2 , y+1)BC = (-6 , -3 ) , AD • BC =0• -6(x-2)-3(y+1)=0,即 2x+y-3=0T BD =(x-3 , y-2) , BC // BD• -6(y-2)=-3(x-3) ，即 x-2y+1=0由①②得：『1二 D (1,1), AD = (-1 , 2)例3、求与向量a =(、、3 , -1 )和b = (1, )夹角相等，且模为...2的向量c的坐标。

解题思路分析：用解方程组思想法一：设 c =( x，y)，贝U a • c = 3 x-y， b • c=x+.、3y< a， c >=a c b c|a||c| |b||c|.3x y x . 3y即 x (2 ,3)y ①2 2 小+y =2x由①②得y.3 123 12.3 12.3 12(舍)二 c=(*法二：从分析形的特征着手a • b =0△ AOB为等腰直角三角形，如图• | OC|= 2，/ AOCM BOC••• C为AB中点••• C (说明：数形结合是学好向量的重要思想方法，分析图中的几何性质可以简化 计算例4、在厶OAB的边OA 0B上分别取点 M N,使| 0M | ： | 0A |=1 : 3, | ON | | 0B 1=1 : 4,设线段AN与BM交于点P,记OA = a , OB = b，用a , b表示向量OP解题思路分析：••• B、P、M共线二记 BP =sPMOP —OB1 s—OM — OB1 s 1 ss3(1"S)OA同理，记APt PN0卩=丄玄1 t 4(1a , b不共线•••由①②得11 t11 ss3(1 s)解之得:t4(1 t)9283—b11••• OP — a11进而引入参数(如s, t )是常用技巧之一。

说明：从点共线转化为向量共线，平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于 s, t的方程例5、已知长方形ABCD AB=3 BC=2 E为BC中点，P为AB上一点(1) 利用向量知识判定点P在什么位置时，/ PED=45;(2) 若/ PED=45,求证：P、D C、E四点共圆解题思路分析：利用坐标系可以确定点P位置如图，建立平面直角坐标系则 C (2, 0), D (2, 3), E (1, 0) 设 P (0, y)ED= (1, 3), EP= (-1 , y)。