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第五章第五章 相交线与平行线相交线与平行线复习复习知识结构知识结构相相交交线线两条直线相交邻补角、对顶角对顶角相等垂线及其性质点到直线的距离两条直线被第三条直线所截同位角、内错角、同旁内角平平行行线线平行公理平移判定性质1. 互为邻补角互为邻补角:两条直线相交所构成的四了角中,有公共顶点且 有一条公共边的两个角是邻补角如图(1) 122. 对顶角对顶角: (1)两条直线相交所构成的四个角中，(1) 有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶角如图(2).(2)1234(2)一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角是对顶角3. 邻补角的性质邻补角的性质: 同角的补角相等4. 对顶角性质对顶角性质:对顶角相等两个特征:(1) 具有公共顶点;(2) 角的两边互为反向延长线5.n条直线相交于一点，就有n(n-1)对对顶角※※相交相交※※•1.1.直线直线ABAB、、CDCD相交与于相交与于O,O,图中有图中有几对对顶角？邻补角几对对顶角？邻补角? ?•当一个角确定了当一个角确定了, ,另外三个角的大另外三个角的大小确定了吗小确定了吗? ?OABCD12342.2.直线直线ABAB、、CDCD、、EFEF相交与于相交与于O,O,图中图中有几对对顶角？有几对对顶角？∠∠AOCAOC的对顶角是的对顶角是______________∠COF∠COF的对顶角是的对顶角是________________∠AOC∠AOC的邻补角是的邻补角是________ 。

∠∠EODEOD的邻补角是的邻补角是______________ ∠BOD∠BOD∠DOE∠DOE∠COB, ∠AOD∠COB, ∠AOD∠DOF, ∠COE∠DOF, ∠COEABCDO在解在解决与角的计算有关决与角的计算有关的问题时，经常用的问题时，经常用到代数方法到代数方法例2.已知直线AB、CD、EF相交于点O，OABCDEF1.1.垂线的定义垂线的定义: : 两条直线相交，所构成的四个角中，有一个角是 时，就说这两条直线互相垂直其中一条直线叫做另一条直线的垂线它们的交点叫垂足2. 垂线的性质垂线的性质: (1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 性质(2): 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短简称:垂线段最短3.点到直线的距离点到直线的距离: 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离4.如遇到线段与线段，线段与射线，射线与射线，线段或射线与直线垂直时，特指它们所在的直线互相垂直特指它们所在的直线互相垂直5.垂线是直线，垂线段特指一条线段是图形，点到直线距离是指垂线段的长度，是指一个数量，是有单位的。

你能量出你能量出C C到到ABAB的距离的距离,B,B到到ACAC的距离的距离,A,A到到BCBC的距离吗的距离吗? ? A D C B E F拓拓 展展 应应 用用 如图：要把水渠中的水引到水池如图：要把水渠中的水引到水池C C中，中，在渠岸的什么地方开沟，水沟的长度才在渠岸的什么地方开沟，水沟的长度才能最短？请画出图来，并说明理由能最短？请画出图来，并说明理由C C∟∟理由理由: :垂线段最短垂线段最短┓ABCDOE此题需要正确地此题需要正确地应用、对顶角、应用、对顶角、邻补角、垂直的邻补角、垂直的概念和性质概念和性质OADCB由垂直先找到由垂直先找到 的的角，再根据角之间角，再根据角之间的关系求解的关系求解1.平行线的概念平行线的概念: 在同一平面内，不相交的两条直线叫做在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线2. 两直线的位置关系两直线的位置关系: 在同一平面内，两直线的位置关系只有两在同一平面内，两直线的位置关系只有两 种种:(1)相交相交; (2)平行3. 平行线的基本性质平行线的基本性质: (1) 平行公理平行公理(平行线的存在性和唯一性平行线的存在性和唯一性) 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 (2) 推论推论(平行线的传递性平行线的传递性) 如果两条直线都和第三条直线平行，如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行那么这两条直线也互相平行4.同位角、内错角、同旁内角的概念同位角、内错角、同旁内角的概念 同位角、内错角、同旁内角，指的是一条直线分别与两条直线同位角、内错角、同旁内角，指的是一条直线分别与两条直线 相交构成的八个角中，相交构成的八个角中，不共顶点的角之间的特殊位置关系不共顶点的角之间的特殊位置关系它它 们与对顶角、邻补角一样，们与对顶角、邻补角一样，总是成对存在着的总是成对存在着的 同位角的位置特征是同位角的位置特征是: (1)在截线的同旁，在截线的同旁，(2)被截两直线的同方向被截两直线的同方向内错角的位置特征是内错角的位置特征是: (1)在截线的两旁，在截线的两旁，(2)在被截两直线之间在被截两直线之间同旁内角的位置特征是同旁内角的位置特征是: (1)在截线的同旁，在截线的同旁，(2)在被截两直线之间在被截两直线之间判定两直线平行的方法有三种判定两直线平行的方法有三种:(1)定义法定义法;在同一平面内不相交的两条直线是平行线。

在同一平面内不相交的两条直线是平行线2)传递法传递法;两条直线都和第三条直线平行两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也平行这两条直线也平行3)三种角判定(3种方法): 同位角相等,两直线平行 内错角相等,两直线平行 同旁内角互补,两直线平行在这五种方法中，定义一般不常用在这五种方法中，定义一般不常用读下列语句读下列语句,并画出图形并画出图形•点点p是直线是直线AB外的一点外的一点,直线直线CD经过点经过点P,且与直且与直线线AB平行平行;•直线直线AB、、CD是相交直线是相交直线,点点P是直线是直线AB外的一点外的一点,直线直线EF经过点经过点P与直线与直线AB平行平行,与直线与直线CD交于交于E.．．PABCDCDABP．．EF∠1∠1∠1∠1和和和和∠∠∠∠2 2 2 2不是同位角，不是同位角，不是同位角，不是同位角，练练 一一 练练 如图中的如图中的∠∠1 1和和∠∠2 2是同位角吗是同位角吗? ? 为什么为什么? ?1 1 1 12 2 2 21 1 1 12 2 2 2∵ ∵ ∵ ∵∠1∠1∠1∠1和和和和∠∠∠∠2 2 2 2无一边共线。

无一边共线无一边共线无一边共线∠1∠1∠1∠1和和和和∠∠∠∠2 2 2 2是同位角，是同位角，是同位角，是同位角，∵ ∵ ∵ ∵∠1∠1∠1∠1和和和和∠∠∠∠2 2 2 2有一边共线、同向有一边共线、同向有一边共线、同向有一边共线、同向且不共顶点且不共顶点且不共顶点且不共顶点如图：直线如图：直线a、、b被直线被直线 l 截的截的8个角中个角中 同位角：同位角：∠∠1与与∠∠5 , ∠∠2与与∠∠6 ,∠∠3与与∠∠7 , ∠∠4与与∠∠8. 内错角：内错角：∠∠3与与∠∠5 , ∠∠4与与∠∠6.同旁内角：同旁内角： ∠∠4与与∠∠5 , ∠∠3与与∠∠6. 14328765balABDCFE12345 6789101112练一练（（1 1））∠∠1 1和和 ∠ ∠9 9是由直线是由直线 、、 被直线被直线 所截成的所截成的 角角 ；； （（2 2））∠∠6 6和和 ∠ ∠1212是由直线是由直线 、、 被直线被直线 所截成的所截成的 角角 ；； （（3 3））∠∠4 4和和 ∠ ∠6 6是由直线是由直线 、、 被直线被直线 所截成的所截成的 角角 ；； （（4 4）由直线）由直线ABAB、、CDCD被直线被直线EF EF 所截成的同位角有所截成的同位角有 ； （（5 5））∠∠7 7和和 ∠ ∠1212是是 角角 ； 在判断两个角时一在判断两个角时一定要先知道由哪两定要先知道由哪两条直线被哪条直线条直线被哪条直线所截呦！所截呦！ABCDEF同位同位ABEFCD内错内错ABCDEF同旁内同旁内∠1 ∠1 和和∠∠9 9、、 ∠ ∠4 4和和 ∠ ∠1212、、∠∠2 2和∠10、 ∠3 和∠11同旁内同旁内例例1. ∠∠1与哪个角是内错角？与哪个角是内错角？ ACBDE12答：答：∠∠ EAC答：答：∠∠ DAB答：答：∠∠ BAC,∠∠BAE , ∠∠2 ∠∠1与哪个角是同旁内角？与哪个角是同旁内角？∠∠2与哪个角是内错角与哪个角是内错角?1 1 1 1、、、、观察右图并填空：观察右图并填空：观察右图并填空：观察右图并填空：(1)(1)(1)(1) ∠1∠1∠1∠1 与与与与 是同位是同位是同位是同位角角角角; ; ; ; (2)(2)(2)(2) ∠5∠5∠5∠5 与与与与 是是是是同旁内角同旁内角同旁内角同旁内角; ; ; ; (3)(3)(3)(3) ∠1∠1∠1∠1 与与与与 是内错是内错是内错是内错角角角角; ; ; ; 随堂练习随堂练习b ba an nmm2 23 31 14 45 5∠4∠4∠4∠4∠3∠3∠3∠3∠2∠2∠2∠2 2 2 2 2、、、、 指出图中的同位角指出图中的同位角指出图中的同位角指出图中的同位角、、、、内错内错内错内错角、同旁内角角、同旁内角角、同旁内角角、同旁内角a ab bl lmmn n1 12 23 34 4同位角同位角同位角同位角: :∠4∠4∠4∠4与与与与∠∠∠∠1 1内错角内错角内错角内错角: :∠4∠4∠4∠4与与与与∠∠∠∠2 2同旁内角同旁内角同旁内角同旁内角: :∠3∠3∠3∠3与与与与∠∠∠∠1 1平平行行线线的的性性质质平平行行线线的的判判定定两直线平行两直线平行条件条件结论结论同位角相等同位角相等内错角相等内错角相等同旁内角互补同旁内角互补条件条件同位角相等同位角相等内错角相等内错角相等同旁内角互补同旁内角互补结论结论两直线平行两直线平行夹夹在在两两平平行行线线间间的的垂垂线线段段的的长长度度,叫叫做做两两平平行行线线间间的的距距离离。

综合应用综合应用: :ABCDEF1231、填空：、填空： (1)、、∵∵　　∠∠A=____, (已知）已知） AC∥∥ED ,(_____________________) (2)、、 ∵∵AB ∥∥______, (已知）已知） ∠∠2= ∠∠4，，(______________________) 45(3)、、 ___ ∥∥___, (已知）已知） ∠∠B= ∠∠3. (___________ ___________) 试一试，你准行！试一试，你准行！ 模仿上题自己编题模仿上题自己编题考查平行线的性质或判定）（考查平行线的性质或判定）∠∠4同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行DF两直线平行两直线平行, 内错角相等内错角相等ABDF两直线平行两直线平行, 同位角相等同位角相等.判定判定性质性质 性质性质∴∴∴∴∴∴∵∵ABCDEF123456如图：如图： 填空，并注明理由。

填空，并注明理由1）、）、∵∵　　∠∠1= ∠∠2 （已知）（已知） ——∥∥—— （（ ）） ∵∵　　∠∠3= ∠∠4 （已知）（已知） ——∥∥—— （（ ）） ∵∵　　∠∠5= ∠∠6 （已知）（已知） ——∥∥—— （（ ）） ∵∵ ∠∠5+ ∠∠AFE=180 （已知）（已知） ——∥∥—— （（ ）） ∵∵ AB ∥∥FC, ED ∥∥FC （已知）（已知） ——∥∥——（（ ））∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴ABED内错角相等。

两内错角相等两直线平行，直线平行， AFBE同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行 BCEF 内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行AFBE同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行ABED平行于同直线的两条直线互相平行平行于同直线的两条直线互相平行平行线的判定应用练习：平行线的判定应用练习：例例2. 已知已知∠∠∠∠DAC= DAC= ∠ ∠ ∠ ∠ACB, ACB, ∠ ∠ ∠ ∠D+D+∠ ∠ ∠ ∠DFE=180DFE=1800, ,求证求证求证求证:EF//BC:EF//BC 证明证明: ∵ ∵ ∵ ∵ ∠ ∠ ∠ ∠DAC= DAC= ∠ ∠ ∠ ∠ACB ACB (已知已知) ∴ ∴ ∴ ∴ AD// BCAD// BC ( (内错角相等内错角相等内错角相等内错角相等, ,两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行) ) ∵ ∵ ∵ ∵ ∠ ∠ ∠ ∠D+D+∠ ∠ ∠ ∠DFE=180DFE=1800(已知已知) ∴ ∴ ∴ ∴ AD// EFAD// EF ( (同旁内角互补同旁内角互补同旁内角互补同旁内角互补, ,两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行) ) ∴ ∴ ∴ ∴ EF// BCEF// BC ( (平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行) )ABCDEF例例1. 如图如图 已知：已知：∠∠1+∠ ∠2=180°，，求证：求证：AB∥ ∥CD。

证明：由：证明：由：∠∠1+∠2=1801+∠2=180°°( (已知已知) )，， ∠ ∠1=∠31=∠3（对顶角相等）（对顶角相等）. . ∠2=∠4 ∠2=∠4（对顶角相等（对顶角相等) ) 根据：根据：等量代换等量代换得：得：∠∠3+∠4=1803+∠4=180°°. . 根据：根据：同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行 得：得：AB//CDAB//CD . .4123ABCEFD例2. 如图，已知：已知：AC∥ ∥DE，，∠∠1=∠ ∠2，试证明，试证明AB∥ ∥CD 证明：证明： ∵∵由由AC∥ ∥DE （已知）（已知） ∴∴ ∠∠ACD= ∠ ∠2 (两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等) ∵ ∵ ∠ ∠1=∠ ∠2（已知）（已知） ∴∴ ∠∠1=∠ ∠ACD(等量代换等量代换) ∴ ∴AB ∥ ∥ CD (内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行)ADBE12C例例3.已知已知 EF⊥ ⊥AB，，CD⊥ ⊥AB，，∠∠EFB=∠ ∠GDC，，求证：求证：∠∠AGD=∠ ∠ACB。

证明：证明： ∵∵ EF⊥ ⊥AB，，CD⊥ ⊥AB （已知）（已知） ∴∴ EF ∥ ∥ CD (垂直于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一条直线的两条直线互相平行) ∴ ∴ ∠ ∠EFB＝＝ ∠∠DCB （两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） ∵∵ ∠∠EFB=∠ ∠GDC （已知）（已知） ∴∴ ∠∠DCB=∠ ∠GDC （等量代换）（等量代换） ∴∴ DG∥ ∥BC （内错角相等（内错角相等,两直线平行）两直线平行） ∴∴ ∠∠AGD=∠ ∠ACB （两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）例例4. 两块平面镜的夹角应为多少度两块平面镜的夹角应为多少度?如图，两平面镜а、β的夹角为θ，入射光线AO平行于β入射到а上，经两次反射后的反射光线 平行于а，则角θ=_____度аβθOBA123451. 命题的概念命题的概念: 判断一件事情的句子，叫做命题叫做命题命题必须是一个完整的句子命题必须是一个完整的句子; 这个句子必须对某件事情做出肯定或者否定的判断。

两者缺一不可两者缺一不可2. 命题的组成命题的组成: 每个命是由题设、结论两部分组成每个命是由题设、结论两部分组成 题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项命题常写成 “如果……，那么……”的形式或 “若……，则……”等形式3.真命题和假命题真命题和假命题: 命题是一个判断，命题是一个判断，这个判断可能是正确的， 也可以是错误的由此可以把命题分成真命题和假命题真命题和假命题 真命题就是真命题就是: 如果题设成立，那么结论一定成立的命题 假命题就是假命题就是: 如果题设成立时，不能保证结论总是成立的命题4.定理：定理：它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫做定理定理.5.证明：证明：一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程 叫做证明证明.例例1. 判断下列语句，是不是命题，如果是命题，是真命题，判断下列语句，是不是命题，如果是命题，是真命题，还是假命题还是假命题?(1)画线段AB=2cm(2)直角都相等;(3)两条直线相交，有几个交点?(4)如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角5)相等的角都是直角;分析分析: 因为因为(1)、、(3)不是对某一件事作出判断的句子，所以不是对某一件事作出判断的句子，所以(1)、、(3)不是命题。

不是命题 解解. (1)、、(3)不是命题不是命题; (2)、、(4)、、(5)是命题是命题; (2)、、(4)都是真都是真命，命，(5)是假命题是假命题练习练习1 1、下列命题是真命题的有（、下列命题是真命题的有（ ））A A、相等的角是对顶角、相等的角是对顶角 B B、不是对顶角的角不相等、不是对顶角的角不相等C C、对顶角必相等、对顶角必相等 D D、有公共顶点的角是对顶角、有公共顶点的角是对顶角E E 、邻补角的和一定是、邻补角的和一定是180180度度F F、互补的两个角一定是邻补角、互补的两个角一定是邻补角G G、两条直线相交、两条直线相交, ,只要其中一个角的大小确只要其中一个角的大小确定了定了, ,那么另外三个角的大小就确定了那么另外三个角的大小就确定了 C、、E、、G 例例2. 如图给出下列论断如图给出下列论断: (1)AB//CD (2)AD//BC (3)∠A=∠C∠A=∠C以上，其中两个作为题设，另一个作为结论，用以上，其中两个作为题设，另一个作为结论，用 “如果如果……，，那么那么……”的形式，写出一个你认为正确的命题。

的形式，写出一个你认为正确的命题ABCD分析分析: 不妨不妨选择选择(1)与与(2)作条件，作条件，由平由平行性质行性质 “两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补”可得可得∠∠A=∠CA=∠C，，故满足要求由故满足要求由(1)(1)与与(3)(3)也能得出也能得出(2)(2)成立，由成立，由(2)(2)与与(3)(3)也也能得出能得出(1)(1)成立解: 如果在四边形ABCD中，AB//DC、AD//BC，那么∠A=∠C1. 平移的定义平移的定义: 把一个图形整体沿某一方向移动，会得到 一个新图形，这样的图形运动，叫做平移叫做平移2.平移的特征平移的特征: (1)平移不改变图形的形状和大小 (2)新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到 的，这两个点是对应点，对应点连结而成的线段平行且相等3.决定平移的因素是平移的决定平移的因素是平移的方向和距离方向和距离4.经过平移，图形上的每一点都沿同一方向移动相同的距离经过平移，图形上的每一点都沿同一方向移动相同的距离5.经过平移，经过平移，对应角相等对应角相等;对应线段平行且相等;对应点所连的线对应点所连的线 段平行且相等。

段平行且相等例例1. 在以下生活现象中在以下生活现象中,不是平移现象的是不是平移现象的是A.站在运动着的电梯上的人站在运动着的电梯上的人B.左右推动的推拉窗扇左右推动的推拉窗扇C.小李荡秋千运动小李荡秋千运动D.的躺在火车上睡觉的旅客的躺在火车上睡觉的旅客分析分析: A、、B、、D属平移，在一个位置取两点连成一条线属平移，在一个位置取两点连成一条线，在另一个位置再观察这条线段，发现是平行的，而，在另一个位置再观察这条线段，发现是平行的，而C同样取两点连成一条线段，运动到另一位置时，可能已同样取两点连成一条线段，运动到另一位置时，可能已不平行不平行解解: 选选C2.下列生活中的物体的运动情况可以看成下列生活中的物体的运动情况可以看成平移的是平移的是( )（（1）摆动的钟摆）摆动的钟摆 （（2）在笔直的公路上行驶的汽车）在笔直的公路上行驶的汽车（（3）随风摆动的旗帜）随风摆动的旗帜 （（4）摇动的大绳）摇动的大绳（（5）汽车玻璃上雨刷的运动）汽车玻璃上雨刷的运动（（6）从楼梯自由落下的球（球不旋转））从楼梯自由落下的球（球不旋转）例例2. 如图所示，如图所示，△△ABCABC平移到平移到△△A′B′C′A′B′C′的位置，则点的位置，则点A A的的对应点是对应点是____________，点，点B B的对应点是的对应点是____________，点，点C C的对应点是的对应点是________。

线段线段ABAB的对应线段是的对应线段是______________________，线段，线段BCBC的对应线段是的对应线段是__________________，线段，线段ACAC的对应线段是的对应线段是______________________∠∠BACBAC的对应的对应角是角是____________________，，∠∠ABCABC的对应角是的对应角是________________________，，∠∠ACBACB的的对应角是对应角是______________________△△ABCABC的平移方向是的平移方向是______________________________________________________________________________________，平移距离是，平移距离是________________________________________________________________________________________ABCA′B′C′A′′B′′C′′沿着射线沿着射线AA′′(或或BB′′，或，或CC′)′)的方向的方向线段线段AA′′的长的长(或线段或线段BB′′的长或线段的长或线段CC′CC′的长的长ABCDE1F2操作与解释：操作与解释：v数学课上有这样一道题：数学课上有这样一道题：“如图，以如图，以点点B B为顶点为顶点, ,射线射线BCBC为一边，利用尺规作为一边，利用尺规作∠∠EBCEBC，使得，使得∠∠EBC=∠AEBC=∠A，，EBEB与与ADAD一定平一定平行吗？行吗？”。

小王说小王说“一定平行一定平行”；而；而小小李说李说“不不一定平行一定平行”你更赞同谁的观你更赞同谁的观点？点？已知：已知：AB∥CDAB∥CD试探索①∠①∠A A、、∠∠C C与与∠∠AECAEC之间的关系；之间的关系；②∠②∠B B、、∠∠D D与与∠∠BFDBFD之间的关系之间的关系ABCDEF几 何之 旅ll1234。