2011考研数学二真题(有答案解析).pdf

数学 (二)试题第 1 页 ( 共 13 页 )2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题 (1 8 小题，每小题4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上) (1) 已知当x0时，fxxx3sinsin3与cxk是等价无穷小，则( ) (A) kc1,4 (B) kc1,4 (C) kc3,4 (D) kc3,4 (2) 已知fx在x0处可导，且f 00，则xx fxfxxlim20323=( ) (A) f20 (B) f0 (C) f0 (D) 0(3) 函数f xxxx( )ln (1)(2)(3)的驻点个数为( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(4) 微分方程yyeexx(0)2的特解形式为( ) (A) a eexx()(B) ax eexx()(C) x aebexx() (D) xaebexx()2(5) 设函数f xg x( ),( )均有二阶连续导数，满足fg(0)0, (0)0,且fg(0)(0)0，则函数zf x g y( ) ( )在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) fg(0)0,(0)0. (B) fg(0)0,(0)0.(C) fg(0)0,(0)0. (D) fg(0)0,(0)0.(6) 设Ixdxln sin04，Jxdxln cot04，Kxdxlncos04，则IJ K,的大小关系是 ( ) (A) IJK (B) IKJ (C) JIK (D) KJI(7) 设A为 3 阶矩阵，将A的第 2 列加到第1 列得矩阵B，再交换B的第 2 行与第 3行得单位矩阵，记P0011101001，P0100011002，则A( ) (A) PP12 (B) PP121 (C) P P2 1 (D) P P211(8) 设A(,)1234是 4 阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若T(1,0,1,0)是方程组数学 (二)试题第 2 页 ( 共 13 页 )Ax0的一个基础解系，则A x0*的基础解系可为( ) (A) ,13 (B) ,12 (C) ,123 (D) ,234二、填空题 (9 14 小题，每小题4 分，共 24 分请将答案写在答题纸指定位置上) (9) xxx2lim()1201(10) 微分方程yyexxcos满足条件y(0)0的解为(11) 曲线ytdtxx4tan(0)0的弧长s(12) 设函数xf xexx0,0,( )0,0,则xf x dx( )(13) 设 平 面 区 域D由 直 线yx,圆xyy222及y轴 围 成 ， 则 二 重 积 分xydD(14) 二次型fx xxxxxx xx xx x(,)3222123123121 323222，则f的正惯性指数为三、解答题 (15 23 小题，共94 分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15) (本题满分10 分 ) 已知函数xF xtdtax( )ln(1)02，设F xF xxxlim( )lim( )0,0试求a的取值范围 (16) (本题满分11 分 ) 设 函 数yy x( )由 参 数 方 程yttxtt33,1133,1133确 定 ， 求yy x( )的 极 值 和 曲 线yy x( )的凹凸区间及拐点(17) (本题满分9 分) 设函数zf xy yg x(,( )，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g x( )可导且在x1处取得极值g(1)1，求x yzyx112 (18) (本题满分10 分 ) 数学 (二)试题第 3 页 ( 共 13 页 )2111112Oyxxyy222xy122设函数y x( )具有二阶导数， 且曲线lyy x:( )与直线yx相切于原点， 记为曲线l在点x y( , )处切线的倾角，若dxdxddy,求y x( )的表达式(19) (本题满分10 分 ) (I) 证明：对任意的正整数n，都有nnn1ln(1)111成立(II)设nan nn21ln(1,2,)11，证明数列an收敛(20) (本题满分11 分 ) 一 容 器 的 内 侧 是 由 图 中 曲 线 绕y轴 旋 转 一 周 而 成 的 曲 面 ， 该 曲 线 由xyy y22 ()122与xyy21()122连接而成的(I) 求容器的容积；(II) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？( 长度单位：m，重力加速度为gm s/2，水的密度为kgm10/33) 图(21) (本题满分11 分 ) 已知函数f x y( ,)具有二阶连续偏导数，且fy(1, )0，f x( ,1)0，f x y dxdy aD( , )，其中Dx yxy( , )|01,01，计算二重积分Ixyfx y dxdyDxy( , )(22) (本题满分11 分 ) 设向量组TTT(1, 0,1),(0,1,1),(1, 3, 5123，不能由向量组T(1,1,1)1，T(1,2,3)2，aT(3,4,)3线性表示(I) 求a的值；(II) 将,123由,123线性表示(23) (本题满分11 分 ) A为三阶实对称矩阵，A的秩为 2，即rA2，且A111100001111数学 (二)试题第 4 页 ( 共 13 页 )(I) 求A的特征值与特征向量；(II) 求矩阵A2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题 (1 8 小题，每小题4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上) (1) 【答案】 (C) 【解析】因为03sinsin 3limkxxxcx03sinsincos2cos sin 2limkxxxxxxcx20sin3cos22coslimkxxxxcx2103cos22coslimkxxxcx221032cos12coslimkxxxcx22110044cos4sinlimlimkkxxxxcxcx304lim1kxcx所以4,3ck，故答案选 (C) (2)【答案】 (B) 【解析】23302limxx fxfxx数学 (二)试题第 5 页 ( 共 13 页 )223300220limxx fxx ffxfx33000lim2xfxffxfxx0200fff故答案选 (B) (3) 【答案】 (C) 【解析】( )ln1ln2ln3f xxxx111( )123fxxxx231211(1)(2)(3)xxxxx令( )0fx，得1,2633x，故( )f x有两个不同的驻点(4) 【答案】 (C) 【解析】 微分方程对应的齐次方程的特征方程为220r，解得特征根12rr,所以非齐次方程2xyye有特解1xyx a e, 非齐次方程2xyye有特解2xyx b e，故 由 微 分 方 程 解 的 结 构 可 知 非 齐 次 方 程2xxyyee可 设 特 解().xxyx aebe(5) 【答案】 (A) 【解析】由题意有( ) ( )zfx g yx，( )( )zf x g yy所以，0,0(0) (0)0zfgx，0,0(0)(0)0zfgy，即0,0点是可能的极值点又因为22( ) ( )zfx g yx，2( )( )zfx gyx y，22( ) ( )zgy f xy，所以，2(0,0)2|(0)(0)zAfgx，2(0,0)|(0)(0)0zBfgx y，数学 (二)试题第 6 页 ( 共 13 页 )2(0,0)2|(0)(0)zCfgy，根据题意由0,0为极小值点，可得20,ACBA C且(0)(0)0Afg，所以有(0)(0)0.Cfg由题意(0)0,(0)0fg，所以(0)0,(0)0fg，故选 (A) (6) 【答案】 (B) 【解析】因为04x时，0sincos1cotxxx，又因ln x是单调递增的函数，所以lnsinln coslncotxxx故正确答案为 (B) (7) 【答案】 (D) 【解析】由于将的第 2 列加到第1 列得矩阵，故100110001AB，即1APB，11ABP由于交换的第 2 行和第 3行得单位矩阵，故100001010BE，即2,P BE故122BPP因此，121AP P，故选 (D) (8) 【答案】 (D) 【解析】由于(1,0,1,0)T是方程组0Ax的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0TA，且()413r A， 即130， 且0A 由 此 可 得*|A AA EO， 即*1234(,)AO，这说明1234,是*0A x的解由 于( )3r A，130， 所 以234,线 性 无 关 又 由 于()3r A， 所 以*()1r A，因此*0A x的基础解系中含有413个线性无关的解向量而234,线性无关，且为*0A x的解，所以234,可作为*0A x的基础解系，故选(D) 二、填空题 (9 14 小题，每小题4 分，共 24 分请将答案写在答题纸指定位置上) (9) 【答案】2数学 (二)试题第 7 页 ( 共 13 页 )【解析】原式=01 21lim (1)2xxxe00212ln 21limlimln 22222xxxxxeee(10) 【答案】sinxyex【解析】由通解公式得(cos)dxdxxyeex edxC( cos)xexdxC(sin)xexC由于(0)0,y故C=0所以sinxyex(11) 【解析】选取x为参数，则弧微元2211tansecdsydxxdxxdx所以4400secln sectanln(12)sxdxxx(12) 【答案】1【解析】原式00 xxx edxxde0001lim0 xxxxxxxeedxee01111limlimxxxxeee(13) 【答案】712【解析】原式2sin2sin3220044cossincossindrrrdrrdr dr4241sincos16sin4d5522444cossin4sinsindd66447sin612(14) 【答案】 2【解析】方法1：f的正惯性指数为所对应矩阵的特征值中正的个数二次型f对应矩阵为11 113 111 1A数学 (二)试题第 8 页 ( 共 13 页 )111000131131132111111112EA321412，故1230,1,4因此f的正惯性指数为2方法 2：f的正惯性指数为标准形中正的平方项个数222123123121323,3222fx xxxxxx xx xx x2222212322332323232xxxxx xxxxx x2212322xxxx，令11232233,yxxxyxyx则22122fyy，故f的正惯性指数为2三、解答题 (15 23 小题，共94 分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15) (本题满分10 分 ) 【解析】如果0a时，2200(1)limlimln(1)xxaaxxlntdtxtdtx，显然与已知矛盾，故0a当0a时，又因为22230110000ln(1)ln(1)1limlimlimlim0 xaaaaxxxxtdtxxxxaxaxa所以30a即3a又因为223201222ln(1)ln(1)210limlimlimlim(1)(1)1xaaaaxxxxxtdtxxxxaxa axa ax所以32a，即1a，综合得13a (16) (本题满分 11 分) 【解析】因为221( )1dytdty xdxtdt，数学 (二)试题第 9 页 ( 共 13 页 )2222222231()12 (1)(1) 2141( ),(1)1(1)tdt tttttyxdxdttttdt令( )0y x得1t，当1t时，53x，13y，此时0y，所以13y为极小值当1t时，1x，1y，此时0y，所以1y为极大值令( )0yx得0t，13xy当0t时，13x，此时0y；当0t时，13x，此时0y所以曲线的凸区间为。