[研究生入学考试题库]考研数学一分类模拟题概率论与数理统计数理统计的基本概念.docx

[研究生入学考试题库]考研数学一分类模拟题概率论与数理统计数理统计的基本概念一、选择题问题:1. 设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值，则下列样本的函数中不是统计量的是 (A) ． (B) max{X1，X2，…，Xn}． (C) X1-EX1． (D) min{X1，X2，…，Xn}． 答案:C[解析] 因为X1-EX1依赖于未知的数学期望EX1，所以不是统计量．应选(C)．问题:2. 设Fn(x)是来自总体X容量为n的简单随机样本的经验分布函数，F(x)是总体X的分布函数，则下列命题错误的是：对于每个给定的x，Fn(x)A.是分布函数．B.依概率收敛于F(x)．C.是一统计量．D.的数学期望是F(x)．答案:A[解析] 对于每个固定的x，Fn(x)根本不是分布函数，因此(A)错误，故选(A)．问题:3. 设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则A.X+Y服从正态分布．B.X2+Y2服从χ2分布．C.X2和Y2都服从χ2分布．D.X2/Y2服从F分布．答案:C[解析] 题目仅给出X和Y都服从标准正态分布而没有“相互独立”的假设，而(A)、(B)、(D)都要求X与Y相互独立，因此正确选项只能是(C)．事实上，由χ2分布典型模式知：若X～N(0，1)，Y～N(0，1)，则X2～χ2(1)，Y2～χ2(1)．问题:4. 设总体X服从正态分布N(μ，σ2)，X1,…，Xn是取自总体X的简单随机样本，，则 (A) (B) (C) (D) 答案:D[解析] 直接应用正态总体抽样分布的结论： 所以选(D)． 问题:5. 设总体X服从正态分布N(μ，σ2)，X1，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，其均值为，则 (A) (B) (C) (D) 答案:A[解析] 根据正态总体抽样分布的结果，知 所以(C)、(D)都不成立．由于Xi～N(μ，σ2)，故且相互独立，根据χ2分布典型模式知 因此正确的选项是(A)． 问题:6. 设总体X服从正态分布N(0，σ2)(σ2已知)，X1，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，S2为样本方差，则 (A) (B) (C) (D) 答案:D[解析] 由于总体X～N(0，σ2)，故且相互独立，所以 又 而Xi与S2不独立，所以(A)、(B)、(c)都不成立，正确选项只能是(D)．事实上，由于与S2独立，故与S2独立，而 根据χ2分布的可加性知 故(D)成立． 问题:7. 设X1，X2，…，Xn是来自总体N(μ，σ2)的简单随机样本，为样本的均值，记 则下列服从自由度为n-1的t分布的随机变量是 (A) (B) (C) (D) 答案:B[解析] 由正态总体抽样分布与t分布典型模式知，服从t(n-1)的随机变量仅能在含有的选项(A)、(B)中考虑，这是因为 又由 即知正确选项应该是(B)．事实上，由于总体X～N(μ，σ2)，故 所以 问题:8. 设总体X服从正态分布N(0，σ2)，、S2分别为容量是n的样本的均值和方差，则下列服从自由度为n-1的t分布的随机变量是 (A) ． (B) ． (C) ． (D) ．答案:[解析] 由正态总体抽样分布及t(n-1)分布的典型模式即知正确选项为(A)．事实上，由于总体X～N(0，σ2)，故 又与S2独立，所以 问题:9. 设随机变量X～t(n)(n＞1)，，则A.Y～χ2(n)．B.Y～χ2(n-1)．C.Y～F(n，1)．D.Y～F(1，n)．答案:C[解析] 由t(n)分布的典型模式：若U～N(0，1)，V～χ2(n)，U与V独立，则，即得 由题设知X与Z同分布，从而知同分布，所以正确选项为(C)．问题:10. 假设X，X1，X2，…，X10是来自正态总体N(0，σ2)的简单随机样本，，则 (A) X2～χ2(1)． (B) Y2～χ2(10)． (C) ． (D) ．答案:C[解析] 由于总体服从正态分布N(0，σ2)，由χ2分布典型模式知(A)、(B)不成立．又(D)的F分布自由度为(10，1)与不符合，放正确选项为(C)．事实上，由题设知 又X，X1，…，X10相互独立，从而X与Y2独立，所以 问题:11. 设X1，…，Xn是取自标准正态总体N(0，1)的简单随机样本，其均值为，则下列结论不正确的是 (A) (B) (C) (D) 答案:D[解析] 由F分布典型模式知结论不正确的选项只能在(C)、(D)中选一，显然与(Xi-)2不独立，故选(C)．由于总体X～N(0，1)，故Xi～N(0，1)且相互独立，所以 (其中S2为样本方差，σ2=1)． 选项(A)、(B)正确．又 与S2独立，所以 选项(D)正确． 问题:12. 设总体X服从正态分布N(0，σ2)，X1，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，其均值、方差分别为X、S2，则 (A) (B) (C) (D) 答案:C[解析] 由正态总体抽样分布与F分布典型模式知正确选项为(C)．事实上，总体X～N(0，σ2)，故 又与S2独立，所以 问题:13. 设总体X服从正态分布N(0，σ2)，X1，…，X10是取自总体X的简单随机样本，则 (A) (B) (C) (D) 答案:B[解析] 选项(A)、(C)的分子、分母中均有相同变量，因而不相互独立，所以只能在(B)、(D)中选择．由F典型模式知，比值系数k应为F(m，n)分布中自由度的比值：，，所以正确选项为(B)．事实上， 又Y1与Y2独立，故 问题:14. 设总体X服从正态分布N(0，σ2)，X1，…，X10是来自总体X的简单随机样本，统计量Y=服从F分布，则i等于A.5．B.4．C.3．D.2．答案:D[解析] 由统计量Y的表达式知其系数4应为F(m，n)自由度的比值，即，解得i=2．事实上，由 U与V独立，所以 由题设知，解得i=2，正确选项为(D)．问题:15. 设总体X～N(μ1，4)，Y～N(μ2，5)，X与Y相互独立，X1，…，X8和Y1，…，Y10是分别来自总体X和Y的两个样本，分别为两个样本的方差，则 (A) (B) (C) (D) 答案:D[解析] 由F分布典型模式知，若aX～χ2(m)，bY～χ2(n)，X与Y相互独立，则 依题意 又独立，故服从F(7，9)分布，其系数 故选(D)． 问题:16. 已知总体X的期望EX=0，方差DX=σ2，X1，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，其均值和方差分别为、S2，统计量，则A.Y服从参数为n的χ2分布．B.EY=n．C.DY=2nD.以上结论都不对．答案:B[解析] 总体分布未知，因而选项(A)不成立．或若(A)成立，则(B)、(D)都成立，所以(A)不成立．由题设EX=μ，DX=σ2，我们只能计算EYn，所以最大可能的选项应该是(B)．事实上，由 得 故 二、填空题问题:1. 设X1，X2，X3，X4相互独立同服从标准正态分布，是算术平均值，则服从参数为______的______分布．答案:1，χ2[解析] 熟知X1+X2+X3+X4服从正态分布N(0，4)，因此 服从自由度为1的χ2分布． 问题:2. 假设总体X～N(0，32)，X1，X2，…，X8是来自总体X的简单随机样本，则统计量 服从参数为______的______分布． 答案:4，t[解析] 由于独立正态分布的随机变量的线性组合仍然服从正态分布，易见 作为独立标准正态随机变量的平方和， 服从χ2分布，自由度为4；随机变量U和χ2显然相互独立．随机变量Y可以表示为 由t分布随机变量的典型模式，可知随机变量Y服从自由度为4的t分布． 问题:3. 设总体X～N(a，2)，Y～N(b，2)并且独立；基于分别来自总体X和Y的容量相应为m和n的简单随机样本，得样本方差，则统计量 服从参数为______的______分布． 答案:m+n-2，χ2[解析] 利用结论：“设总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机佯本，和S2分别为样本均值和样本方差，则(1)服从自由度为n-1的t分布；(2)χ2=服从自由度为n-1的χ2分布．”可知 分别服从自由度为m-1和自由度为n-1的χ2分布，并且相互独立．从而，由χ2分布随机变量的可加性知，T服从自由度为m+n-2的χ2分布． 问题:4. 设总体X在区间[0，2]上服从均匀分布，Fn(x)是来自X容量为n的简单随机样本的经验分布函数，则对于任意x∈[0，2]，EFn(x)=______；DFn(x)=______．答案:，[解析] 总体X的分布函数为对于任意x∈[0，2]，以vn(x)表示n次简单随机抽样事件{X≤x}出现的次数，则vn(x)服从参数为(n，F(x))的二项分布，因此Evn(x)=nF(x)，从而 问题:5. 设总体X的密度函数又，S2分别为取自总体X容量为n的样本的均值和方差，则E=______；=______；ES2=______．答案:0，，[解析] 由于，由题设有 所以 问题:6. 设总体X服从参数为p的0-1分布，即P{X=0}=1-p，P{X=1}=p(0＜p＜1)，X1，…，Xn是取自总体X容量为n的样本，X为其均值，则(k=0，1，…，n)．答案:[解析] 因Xi相互独立且都服从参数为p的0-1分布，所以，即=，故．问题:7. 已知(X，Y)的联合概率密度为 则服从参数为______的______分布．答案:F(1，1)，二项[解析] 由题设知(X，Y)服从二维正态分布且密度函数为 故X～N(0，22)，Y～N(1，32)，X与Y相关系数ρ=0，所以X与Y独立，～N(0，1)，根据F分布典型模式知 问题:8. 设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2，则当a=______，b=______时，统计量Y服从χ2分布，自由度为______．答案:，，2[解析] 依题意Xi。