导数典型例题讲解.docx

资料一：导数.知识点x+( x)2 =4 x + ( x)21.导数的概念例1.已知曲线y=3/X上的一点P(0,0),求过点P的切线方程•解析：如图，按切线的定义，当x0时，割线PQ的极限位置是y轴(此时斜率不存在)，因此过P点的切线方程是x=0.例2.求曲线y=xy 1lim ——=lim - x 0 x x 0 1 x(1 \1 x)在点(2,4)处的切线方程•解析：:y=x2,y=(xo+x)2_xo2=2xox) 4.・二k=lim—ylim(4x0xx0曲线y=x2在点(2,4)处切线方程为y—4=4(x—2)即4x—y—4=0.例3.物体的运动方程是S=1+t+t2,其中S的单位是米，t的单位是秒，求物体在t=5秒时的瞬时速度及物体在一段时间［5,5+t］内相应的平均速度.解析：S=l+t+t2,;S=1+(t+t)+(t+t)2-,St即在［5(1+t+t2)=2t•t+t+(t)2,2t1t,即V(t)2t1t,v(5)t11,5+t］的一段时间内平均速度为(t+11)米/秒Sv(t)=S'=lim0—lim(2t1t)2t1即v(5)=2X5+1=11.物体在t=5秒时的瞬时速度是11米/秒.例4.利用导数的定义求函数y=+在x=1处的导数。

y = 1 x \1 x(1 v1 x)解析：y=/111,10,,1x.1x2.1xsin—例5.已知函数f(x)=x0,求函数f(x)在点x=0处的导数0解析：由已知f(x)=0,即f(x)在x=0处有定义，y=f(0+x)-1f(0)=(x)sin一,y1y1—=xsin—,lim—=limxsin—=0,即f(0)=0.xx0xx0x函数f(x)在x=0处导数为0.122(x例6.已知函数f(x)=21,2(x1)1)x<1,判断f(x)在x=1处是否可导?x1解析：f(1)=1,lim-yx0xlimx01221(ix)21]1limx01(1-x)1,2y• lim —x 0 xlimx 0lim—ylimx0xx01-(1x1)1函数y=f(x)在x=1处不可导.x) 3+3—y' =lim —y =6x2.x 0 x例7.已知函数y=2x3+3,求v；解析：:y=2x3+3,y=2(x+(2x3+3)=6x2•x+6x•(x)2+2(x)3,—=6x2+6x•x+2(x)2,x例8.已知曲线y=2x3+3上一点P,P点横坐标为x=1,求点P处的切线方程和法线方程.解析：:x=1,「.y=5,P点的坐标为(1,5),利用例7的结论知函数的导数为V,=6x2,..y'|x1=6,「•曲线在P点处的切线方程为y—5=6(x—1)即6x—y—1=0,又曲线在P点处法线的斜率为一1,6•••曲线在P点处法线方程为y—5=—1(x—1),即6y+x—31=0.6例9.抛物线y=x2在哪一点处切线平行于直线y=4x—5?解析：:V'=lim—y=lim(x——x———2x,x0xx0xxf(x0 -) f(x0)lim t .X 0 x'(x0)定义中的极限形式令2x=4.「.x=2,y=4,即在点P(2,4)处切线平行于直线y=4x—5.例10.设mtw。

f(x)在x0处可导，求下列极限值f(x0mx)f(x0)(1) lim;(2)x0x解析：要将所求极限值转化为导数ff(x0mx)f(x0)f(x0mx)f(x0)(1) lim-=lim-(m)mf'(x0),x0xx0mx(其中一m・x0)1 ,-f'(xo).'(1).f(Xo-x)f(%)f(Xo-)f(Xo)1(2) limt=limt-x0xx0xtT1(其中1x0)例11.设函数“乂)在乂=1处连续，且limf-(x)2,求fx1x1解析：:f(x)在x=1处连续，・•.limf(x)f(1).f(x)f(x)一一而又limf(x)lim(x1)lim(x1)lim0X2=0.x1x1x1x1x1x1f(1)=0.・•・f'(1)=limf(1―x)f(1)limf(x)f(1)2(将x换成x—1)x0x- -lim cos(x x 01x1即f'(1)=2.例12.已知抛物线y=ax2+bx+c(aw0),通过点(1,1),且在点(2,—1)处与直线y=x—3相切，求a,b,c的值.解析：由y'=ya(xx)2b(xx)c(ax2bxc)lim—=limL222axb,x0xx0x由函数在点(2,—1)处与直线y=x—3相切，・•・2aX2+b=1,又函数过点(1,1),(2,-1),「.a+b+c=1,4a+2b+c=—1,由三式解得a=3,b=—11,c=9.例13.设曲线y=sinx在点A(-,))处切线倾斜角为9,求tan(——8)的624值.解析：:y=sinx,y=sin(x+x)—sinx=2cos(x+—x)sin—x,22y' = lim —y = lim x 0 x x 02cos(xx、_.x)sin一22_•xsin——x2)lim-cosx.2x0x23 「e=—, 0” 冗),2即y'=(sinx)'=cosx,令在A点处切线斜率为k=cos-=^3,tantan(——8)=——2-74MH,41tan.31一2例14.设f(x)是定义在R上的函数，且对任何xi、XzCR,都有f(xi+X2)=f(Xi)f(X2),若f(0)w0,f'(0)=1,证明：对任何xCR,都有f(x)=f'(X)解析：由f(Xi+xo)=f(Xi)f(X2),令Xi=X2=0得f(0)=f(0)f(0),又f(0)W0f(0)=1f(x)f(0)f(x)1彳由f(0)=1即hm--lim―—--1,xoxxox,,f'(x)=..f(xx)f(x)..f(x)f(x)f(x)f(x)1lim-4-lim—-f(x)lim——4—f(x).xoxxoxxox即f'(x)=f(x)成立.2.几种常见函数的导数例1.已知f(x)=X3,求f'(X),f'(1),(f(1))',f'(解析：f(x)=x3,f'(x)=3x2,f'(1)=3,f'(=3X2=,(f(1))'=(1)'=o.说明：导函数与函数在某点处导数要弄清区别与联系.后者是导函数的某一函数值，因此在求函数某一点处导数时可先求导函数，再直接求导函数值.例2.已知曲线y=x2上有两点A(1,1),B(2,4),求①割线AB的斜率；②在[1,1+X]内的平均变化率；③过点A处的切线斜率kAT；④点A处的切线方程.解析：①kAB=---=3;21②平均变化率—y-f-(1^)——f-(1^-(1^)12XXXX③y'=2x,y'|x=1=2.即点A处的切线斜率为Kat=2.④点A处的切线方程为y—1=2(x—1)即2x—y—1=0.说明：通过本例搞清割线斜率，区间上平均变化率，某点处切线斜率与某点处的导数之间的区别与联系，再次验证了导数与平均变化率之间的关系例3.利用导数定义和导数公式两种方法求曲线y=1在点P(1,1)处的切线倾斜x角及该点处的法线方程.解析：解法一：f(X)=-,y=f(1+X)-f(1)=-1—1———x1x1xy' |x=1=limx 0y = lim -x x 011.135° ,X=1 — — 1.即在点P处斜率为k=—1,••・倾斜角为法线方程y—1=x—1即x—y=0.1解法(二)：y=f(x)=—,y=f(x)X即在点P处切线斜率为k=-1,以下同法(一)说明：求导致方法有两种，一种是利用导致定义法求导数，第二种用导数公式，要注意题目要求，若无声明，用最简单的方法即可.例4.已知曲线y=VX上的一点P(0,0),求过点P的切线方程.解析：由y=Vx,y'=(我'—^,在x=0处导数不存在，由图形知33x 2 .(x 1) (x 1)过P点的切线方程是x=0.0 ,求 cot( — — 0 )4例5.设曲线y=cosx在A(9,乎)点处的切线倾斜角为的值解析：y=cosx, y' =— sin x,x=-时,6k=- sin —=tan 0 =--,2, 、 1cot( — — 0 )= 1 tan1 tan1121 12例6.求曲线y=x3在点(3,27)处的切线与坐标轴所围成的三角形面积.解析：y=x3,..v'=3x2,y'|x=3=27,曲线y=x3在点(3,27)处的切线方程为y—27=27(x—3),即y=27x-54.其与x轴，y轴交点分别为(2,0),(0,—54)・••切线与坐标轴围成的三角形面积为S=1X2X54=54.2例7.在抛物线y=x2上取横坐标为x1=1及x2=3的两点，作过这两点的割线,问该抛物线上哪一点的切线平行于这一割线？解析：已知两点A(1,1)B(3,9),割线斜率为kAB=4,. y' =2x,令 y' =2x=4 得 x = 2, 线.3.函数和、差、积、商的导数例1.求下列函数的导数：① y=3x2+ xcosx；② y=lan_x . ③ x即在点(2, 4)处切线平行于这一割, 2y=xtan x cosx④ y=^v1工 x解析：①y'=6x+cosx—xsinx；2,(tanx)'xtanx(x)'xsecxtanxxsin x 2③y= cosx_(xcosxsinx)cosx(xsinx2)(sinx)2cosxsinx(cosx2)x2cosx例2.已知函数f(x)=x3—7x+1,求f'(x),f'(1),解析：f(x)=x3—7x+1,y'=f'(x)=3x2—7,f'(1)=—4,f'=—-.4注意：导函数与导数的区别与联系，函数在某一点的导数是导函数在这一点处的函数值.例3.已知函数y=x3+ax2—fa的导数为0的x值也都使y值为0,求常数a3的化解析：V’=3x2+2ax,令y'=0,则3x2+2ax=0,xi=0,x2=--a,3当x=0时，y=0=--a,a=0,即a=0满足条件，3当x=—2a时.y=0=—a3-a2-a得2=0或2=±332793检验知a=±3不满足条件，「•常数的值为0.例4.曲线y=—x2+4x上有两点A(4,0),B(2,4),求①割线AB的斜率kAB；②过点A处的切线斜率kA；③点A处的切线方程。

解析：①割线AB的斜率kAB=4—0=-2;24②y'=—2x+4,'''y'|x=4=—4,即kA=-4"③过A点的切线方程为y—0=—4(x—4),即y=—4x+16.例5.已知F(x)=f(x)+g(x),就下列两种情形判断F(x)在x=x处是否可导？①f(x)在x。