5任意项级数审敛法.ppt

二、二、绝对绝对收敛与条件收敛收敛与条件收敛第五讲一、交错级数及其审敛法一、交错级数及其审敛法 任意项级数的审敛法 一、交错级数及其审敛法一、交错级数及其审敛法 交错级数交错级数 :定理定理 (莱布尼茨审敛法莱布尼茨审敛法) 若若交错级数交错级数满足满足:则则收敛收敛 , 且其和且其和 其余项满足其余项满足1. 定义定义称满足条件称满足条件1), 2)的级的级数为数为莱布尼莱布尼茨交错级数茨交错级数单调增加且有上界单调增加且有上界1º 先证先证部分和数列部分和数列S2n单调增加且有上界单调增加且有上界. 0   un 递减递减证证证明思路：证明思路：+故级数收敛于故级数收敛于S, 且且仍为莱布尼茨仍为莱布尼茨 交错级数交错级数2º 再证再证又又注注1º 莱布尼茨定理中的条件莱布尼茨定理中的条件(1)可换成：可换成：反例：反例：> 0事实上，事实上，<>收敛收敛 例例1 证明交错级数：证明交错级数：收敛，并估计其余项收敛，并估计其余项 rn解解需证需证un递减趋于零递减趋于零2º注注 1º(第五节第五节)绝对值级数绝对值级数问题问题:二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛 1. 定义定义 收敛收敛 ；；条件收敛条件收敛,例如：例如：绝对收敛：绝对收敛：条件收敛条件收敛:发散发散.收敛，但收敛，但绝对收敛绝对收敛,2. 定理定理 (绝对收敛与收敛的关系绝对收敛与收敛的关系)证证 设设收敛收敛,收敛收敛.收敛收敛 ,定理定理若级数若级数 绝对收敛，绝对收敛， 则该则该级数必收敛级数必收敛.则则由由收敛级数的基本性质，收敛级数的基本性质，注注?由比较审敛法知由比较审敛法知均收敛均收敛解解例例2条件收敛、条件收敛、绝对收敛还是发散？绝对收敛还是发散？ 例例3解解分析分析综合综合1º, 2º 可知：可知：注注 1º 用莱布尼茨判别法判断交错级数用莱布尼茨判别法判断交错级数是否收敛时，要考察是否收敛时，要考察{ un }是否单调减少，通常是否单调减少，通常有以下有以下三种三种方法：方法：由由un 找一个可导函数找一个可导函数 f (x),2º 关系关系?（（一般地）一般地）√但但特殊地，特殊地，有有定理定理设设任意项级数任意项级数则则级数级数说明说明:（用比值法或（用比值法或 根值法判）根值法判）证证例例4解解比值法判定比值法判定分别为分别为 *3. 绝对收敛级数性质绝对收敛级数性质*性质性质1 (交换律交换律)则则逐项相乘逐项相乘 并按并按任意顺序任意顺序排列排列也绝对收敛也绝对收敛,都绝对收敛都绝对收敛,其和为其和为绝对收敛级数不因绝对收敛级数不因改变项的位置改变项的位置而改变其和而改变其和.*性质性质2 (分配律分配律)其和其和得到的级数得到的级数柯西乘积柯西乘积1. 利用部分和极限利用部分和极限:3. 利用正项级数审敛法利用正项级数审敛法比值审敛法比值审敛法根值审敛法根值审敛法比较审敛法比较审敛法内容小结内容小结（（任意项级数审敛法）任意项级数审敛法）2. 利用收敛的必要条件利用收敛的必要条件:4. 莱布尼茨莱布尼茨判别法判别法: 由正项级数由正项级数收敛收敛, 能否推出能否推出收敛收敛 ?解解1由比较法知由比较法知收敛收敛 .注意注意反之不成立反之不成立. 例如例如,收敛收敛 ,发散发散 .思考题思考题解解2由比较法知由比较法知收敛收敛 . 发散发散;收敛收敛;收敛收敛.备用题备用题例例1-1 判定下列的敛散性：判定下列的敛散性：问题问题 上述级数的绝对值级数上述级数的绝对值级数 是否收敛是否收敛 ?收敛收敛收敛收敛收敛收敛解解例例2-1例例2-2 证明证明证证 (1)而而收敛收敛 ,收敛收敛,因此因此绝对收敛绝对收敛 .绝对收敛绝对收敛 .因此因此收敛收敛,绝对收敛绝对收敛.例例2-3 证明证明绝对收敛绝对收敛 .证证例例3-1解解例例3-2 则则(A) 发散发散 ; (B) 绝对收绝对收敛敛;(C) 条件收敛条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定收敛性根据条件不能确定.分析分析选选 (B) 错错 ;又又C。