离散时间系统的时域分析.ppt

第五章 离散系统的时域分析,离散信号及特性 离散系统的描述及模拟 差分方程的经典解 单位函数响应,,,,,离散系统与连续系统的比较,§1 离散信号及其时域特性,离散信号的定义 离散时间信号可以从两个方面来定义： 仅在一些离散时刻 k (k=0,±1, ±2,…)上才有定义 (确定的函数值)的信号称为离散时间信号，简称离散信号，用 f (k) 表示 连续时间信号经过抽样（即离散化）后所得到的抽样信号通常也称为离散信号，用f (kT)表示，T 为抽样周期 f (kT)一般简写为f (k) 基本离散信号,复指数信号： f (k) = Ca k a=|a|ej, C=|C| 均为复数 C和a为实数(实指数序列) |a|1, 指数上升曲线 a 为负, f (k)的值符号交替变化 |a|1, 指数衰减曲线 a 为正, f (k)的值均为正,,正弦序列和指数正弦序列,正弦序列： f (k) = Ca k a= , C=A 均为复数,为正弦序列,按指数变化的正弦序列： f (k) = Ca k a=|a| , C=A,|a|=1, 实部和虚部都是正弦序列；,|a|1, 实部和虚部都是指数衰减的正弦序列；,|a|1, 实部和虚部都是指数增长的正弦序列；,数字角频率和模拟角频率的关系,数字角频率0与模拟角频率0的关系 由于离散信号定义的时间为 kT，显然有： 0= 0T 模拟角频率0的单位是 rad/s，而数字角频率0的单位为 rad。

0表示相邻两个样值间弧度的变化量0表示1秒内变 化了50个2 rad,0表示两个离散值 之间的弧度变化量,正弦序列的周期,周期序列的定义： f (k+N)=f (k) 式中：N为序列的周期，只能为任意整数 周期 N 的计算方法： 与模拟正弦信号不同，离散正弦序列是否为周期函数取决于比值2/0是正整数、有理数还是无理数是正整数时，则周期为N因为：,是有理数时，则周期为,为无理数时，正弦序列就不再是周期序列 但包络线仍是正弦函数单位阶跃序列,定义,,延迟的阶跃序列,,门函数,单位(冲激)函数,定义,,延迟的(k),门函数,,单位(冲激)函数的主要性质,筛选特性：,加权特性：,(k)与(k)的关系：,因此，可以将任意离散信号表示为一系列延时单位函数的加权和，即,将左式用 n=k- i 代换变量： 即 i=k- n 可得出求和上下限,离散信号的运算,序列的相加： f (k)= f1(k)+ f2(k) 序列的相乘： f (k)= f1(k) · f2(k) 序列的折叠、尺度变换与位移：与连续信号相同 序列的差分：与连续信号中的微分对应的运算 一阶前向差分  f (k)= f (k+1)- f (k) 二阶前向差分 2f (k)=  [ f (k)]=  f (k+1)-  f (k)= f (k+2)-2 f (k+1)+ f (k) 一阶后向差分 f (k)= f (k)- f (k-1) 二阶后向差分 2f (k)= [f (k)]= f (k)-f (k-1) = f (k)-2 f (k-1)+ f (k-2),离散信号的运算,序列的求和(累加)：与连续信号中的积分对应的运算,典型的累加和：,有限等比序列求和公式：,无穷收敛等比序列求和公式：,其中：a1首项， an末项，q等比,例 1,下述四个等式中，正确的是______。

D,例 2,信号 f (-k - i) 表示为_______ i  0),D,(A) 信号f (k)的右移序 i,(B) 信号f (k)的左移序 i,(C) 信号f (k)折叠再右移序 i,(D) 信号f (k)折叠再左移序 i,例 3,离散时间序列 是____(A.周期信号；B.非周期信号)若是周期信号，则周期 N＝______如果包含有n个不同频率正弦分量的复合信号是一个周期为N的周期信号，则其周期N必为各分量信号周期Ni的整倍数如有2个分量，即N=m1N1=m2N2, mi为正整数.,则周期为：,对本题：,则周期为：,A,30,例 4,离散时间序列 是____(A.周期信号；B.非周期信号)若是周期信号，则周期 N＝______B,m1 =3, m2 = 6可见不是正整数故此信号是非周期信号例 5,已知离散信号 f (k)=(k+2)[(k+2)-(k-3)], 求: f (k+1)+ f (-k+1)=？,f (k+1)+ f (-k+1)= (k+2)+6(k+1)+6(k)+6(k-1)+(k-2),例 6,序列 y(k)=k2-2k+3, 则二阶前向差分2 y(k)= ______。

二阶前向差分 2y (k)=  [ y(k)]=  y (k+1) -  y (k) = y (k+2) -2 y (k+1)+ y (k) = (k+2)2 -2(k+2)+3-2[(k+1)2 -2(k+1)+3]+ k2 -2k+3 = k2+4k+4-2k- 4+3-2k2 - 4k -2+4k+4-6+ k2 -2k+3 =2,2,例 7,已知离散信号 f (k)=(k+2)[(k+2)-(k-4)], 试画出 f (k)， f (k-3)， f (-k)， f (-k-3)的图形§2 离散系统的描述及模拟,微分方程与差分方程的比较,差分方程的两种形式,n阶前向差分方程,式中，f (k), y(k)分别为激励与响应前向差分方程多用于状态变量分析法n阶后向差分方程,后向差分方程多用于因果系统与数字滤波器的分析差分方程的重要特点是： 系统当前的输出（即在k时刻的输出）y(k)，不 仅与激励有关，而且与系统过去的输出 y(k-1), y(k-2),  y(k-n) 有关，即系统具有记忆功能线性时不变离散系统的性质,齐次性： Af (k) Ay (k) 叠加性： f1(k)+ f2(k)  y1(k)+ y2(k) 线性性： A1 f1(k)+ A2 f2(k)  A1 y1(k)+ A2 y2(k) 时不变性(延迟性或移序不变性)： f (k-k0) y (k-k0) 差分性： f (k) y (k) 累加和性：,线性时不变离散系统,由线性常系数差分方程描述的线性时不变（LTI）系统为,所有的项都包括了y(k)或f (k)。

所有的系数都是常数（而不是y(k)、f (k)或 k 的函数）下列因素导致系统差分方程是非线性或时变的： 若有任何一项是常数或是y(k)或f (k)的非线性函数，则它是非线性的 若y(k)或f (k)中的任何一项的系数是k的显时函数，则它是时变的离散系统的性质,若当 k 0 时激励 f (k)=0，则当 k 0 时响应 y(k)=0 因果性,也就是说，如果响应y(k)并不依赖于将来的激励 [如 f (k+1)]，那么系统就是因果的造成系统差分方程为非因果的因素：,若最小延迟输出项是y(k)且有一输入项为 f (k+M)的形式(M0),那么它就是非因果的如：,是因果的,是非因果的,判断离散系统类型举例,设 f (k)和 y (k)分别表示离散时间系统的输入和输出序列，分析以下系统的线性、时不变、因果性解：(1)系统是线性的、时变的(系数是k的函数)、因果的系统2)系统是非线性的(含有常数项)、非时变的、因果的系统1),(2),(3),(4),(3)系统是非线性的(系数含有y(k))、时变的(含y(2k))、非因果 的系统4)系统是线性的、时变的(含f(2k))、非因果的系统离散系统举例,离散系统的差分方程为 y(k+3)= -3y(k+2)+4y(k), 若已知 y(0)=1, y(2)=0, y(5)=12, 则 y(1)=_____。

2,令k =0：差分方程为 y (3) = -3y(2) +4y(0) = 4,,令k =1：差分方程为 y (4) = -3y(3) +4y(1) = -12+4y(1) ,,令k =2：差分方程为 y (5) = -3y(4) +4y(2) = -3y(4) ,, 12 = -3y(4) , y(4)= - 4 ,,由k =1： 4y (1) = 12 + y(4)=8 , 故 y(1)=2,课堂练习题,画出下列各信号的波形：,(1),(2),(3),(4),系统模拟,延时器模拟单元：,一阶系统,或：,,D,-a,系统模拟举例,可写为：,,D,-3,差分方程为：,D,-2,,,3,D,,,,,,移位算子及其应用,算子q 表示将序列向前(左)移一个时间间隔的运算 q f (k)= f (k+1), q2 f (k)= f (k+2), … 算子q-1 表示将序列向后(右)移一个时间间隔的运算 q-1 f (k)= f (k-1), q-2 f (k)= f (k-2), … 差分方程的算子形式,或：,转移算子,对于因果系统，只能有mn，其中D(q)=0为 差分方程的特征方程，其根称为差分方程的 特征根，也称系统的自然频率或固有频率。

系统模拟举例 （用算子方法）,用算子表示为：,,D,-3,差分方程为：,D,-2,,,3,令：,,,,,,显然，此模拟图 只用了两个延时器§3 差分方程的经典解法,全响应＝齐次解(自由响应)＋特解(强迫响应) 齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有频率）根据特征根的特点，齐次解有不同的形式一般形式（无重根）： 特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数法确定 用初始值确定系数Ci一般情况下，n 阶方程有n个常数，可用n个初始值确定例 1,描述某线性非移变系统的差分方程为,试求：当初始状态为 y(-1)=0, y(-2)= ½时，求全响应解：(1)求齐次解，特征根为：,(2)求特解：设特解为：,将yp(k)代入原差分方程，得：,解得：,例 1,(3)用初始值求常数：,全响应为：,将初始条件代入上式，得：,,,解得：,故，全响应为：,差分方程的经典解法与 微分方程的经典解法类似！,全响应＝零输入响应＋零状态响应,零输入响应的求法与齐次解一样i---特征根，Ci由初始值确定零状态响应的求法与解非齐次方程一样零输入响应的一般形式：,设系统为 零输入时 f(k)=0，即 D(q)y(k)=0,特征方程为： D(q)=0,零输入响应的一般形式,若无重根：,若有 d 阶重根，即,特征根为复根：,重新计算例 1,描述某线性非移变系统的差分方程为,试求：当初始状态为 y(-1)=0, y(-2)= ½ 时，求全响应。

解：(1)零输入响应：,(2)零状态响应：已求出特解,已知： ，代入原方程可求得：C1=1，C2=-2,已知 ，代入原方程可求得：,(3)全响应：,零输入响应,零状态响应,,,例 2,求差分方程,所描述的离散时间系统的零输入响应解：特征根为：,查公式,故,代入初始值：,代入初始值：解得： C1=0，C2=1,离散系统的初始状态,离散系统初始状态的概念 正如连续系统中0+和0-初始值不同一样，离散系统的初始值也有两个，即零输入初始值 yzi(0)和系统的初始值 y(0) yzi(0)表示激励信号作用之前（零输入）系统的初始条件，它与系统的激励信号无关是系统的初始储能、历史的记忆是系统真正的初始状态 y(0)表示系统在有了激励信号之后系统的初始条件，它既有零输入时初始状态（初始储能），又有激励信号的贡献 在离散系统中，几个初始值的关系为： y(0) = yzi(0) + yzs(0), yzs(0)表示零状态的初始值，它仅由激励信号产生。