中考数学真题类编 知识点036解直角三角形及其应用.doc

一、选择题1. （2016甘肃兰州，4，4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（ ） A．4 B．6 C． 8 D．10【答案】D【逐步提示】先根据锐角三角函数的定义确定sinA是哪两条边的比，再代入数据得关于AB的方程，最后解方程求得AB的长.【详细解答】解：因为在Rt△ABC中，∠C=90°，所以sinA=，所以=，解得AB=10，故选择D .【解后反思】在直角三角形中，由于sinA=；cosA=；tanA=，若已知直角三角形两边的长，可根据勾股定理求出第三边，再利用这个关系可求出该直角三角形任意一个锐角的正弦、余弦和正切；若已知一锐角的三角函数值与一边长，可根据锐角三角函数定义、勾股定理、设“K”求该直角三角形的其余两边．【关键词】锐角三角函数；锐角三角函数的定义；方程思想2. （ 2016湖南省怀化市，10，4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，则BC的长度为（ ）A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 【答案】C.【逐步提示】根据题意结合锐角三角形数的定义，可得tanA＝，进而得＝，BC可求.【详细解答】解：∵sinA＝，∴tanA＝，∵AC＝6cm，∴＝，∴BC＝8，故选择C .【解后反思】此题考查解直角三角形，解题的关键是能由已知及锐角三角形数的定义，得tanA＝ .此题的易错点是不能根据锐角三角形数的定义，对已知的sinA＝，进行灵活转化.【关键词】解直角三角形3. （ 2016湖南省益阳市，8，5分）小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠（为水平线），测角仪的高度为1米，则旗杆PA的高度为A． B． C． D．【答案】A【逐步提示】考查三角函数定义的应用，解答时应用正弦的定义，即在Rt△PC中，，变形即得正确结果.【详细解答】解：依题意，＝PA，设PA＝x，则PC＝x－1，在Rt△PC中，，解得：，故选择A .【解后反思】在直角三角形中，锐角α的对边与斜边之比叫做∠α的正弦，记作sinα，即sinα＝余弦：在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边之比叫做∠α的余弦，记作cosα，即cosα＝正切：在直角三角形中，锐角α的对边与邻边之比叫做∠α的正切，记作tanα，即tanα＝【关键词】三角函数定义的应用4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39. 二、填空题1. （ 2016甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市等9市，13，4分）如图，点A（3，t）在第一象限，射线OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是________.第13题图【答案】【逐步提示】本题考查三角函数的定义，解题的关键是把已知条件集中到直角三角形中，利用正切的定义求解，根据三角函数的定义，把锐角α放置于一个直角三角形中，利用tanα=，列方程求解．【详细解答】解：如图，过点A作AB⊥x轴垂足为B，因为点 A（3，t），即OB=3，AB=t，在Rt△OAB中，tanα=，即，解得，故答案为 .【解后反思】利用三角函数解决实际问题的步骤是：(1) 审题，弄清方位角、仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念，将实际问题抽象为数学问题．(2)认真分析题意，画出平面图形，转化为解直角三角形问题，对于非基本的题型可通过解方程(组)来转化为基本类型，对于较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，或分割成一些直角三角形或矩形．(3) 根据条件，结合图形，选用适当的锐角三角函数解直角三角形．(4)按照题目中已知数的精确度进行近似计算，检验得到符合实际要求的解，并按题目要求的精确度确定答案，并标注单位．对非直角三角形的求解，可以通过作辅助线的方法转化成直角三角形解决，这种方法叫“化斜为直”法．通常以特殊角为一锐角，构造直角三角形．若条件中含有线段的比或锐角三角函数值，也可以设未知数，列方程求解．【关键词】 三角函数的应用；2. （ 2016甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市等9市，22，8分）图①是小明在健身器上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图②是小明锻炼时上半身由ON位置运动到与地面垂直的OM位置时的示意图，已经AC=0.66米，BD=0.26米，α=20º．（参考数据：sin20º≈0.342，cos20º≈0.940，tan20º≈0.364）（1）求AB的长（精确到0.01米）；（2）若测得ON=0.8米，试计算小明头顶由N点运动到M点的路径的长度（结果保留π）． 图① 图②第22题图【逐步提示】本题考查解直角三角形和弧长的计算公式，解题的关键是构造直角三角形，（1）借助于20°这一条件，把20°和AB边共同放置于一个直角三角形中，即过点B作AC的垂线段，设垂足为F，在直角△ABF中，利用三角函数求解；（2）是以点O为圆心，ON为半径的圆中的一条弧且所对的圆心角是110°，利用弧长公式进行计算即可．【详细解答】解：（1） 过点B作BF⊥AC于点F． 1分∴ AF=AC－BD=0.4(米)， 2分∴ AB=AF÷sin20°≈1.17(米)； 3分（2）∵ ∠MON=90°＋20°=110°， 4分∴ (米)． 6分【解后反思】在一般三角形中已知一些边和角求另外的边长的问题，通常都是通过添作垂线，构造直角三角形，运用解直角三角形的知识来解决问题；对于弧长的计算，一是要知道弧所在圆的半径二是要知道圆心角的度数，再利用进行计算．【关键词】 三角函数；解直角三角形；圆的有关计算；3. （ 2016广东茂名，15，3分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线y=x上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y=x上，依次进行下去…，若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（，1），则点A8的横坐标是 .【答案】6+6【逐步提示】本题考查了一次函数的性质、含30°角的直角三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理等，解题的关键是抓住在直线y=x上翻滚的三角形的特征以及从点A1、A2到点A3、A4横坐标的变化规律. 先从点A、B的坐标确定△AOB边、角的特征，分别过点A1、O2作A1H1、O2H2垂直于x轴，垂足分别为H1、H2，通过解直角三角形得出点A1、A2的横坐标，再从O2A3=2+，A3O4=1，得到点A1、A2到点A3、A4横坐标的变化规律，由此可类比得出点A7、A8横坐标.【详细解答】解：∵点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（，1），∴∠OAB=90°，OA=1，AB=，∴OB==2，∠AOB=60°，∠ABO=30°.因此在直线y=x上翻滚的是一个含30°角且三边长分别为1，，2的直角三角形，∴∠A2O2B2=∠AOB=60°，∴A2O2∥OA，∴A2O2⊥x轴，即点A2、O2的横坐标相同.分别过点A1、O2作A1H1、O2H2垂直于x轴，垂足分别为H1、H2，在Rt△OH1A1、Rt△OH2O2中，∠BOH1=30°，OA1=2+，OO2=3+，由余弦函数cos30°=，得OH1=（2+）、OH2=（3+），即点A1、A2的横坐标分别为（2+）、（3+）.∵O2A3=2+，A3O4=1，∴点A3、A4的横坐标分别为（5+2）、（6+2），……，点A7、A8的横坐标分别为（11+4）、（12+4），化简（12+4）=6+6.故答案为6+6 .【解后反思】本题的难点在于找出点A1、A2到点A3、A4横坐标的变化规律，需要将点A1、A2到点A3、A4在直线上长度的变化通过解直角三角形转化为点A1、A2到点A3、A4横坐标的变化，从而运用类比的数学思想求出点A7、A8的横坐标的值.【关键词】一次函数的图像性质；勾股定理；直角三角形的性质；锐角三角函数；规律探索型问题；类比思想4. （2016湖北省荆州市，15，3分）全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为11°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上．若CD＝10米，则此塑像的高AB约为 米．（参考数据：tan78°12′≈4.8）特殊角三角函数值的运用，仰角、俯角有关问题【答案】58.0【逐步提示】本题考查了解直角三角形的应用（仰角问题），利用仰角构造直角三角形，利用三角函数建立方程是解题的关键．【详细解答】解：∵在Rt△BCD中，tan78°12′＝，∴BD＝CD tan78°12′≈4.8×10＝48（米），∵CE＝AE＝BD，∴AB＝BD＋CD=48+10=58米，故答案为58 .【解后反思】解决解直角三角形的实际问题，有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来，再根据以下方法和步骤解决：（1）根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系；（2）若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算，若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决．解直角三角形的实际应用问题关键是要根据实际情况建立数学模型，正确画出图形找准三角形．【关键词】解直角三角形——仰角、俯角有关问题；5. （ 2016湖北省十堰市，15，3分）在综合实践课上，小聪所在的小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿着河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其它同学测得CD=10米.请根据这些数据求出河的宽度________米（结果保留根号）【答案】10（3+）【逐步提示】本题主要是解直角三角形在实际测量中的应用，涉及到方向角、解直角三角形中的求边、列解一元一次方程、二次根式的化简等；解答此题的关键是设出河的宽度x，用x表示相关线段的长，并列出关于x的方程，求解即可.解答本题的思路突出在转化：把实际问题转化为数学中的解直角三角形的问题.【详细解答】解：如图，过点C作CP⊥AB于点P, 过点D作DQ⊥MN于点Q，设河宽为x米，则CP=DQ=AP=x.在30°的直角三角形DBQ中，由于DQ= x，可以得到BQ=x , 由题意知CD=PQ=10米,.所以AQ=30+x =AP+PQ=x+10, 解得 x=10（3+），故答案为10（3+） .QP【解后反思】本题中的解直角三角形、解一元一次方程等是重点,而设出河宽，用河宽表示相关的线段，进而列出一元一次方程则是难点. 本题的突出的思想是转化：实际问题转化为数学问题、数学问题转化为解直角三角形的问题、把线段转化为一元一次方程的问题、把方程的解转化为实际中的线段.转化思想:转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。

在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具。