3-2 向量组的秩和最大无关组.ppt

上页下页铃结束返回首页一、向量组的秩和最大无关组§3.2 向量组的秩和最大无关组二、等价向量组上页下页铃结束返回首页一、向量组的秩和最大无关组设 A 为一 n 维向量组( A  {0}), 则 A 的任一线性无关 部分组所含向量个数不多于 n 个. 提示: 这是因为当 s > n 时, n 维向量组 a1, , as 线性相关. A 的线性无关部分组所含向量个数存在最大值:存在正整数 r, 使得 A 中有 r 个向量线性无关, 而 A 中 任意多于 r 个向量(若存在的话)线性相关. v 向量组的秩 设 A 为一向量组, A 的线性无关部分组所含向量个数 的最大值 r, 称为向量组 A 的秩, 记为 R(A).规定{0}的秩为 0.上页下页铃结束返回首页v 向量组的最大无关组 设向量组 A 的秩为 r, 如果 a1, , ar 为 A 的一个线性 无关部分组, 那么称 a1, , ar 为 A 的一个最大无关组. v 最大无关组的性质 设 A 为一向量组, 则部分组 a1, , ar 为 A 的一个最大无关组的充分必要条件是(2) A 中任一向量可由 a1, , ar 线性表示.(1) a1, , ar 线性无关;必要性: 提示: 则向量 b 可由 a1, , ar 线性表示.设向量组 a1, , ar 线性无关, 若 a1, , ar, b 线性相关,从略. 上页下页铃结束返回首页v 向量组的最大无关组 设向量组 A 的秩为 r, 如果 a1, , ar 为 A 的一个线性 无关部分组, 那么称 a1, , ar 为 A 的一个最大无关组. v 最大无关组的性质 设 A 为一向量组, 则部分组 a1, , ar 为 A 的一个最大无关组的充分必要条件是(2) A 中任一向量可由 a1, , ar 线性表示.(1) a1, , ar 线性无关;于是设 b1, , bs 为 A 中向量, s > r.充分性: 存在数 kij , 使得故 b1, , bs 线性相关. 因此 r 为秩, a1, , ar 为最大无关组.上页下页铃结束返回首页例1 设 x1, , xn-r (r  R(A))为 n 元方程组 Ax  0 的一个 基础解系, S 为 Ax  0 的解集, 则因为基础解系线性无关, 且 S 中的任一向量可由基础解系线性表示, 所以基础解系是 S 的一个最大无关组. • n 元方程组 Ax  0 的解集 S 的秩等于 n - R(A). • Ax  0 的解集 S 的一个最大无关组也即基础解系. 上页下页铃结束返回首页证明 若 x 满足 Ax  0, 则 ATAx  0.若 x 满足 ATAx  0, 则 xTATAx  0, 即 (Ax)T(Ax)  0,设 aT  (a1, , an ), 则 提示: 综上可知 Ax  0 与 ATAx  0 同解. 从而 Ax  0.例2 证明 设其解集为 S, 则其中 n 为未知元的个数.上页下页铃结束返回首页初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系.证明 设矩阵 A 经初等行变换化为矩阵 B.设矩阵 A 的列向量组有一线性关系因矩阵 A 与 B 行等价, 故方程组 Ax  0 与 Bx  0 同解.由此可知也有v 定理1 记上页下页铃结束返回首页易知 b1, b2, b3, b4, b5 的秩为3,v 定理1 初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系.例3 设且有 且有 • 行最简形矩阵的秩等于它的列向量组的秩.• 矩阵的秩等于它的(行)列向量组的秩. 注: R(a1, , am) 既表示向量组的秩, 也表示矩阵的秩.一个最大无关组为 b1, b2, b4,因此 a1, a2, a3, a4, a5 的秩为3, 一个最大无关组为 a1, a2, a4,上页下页铃结束返回首页v 秩与最大无关组的一个算法 化矩阵 A 为行最简形 A0, 通过观察 A0, 便知 A 的列向 量组的秩和一个特定的最大无关组, 以及 A 的其余列向量 在该最大无关组下的线性表示. 易知 b1, b2, b3, b4, b5 的秩为3,例3 设且有 且有 一个最大无关组为 b1, b2, b4,因此 a1, a2, a3, a4, a5 的秩为3, 一个最大无关组为 a1, a2, a4,上页下页铃结束返回首页解 且有例4 设(1) 求 a1, a2, a3, a4 的秩和一个最大无关组; (2) 求其余向量在此最大无关组下的线性表示.化矩阵 (a1, a2, a3, a4) 为行最简形:向量组 a1, a2, a3, a4 的秩为2, 一个最大无关组为a1, a2,上页下页铃结束返回首页若向量组 B 中的任一向量都可由向量组 A中的向量线 性表示, 就称向量组 B 可由向量组 A 线性表示.v 等价向量组 可以相互线性表示的两个向量组, 称等价向量组.• 向量组的等价具有反身性、对称性和传递性. • 向量组的线性表示具有传递性: v 线性表示 若向量组 C 可由向量组 B 线性表示, 向量组 B 可由向 量组 A 线性表示, 则向量组 C 可由向量组 A 线性表示. 二、等价向量组• 向量组与其最大无关组等价. 上页下页铃结束返回首页若 R(A)  R(A, B)  r,证明 设 a1, , ar 为向量组 A 的一个最大无关组. 向量组 B 也可由 a1, , ar 线性表示.因此 a1, , ar 为向量组 (A, B) 的一个最大无关组,因向量组 A 可由 a1, , ar 线性表示,线性表示的传递性知,向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充分必要条件是v 定理3其中 (A, B) 表示向量组 A 与 B 的并集构成的向量组.必要性:故由向量组从而当然向量组 B 可由 a1, , ar 线性表示,的一个最大无关组,充分性:则 a1, , ar 为向量组(A, B)从而向量组 B 可由向量组 A 线性表示. 上页下页铃结束返回首页v 定理4向量组 A 与向量组 B 等价的充分必要条件是 向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充分必要条件是v 定理3其中 (A, B) 表示向量组 A 与 B 的并集构成的向量组.上页下页铃结束返回首页所以 R(A)  R(A, B)  2.证明 例5 设 证明向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2, b3 等价.记 A  (a1, a2), B  (b1, b2, b3), 则易知 b1, b2 线性无关, 于是可知 R(B)  2. 因此从而向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2, b3 等价.上页下页铃结束返回首页作 业业习题习题 3.2:1. 3. 4. 5. 9.。