高中数学第三单元导数及其应用3.3.2利用导数研究函数的极值一课件新人教B版选修11.ppt

第三章 §3.3　导数的应用3.3.2　利用导数研究函数的极值(一)1.了解函数极值的概念，能从几何方面直观理解函数的极值 与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一　函数极值的概念思考1　　函数在点x＝a处的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？函数y＝f(x)的图象如图所示.函数在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小.答案思考2　　f′(a)为多少？在点x＝a附近，函数的导数的符号有什么规律？答案f′(a)＝0，在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.思考3　　函数在点x＝b处的情况呢？答案函数在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.梳理　梳理　已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取 ，记作y极小值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个 . 与 统称为极值. 与 统称为极值点.极大值极大值点极小值极小值点极大值极小值极大值点极小值点知识点二　求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x) 0，右侧f′(x) 0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x) 0，右侧f′(x) 0，那么f(x0)是极小值.><<>题型探究类型一　求函数的极值和极值点解答例例1　　求下列函数的极值：(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；解答令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值3↗因此当x＝1时，f(x)有极小值3，无极大值.求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x).(2)求方程f′(x)＝0的根.(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.特别提醒：在判断f′(x)的符号时，借助图象也可判断f′(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断.反思与感悟跟跟踪踪训训练练1　　已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；因为f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，所以f′(0)＝a＋b－4＝4，①又f(0)＝b＝4，②由①②可得a＝b＝4.解答(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值.解答类型二　已知函数极值求参数例例2　　已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值.解答引申探究引申探究若本例的条件改为“x＝－3，x＝－1是f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2的两个极值点”，求常数a，b的值.解答反思与感悟已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.跟跟踪踪训训练练2　　已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝x0处取得极大值5，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求：(1)x0的值；解答由图象可知，在区间(－∞，1)上f′(x)＞0，在区间(1,2)上f′(x)＜0，在区间(2，＋∞)上f′(x)＞0.故f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，因此f(x)在x＝1处取得极大值，所以x0＝1.(2)a，b，c的值.f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由f′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5，解答类型三　函数极值的综合应用例例3　　设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；解答(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围.解答由(1)的分析知，y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示.直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根.反思与感悟利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.解答当堂训练123451.如图为y＝f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是①f(x)在(－3,1)上为增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在(2,4)上为减函数，在(－1,2)上是增函数；④x＝2是f(x)的极小值点.A.①②③ B.②③C.③④ D.①③④答案解析√√12345√√由f′(x)＝x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2，∴函数f(x)的极大值与极小值的和为f(－2)＋f(2)＝8.解析答案12345因为f′(x)＝3x2＋2ax＋3，则f′(－3)＝3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，所以a＝5.3.函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于A.2 B.3 C.4 D.5答案解析√√12345f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，因为f(x)既有极大值又有极小值，所以Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.4.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为A.－12 D.a<－3或a>6答案解析√√12345 解答12345(2)判断f(x)的单调区间，并求极值.解答规律与方法1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.本课结束。