函数的奇偶性-课件.ppt

在日常生活中，有非常多的轴对称现象， 如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几 个例子 除了轴对称外，有 些是关于某点对称，如 风扇的叶子，如图： 它关于什么对称？ 而我们所学习的函数图像也有类似的 对称现象，请看下面的函数图像 观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？ x y O 1-1 f(x)=x2 （1） （2） y x Ox0 - x0 -xx f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4 例如：函数f(x)=x2 ，如下： f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1 f(-x)=(-x)2=x2 f(-1)=f(1) f(-2)=f(2) f(-x)=f(x) 结论:当自变量x任取定义域 中的一对相反数时,对应的 函数值相等，即f(-x)=f(x) 例如：对于函数f(x)=x3 有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1 f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8 f(-x)=(-x)3=-x3 f(-1)= - f(1) f(-2)= - f(2) f(-x)= - f(x) -x x 结论:当自变量任取定义域中的 两个相反数时,对应的函数值也 互为相反数,即f(-x)=-f(x) 函数奇偶性的定义: 偶函数定义: 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数. 奇函数定义: 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数. 理解定义 y o x 4-2 函数具有奇偶性的前提是什么？ 函数的定义域关于原点对称 对于奇、偶函数定义的几点说明: (2) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件 。

（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立， 即：若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立 若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立 （1） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就 是说函数f(x) 具有奇偶性 测试 1、对于定义在R上的函数f(x)，下列判断是否正确？ （1）若f(x)是偶函数，则f(-2)=f(2) ( ) （2）若f(-2)=f(2)，则函数f(x)是偶函数（ ） （3）若f(-2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数（ ） 2、已知函数f(x)是偶函数，且f（3）=3，则f(-3)=（ ） A、-3 B、3 C、0 D、无法确定 3、下列四个结论： 偶函数的图像一定与y轴相交； 奇函数的图像一定过原点； 偶函数的图像关于y轴对称； 奇函数y=f(x)(x)的图像必过（-a,f(a)） 表述正确的个数是 A、1 B、 2 C、3 D、4 v4、已知函数f(x)是奇函数，且f(3)=3，则f(-3) 等于（ ） A、-3 B、3 C、0 D、无法确定 v5、已知函数f(x)=x3，-5≤x5，则下列结论正 确的是（ ） （A） 函数f(x)是奇函数 （B）函数f(x)的图像关于原点中心对称 （C）函数定义域中由无数多个x，使得f(-x)=- f(x) （D）函数f(x)的定义域是关于原点对称的区域 （（1 1）图像法）图像法 （（2 2）定义法）定义法 例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性. y x y x y x y x y 典例详解 x o y (a,f(a)) (-a,f(-a)) -a a 奇函数的图象关于原点对称，反过来 ，如果一个函数的图象关于原点对称 ，那么这个函数是奇函数. x o y -aa (a,f(a))(-a,f(-a)) 偶函数的图象关于y轴对称，反过来 ，如果一个函数的图象关于y轴对称 ，那么这个函数是偶函数. o y x 例2 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的 图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象。

第一课时【互动探究案】例2、已知函数y=f(x) 是偶函数，且知道x ≥0是的图像，请作 出另一半图象 y x 例3. 判断下列函数的奇偶性 (1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a 解: 定义域为R ∵f(-x)=(-x)3+(-x) = -x3-x = -(x3+x) 即 f(-x)= - f(x) ∴f(x)为奇函数 解: 定义域为R ∵f(-x)=3(-x)4+6(-x)2 +a =3x4+6x2 +a 即 f(-x)= f(x) ∴f(x)为偶函数 说明：用定义判断函数奇偶性的步骤 : ⑴先求出定义域，看定义域是否关于原点对称. ⑵再判断f(－x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否成立. 用定义法判断函数奇偶性解题步骤: (1)先确定函数定义域,并判断 定义域是否关于原点对称; (2)求f(-x)，找 f(x)与f(-x)的关系; 若f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数; 若f(-x)= - f(x),则f(x)是奇函数. (3)作出结论. f(x)是偶函数或奇函数或非奇非偶函 数或即是奇函数又是偶函数 给出函数给出函数 判断定义域判断定义域 是否对称是否对称 结论结论 是是 f(-x)f(-x)与与f(x)f(x) 否否 练习: 说出下列函数的奇偶性: ①f(x)=x4 ________ ③ f(x)=x ________④ f(x)=x -2 __________ ⑤ f(x)=x5 __________ ⑥f(x)=x -3 _______________ ② f(x)= x -1 __________ 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 对于形如 f(x)=x n ( ) 的函数，在定义 域R内: 若n为偶数，则它为偶函数。

若n为奇数，则它为奇函数 思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是 偶函数吗？ x y 0 1 2 f(x)=2x+1 -1 分析：函数的定义域为R 但是f(-x)=2(-x)+1 = -2x+1 ∴ f(-x) ≠ - f(x)且f(-x) ≠ f(x) ∴f(x)既不是奇函数也不是偶函 数也称为非奇非偶函数） 如右图所示：图像既不关于原点 对称也不关于y轴对称 (1) f(x)= (2) f(x)=x2 x∈[- 4 , 4) 解: ∵定义域不关于原点 对 称 或 ∵ f(-4)=(-4)2 =16; f(4)在定义域里没有意义. ∴f(x)为非奇非偶函数 解: 定义域为 [0 ,+∞) ∵ 定义域不关于原点 对称 ∴f(x)为非奇非偶函数 思考2：以下两个函数是奇函数吗？是偶 函数吗？ 思考3： 在前面的几个函数中有的是奇 函数，有的是偶函数，也有非 奇非偶函数那么有没有这样 的函数，它既是奇函数又是偶 函数呢？ 有例如：函数 f(x)=0 是不是只有这一个呢？若不是， 请举例说明 x y 0 1 f(x)=0 -1 奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数 根据奇偶性, 函数可划分为四类: 1奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内， ①若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数； ②若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。

2图象性质: 奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y轴对称. 3判断奇偶性方法：图象法，定义法 4定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提 。