概率论与随机过程2.4.pptx

在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.求截面面积 A= 的分布.例如，已知圆轴截面直径 d 的分布，引言又如已知t=t0 时刻噪声电压 V的分布，求功率 W=V2/R (R为电阻）的分布等.2.4 随机变量的函数的分布这类问题的一般提法是：若X是随机变量，求 Y=g(X)的分布(其中y=g(x)是x的一个实值函数)为了求Y的分布，首先我们要理解Y是一个怎样的 随机变量，设X是定义在样本空间Ω={ω}上的随机变量 ，那么Y=Y(ω)=g(X(ω))，由此可见Y亦是定义在Ω上的 随机变量，它是经过g(.)与X(.)复合而成的 设X是离散型随机变量，则Y=g(X)一般也是离散型 随机变量此时，只需由X分布律求得Y的分布律即可X -1 0 1 2 3 P 2/10 1/10 1/10 3/10 3/10 求(1)Y=X-1; (2)Y= -2X2的分布律. 例: 设离散型随机变量X的分布律为 一、离散型随机变量函数的分布解: 由X的分布律可得下表 P 2/10 1/10 1/10 3/10 3/10X -1 0 1 2 3X-1 -2 -1 0 1 2-2X2 -2 0 -2 -8 -18由此可见 (1)Y=X-1的所有可能取值为-2,-1,0,1,2，且P{Y= -2}=P{X= -1}=2/10; P{Y= -1}=P{X=0}=1/10；P{Y=0}=P{X=1}=1/10 ; P{Y=1}=P{X=2}=3/10；P{Y=2}=P{X=3}=3/10。

故得Y=X-1的分布律为 Y -2 -1 0 1 2 P 2/10 1/10 1/10 3/10 3/10 (2) Y= -2X2的所有可能取值为-18,-8,-2,0;且P{Y= -18}=P{X=3}= 3/10 ; P{Y= -8}=P{X=2}=3/10 ；P{Y= -2}=P{X=1}+ P{X= -1} =1/10 + 3/10=2/5 ; P{Y=0}=P{X=0}=1/10；故得Y= -2X2的分布律为 Y -18 -8 -2 0 P 3/10 3/10 2/5 1/10 一般地，我们先由X的取值xk，k=1，2，…求出Y的取值yk=g(xk)，k=1，2…①如果诸yk都不相同，则由P{Y=yk}=P{X=xk}可得Y的分布律；②如果诸yk中有某些取值相同，则把相应的X的取值的概率相加 二、连续型随机变量函数的分布再由FY(y)进一步求出Y的概率密度 设X为连续型随机变量，具有概率密度fx(x)，又Y=g(X)，在大部分情况下Y也是连续型随机变量，若Y是连续型随机变量，考虑求出Y的概率分布。

1．一般方法可先求出Y的分布函数FY(y)： 因为FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}，设ly={x|g(x)≤y} 则例1:设随机变量X具有概率密度 求Y=2X+1的概率密度.解: 先求Y的分布函数 计算的关键在于确定积分区间ly，即解不等式 g(x)≤y得出x的解区间ly这种方法我们称之为 分布函数法 当 1≤y0时，有 于是得Y的概率密度为 例如：设X~N(0，1)，其概率密度为 则Y=X2的概率密度为 此时称Y服从自由度为1的χ2分布当函数y=g(x)可导且为严格单调函数时，我们有下 面结果设随机变量X具有概率密度fX(x)，又设函数 g(x)处处可导且恒有g(x)>0 (或恒有g(x)0的情况此时g(x)在(-∞,+ ∞)严格单调增加，它的反函数h(y)存在，且在(α，β)严格单调增加，可导，现在先来求Y的分布函数FY(y) 因为Y=g(X)在(α，β)取值，故当y≤α时， FY(y)=P{Y≤y}=0；当y≥β时， FY(y)=P{Y≤y}=1；当α0(或恒有g(x)0且有反函数 θ=h(v)=arcsin(V/A)， 又Θ的概率密度为 于是，由公式：若在上题中Θ在(0，π)上服从均匀分布，因为 此时v=g(θ)=Asinθ在(0，π)上不是单调函数，上 述定理失效，此时方法如何？例4 设X在[0,π]服从均匀分布，求：Y=sinX的分布函数 FY(y).解：（1） （2）y=sinx在[0,π]不单调，但可分为两单调区间（0,π/2 ）(π/2 , π)（3）求：FY(y)=P{Y≤y}当0≤y≤1时：FY(y)=P{sinX1, G(y)=1;对y<0 , G(y)=0;由于对0≤y≤1,G(y)=P(Y≤ y) =P(F(X)≤ y)=P(X ≤ (y))=F( (y))= y即Y的分布函数是求导得Y的密度函数可见, Y 服从[0，1]上的均匀分布.例6: 设分布函数F(x)为严格递增的分布函数，F-1(x)为F(x) 的反函数，若XU (0，1),证明Y=F-1(X)的分布函数为 F(y)。

证明: 设Y的分布函数为FY(y)，由分布函数的定义有 FY(y)=P{Y≤ y}=P{ F-1(X)≤ y}=P{ X≤F(y)} =F(y)这个结论在随机模拟中具有基本的重要性均匀分布可通 过上述方法产生分布函数为F(x)的随机变量例如，想得到具有密度函数为的随机数. 参数为 的 指数分布根据前面的结论， Y=F(X)服从[0,1]上的均匀分布.由于当x≥0时， 是严格单调的连续函数 . 应如何做呢？于是得到产生指数分布的随机数的方法如下:均匀随机数 xi给指数分布参数λ令指数随机数。