空间解析几何与向量代数综合复习考试.doc

空间解析几何与向量代数一、向量代数(i) 有关空间直角坐标系下点坐标的问题1. ( 4)在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(A) (2, - 3,4) (B) (2,3, - 4) (C) (2, - 3, - 4) (D) (一 2, - 3,4)解：(A )W (B )V ( C )W ( D )m32. (6 )若 A(1^1, 3), B(1,3, 0)，则 AB 中点坐标为(1,1, ) , | AB |= 5 .2 3. (7 )求(a,b,c)点关于(1)各坐标面(2)各坐标轴(3)坐标原点的对称点坐标解：(1) xoy-(a,b,-c), yoz「(-a, b,c), xoz-(a,「b,c)(2) x —/a, -b, -c), y —■(—a,b, —c), z —■( —a, -b, c) (3) o(0,0,0) -(-a,-b,-c)4. (4)若点M的坐标为(x, y,z)，则向径OM用坐标可表示为(x, y, z)或lx, y, z?.5. ( 8)一边长为a的立方体放置在xoy面上，其下底面的中心在坐标原点，底面的顶点在 x轴和y轴上，求它各顶点的坐标。

解: ( ~~ a,0,0), (0, — a,0), ( - a,0, a), (0, — a, a)2 2 2 26. ( 7)已知 A(-1,2,-4) , B(6,-2, t)，且 | AB 卜 9，求(1) t; (2)线段 AB 的中点坐 标5 5解: (1 0或-8, (2)( ,0,-2)或(，0,-6)2 2(ii) 有关向量概念及向量线性运算的坐标表示7. ( 8)设已知两点MM4八2,1)和M2(3, 0,2)，计算M1M2的模、方向余弦、方向角及 单位向量1 2 1 2 兀解: (1 )模 2, ( 2) ( ，- Q,：2 2 2 3& (6 )若：■,:,为向量 a 的方向角，贝V cos2 ? cos2 : cos2 二 _2 2 2sin “：亠 sin , ‘ ； sin 2 9. (6 )设 m (3,5, 8) , n (2,_4,_7)和 p =(5,1,_4)，求向量 a =4m - 3n — p 在 x 轴 上的投影及在y轴上的分向量彳 - - --解：(1) 13, ( 2) 7j ( a =4m 3n 一 p 二4(3,5,8) 3(2,一4,一7) 一(5,1,-4)= (13,7,15)10. (6 )已知点P的向径0P为单位向量，且与z轴的夹角为 ，另外两个方向角相等，6求点P的坐标。

解:11.(6 )已知向量a与各坐标轴成相等的锐角,| a |=2.3，求a的坐标解:因为 3cos2 ：■=1= cos 3，所以3ax=a cos二=2 3 3 = 23同理ay =az=2，故 a =(2,2,2)(iii) 向量的数量积与向量积及其坐标运算12. (4 )下列关系式错误的是 (D )>—K. M M M _ |—K* M2 2(A) a b = b a (B) a b - -b a (C) a =| a | (D) a a = 013. (7 )设 a (3,-1,2), b =(1,2,-1)，求 a b 与 a b.解: a b = -1, a b -「-3,5,7：14. (7 )设 a =(2,-3, 2), b = (-1,1, 2), c =(1,0,3)，求(a b) c.2-3 2解: (^

解: prjba =cos(a, b) = aa b=?PHb|(v)用向量积来计算有关平行四边形和三角形的面积问题17. (7 )已知：OA=i 3k , OB = j • 3k，求■ OAB 的面积解: s也=^OA汉OB =心218. (7) lABC三顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为 A(X1, yj, B(X2, y2),C(X3, y3),. ABC的面积?12X1y11解：S也BC —X2y21X3y31则如何用向量积的方法来求出19. ( 7 )试找出一个与=(1,2,1),b =(0,1,1)同时垂直的向量「(1,-1,1)川、综合应用题型：(i) 涉及到代数向量(即用坐标表达式表示的具体向量)的综合计算问题20.( 10 )已知三点 M1(2,2,1),M 2(1,1,1),M3(2,1,2)，( 1 )求.M1M2M3 ；(2)求与MjMz’MqMb同时垂直的单位向量解：(1)M2M1 =(1,1,0) M2M3 =(1,0,1), cos(M2M1,M2M3^12故•— M1M2M3 —3(2)(M1M2 m 2m3)m1m2 m2m321. (8 )已知 A(1,0,0), B(0,2,1),试在z轴上求一点C ,使厶ABC的面积最小。

1解：设 C(0,0,z), A2 (5z2 -2z 5) = z4二、平面方程(i) 三点式平面方程的求法，根据一般式方程指出平面的特殊位置26. (7 )求过三点 M1 (2, T,4), M 2( T,3,-2), M 3(0,2,3)的平面方程若A(xi, %,乙)，B(X2, y2乙),C(X3, y, Z3)不共线，你能给出过此三点的平面方程吗?解： 因为平面的法向量为-3-2k一 6 =(14,9,一1)-1故 14(x -0) 9( y-2) -z(z-3) = 0.14x 9y -z -15 = 0x -x1 y — y1 -z1x2 -禺 y2 - y1 z2 7 = 0 X3 —花 y3—% Z3—乙27. 指出下列平面方程的位置特点，并作示意图：(3) (5 ) x「2y 3z「8 二 0.(1) (5 ) y -3 =0 ； (2) (5) 3y 2z = 0 ； 解：(1)过点(0,3,0)且平行于坐标面 xoz的平面2) 过x轴且垂直于坐标面 yoz的平面3) 截距分别为8,-4,8的平面3(ii) 二平面垂直与平行的判定28. 判定下列两平面之间的位置关系：(1) (4 ) x 2y「4z=0 与 2x 4y「8z=1.(2) (4 ) 2x「y 3z =1 与 3x「2z = 4.解 (1)平行； (2)垂直(iii) 二平面夹角的计算(夹角规定为 [0,])。

229. (4 )求两平面 x-y，2z-6=0 和 2x，y，z-5 = 0 的夹角解:cos^1 2 (-1)1 2 1<6 <61 . ■:2，故匕(iv)点到平面距离的计算30. (4 )点(1,2,3)到平面 3x 4^12z 1^0 的距离 d3 + 8-36+12,32 42 122存131. (7 )求 Ax By Cz D^i =0与 Ax By Cz D2 = 0之间的距离解:在Ax By Cz D^ 0上取一点D1(0,0,- C)，D1D2 - Dj.A2 B2 C20 + 0 - C ——+ D2由点到平面的距离公式得CA2 B2 C2(v) 用点法式方程建立与已知平面有关的未知平面方程.32.求满足下列条件的平面方程：(1) (7)平行 y 轴，且过点 p(1,-5,1)和 Q(3,2,-1).解：设所求平面为 Ax Cz D = 0，将P,Q代入得A = _D ,C = - D2 2故所求平面为 x • z - 2 = 0(2) (7)过点(1,2,3)且平行于平面2x y 2z ^0.解： 2(x -1) (y -2) 2(z-3) = 0 ,即 2x y 2z -10 = 0(3) (7)过点 M ,1,1,1)和 M2(0,1,-1)且垂直于平面 x y ^0.解：所求平面为 Ax By Cz 0，于是有A B ^0A B C D=0 , B-C D=0解得 D =0 B = C A = -2B , - 2Bx By Bz = 0即 2x -y -z = 0三、直线方程(i)两点式直线方程的计算。

33. (4)过点皿1(为，％,乙)，皿2区』2,乙2)的直线方程为X - Xr y - 力 z - 乙X2 - X1 y2 - y1 Z2 - 乙(ii) 一般式方程转化为对称式方程34. ( 7 )用对称式方程及参数式方程表示直线x + y + z + 1 = 0,、2x _ y + 3z + 4 = 0.1 j解：s = 1 12 -1k51 =(4,一1,一3)，取 x=0,y=1 得 z = ——43故直线的对称式方程为z + _X y T _44 —1 —3直线参数式方程为x =4ty - -t 15z = -3t4（iii）两直平行或垂直的判定35.判别下列各直线之间的位置关系:(1) (4 ) L1 : -x 1 -2x =1 2t,与 L2 > y =2 +t, z = 3.解：=(-1,2,3),S2二(2,1,0),S) s2 = 0所以 J _ L2(2) (4) L1 : —X 二'2x + y _1 =0, 3x + z—2 =0.解: s^ =(-1,2,3) , S2 二=(1,-2,-3) 一(-1,2,3)所以L, II L2（iv）点到直线距离的计算.x — 136- (7)求原点到T=y-2口的距离。

2X —1解：方法（1 ）化鼻」=y 一2 =2 2x = 2t 1z - 3为参数方程 y = t • 2z = 2t 3点（0, 0, 0）到直线上任意点的距离为（参数为 t的点）d(t)二(2t 1)2 (t 2)2 (2t 3)2二 9t2 20t 149(t2 14-100「14-10°=』(t9 \ 9 3方法（2）过点（0, 0, 0）与且直线垂直的平面方程为2(x -0) (y -0) 2(z -0) =010~9x = 2t 1将直线L化为参数式方程为y = t九2代入直线L的垂面方程，得z = 2t 311 8 7所以(0, 0, 0)在直线L上的垂足为( ，—，一)9 9 9所求距离为—「91)2(9)2(9)2「1」〉；四、平面与直线综合题(i)直线与平面的交点计算z —4 .38. (5 )求直线x - 2二y - 3 与平面。