结构动力特性与动力反应.docx

第四讲 结构动力特性与动力反应【内容提要】自由度体系周期、频率计算，简谐荷载与突加荷载作用下简单结构的动力系数、振幅与最大动内力，阻尼对振动的影响一、概念（一） 动力荷载荷载大小、方向和作用位置随时间而改变按时间可分为周期荷载、冲击荷载、突加恒载和随机荷载二） 动力问题的特征结构在动荷载作用下，其上质点产生惯性力，抵抗变形还产生阻尼力，因此，结构的内力和位移成为时间的函数三） 动力响应结构在动荷载作用下产生的动内力和动位移，统称为动力响应（动力反应）它不仅与动荷载有关，还与结构动力特征（固有频率、振型和阻尼）有关四） 四） 动力自由度描述一个体系在振动过程中全部质点的位置所需要的独立变量数目二、单自由度体系的振动方程1.按平衡条件建立振动方程一一刚度法如图±4-1所示单自由度体系，取质量的为隔离体.其上作用力为动力荷载;F（t）弹性力二式中负号表明弹性力与质点的位移方向相反，用I为刚度系数.阻尼九七切=-双£）负号表示与质量加速度;＞（f）方向相反，C为阻尼系数.惯性力：尸『口）=一厢口）负号表示与质量速度泌）方向相反.根据达朗贝尔原理，有平衡方程或注步十g十七11y = F，）（6-4-I）2 ■按位移协调建立方程一一柔度法设质量加在单位力作用下的位移为力］,则动位移炖”困«）+%（力+欧）］,九或y = F（t）（6-4-2）Ai工］称为柔度系数，为1三— 曷1三、单自由度冬系的振动1 .无阻尼自由振动令F0=UI Bj（£）=。

得无阻尼自由振动方程对十质】尸=6-4-3）⑶称为体系的自振频率U解式值Y-3）m可得尸@ = "sin （醵+ ；!= — 瓦］三、单自由度体系的提 1.无阻尼自由振动 令夕 @=0, %（£）=（ 好十占小=03称为体系的自振频率y(/)=刃 sin (般+ 3)式中其中■/口，仇）分别是质演2.受迫振动⑴芮谐荷载下阻小）图 6-4-2其振动模型如图6Y-2（所示•体系的阻尼因素用图中的阻尼器表示，C为粘滞阻尼系数，尸«）=尸smdz为干扰力，y为质点自静平衡位置算起的动位移，在任一瞬时所点处于动平衡， 取图6Y-2B）所示隔离体，作用在质点上的力有，弹性力S（£）= -占/«），阻尼力R①二-◎&） 干扰力Hf） = Fsm 和惯性力的G）= -对«）.于是可列出如下的动平衡方程5?）十月l/Q）=网小切（“）引入“⑻2m a称为阻尼比，于是可得方程在稳态受迫振动时的解为y（i）= Asin（01 -

潞］为在干扰力幅值作用下质点活的静位移均=£称为频比由上 WCP0式可知，动力系数外与尸和自有关.当0.75〈产〈1.25范围内（称此范围为共振区）｝《对〃的影响极大； 但在此范围以外，则？对〃的影响较小也就是说，在共振区范围内要考虑阻尼的影响，而在共振区之 外，可按无阻尼考虑U的最大值发生在f = Ji -处,因《通常很小，近似地认为户二1时体系发生共振，此时动力系数由式（由可得由解）（小可知，因阻尼的存在，位移总是湍后于振动荷载.（2）在简谐荷戟作用下，无阻尼的单自由度体■系的受迫振动.将上述有阻尼情况所得的计算公式中，令《二即可得无阻尼时的计辑公式.动平衡方程为喈傍十匕1¥«）= Psindi其稳态解为y（i）=工 sin式中为三郎/三川蔡%动力系敬为1» 一:71-外共振时〃 =8.现考察图6-4-式口）所示单自由度体系，由于基础的水平方向尚谐振动仃皿 乩所弓I起质点处 的振幅.不考虑阻尼-jCO(ii图 6-4-3质点照在聚一眠时的位移如图记4-3Q）所示，它由两部分位移组成.一是随基触一起发生位移型（小 另一是与基础的相对位移可），故质点上的弹性力sQ） = f1M而惯性力1© = -冽畋）+其则，以 质点为隔离体■（图6Y-3（b））,可得动平衡方程为-冽［跳）+9（理-K区” 0或冲编+用1y1） = -髅刈（y ）将V，）=U 51n & t代入上式，可得好Q）+上l/G）=明帅，血 去洸）将上西式与式1/）对照可知,-酬加）相当于动荷载尸（力，而燧0日,则相当于茴谐荷载的幅值3由此 可得质点痛相对于基础的位移幅值/为m（y1于是，质点附总的位移幅值为阴 *6 ="UH）因_5=白，且由=匚匚—回，当日不受，而止口越小或工1越大，0就越小，而声越大，尺值随之⑦ TH； 7趣越小.此时从式（门可知，质点用的振加幅值较之基础水平振由幅值要小得绻.胧们常利用这一特点来采取 隔振措施,如对精密仪器的工作台为了防振，将其支承在柔性弹簧上，可以达到较好的隔振效果.四、多自由度阵系的自由振动图6-4-4研疣多自由度体系的自由振动主要是求体系的自振频率和相应的振型.如图6-4-4（4 ）所示两个自由度 体系，可按图6-4-4（3）所示在两个惯性力作用下，参照图6-4-4（c）、（d）所示柔度系数，可列出两个 质点的位移方程为；城）=-用舟曲1-啊%?）也Q)/阴=4细(41+的'/？«)= Aj sin® r+a)将式（。

代入方程消去因子sin （为上+0）,并加以整理，可得因4、4不能全为零，故应有［町九一万］ 啊九小 r ）r0曲力I绝fn 一一7令2 =」■,展开上式并解之可得CD;卜潜冬 土石4普）［峻2阮启石两个自振频率为的称为第一频率，叼称为第二频率.由式（3）第一式可求出对应于01、啊两个频率的两种振动型式（称之为壬振型），即第一振型为轨^^ = 口第二振型为加2/2=Pt据此可分别作出两个主振型图.可用振型的正交性的《〉《力+叫斓号）=0进行校核值得指出：当体系为对称时，则体系主振型必然是对称的和反对称的自由振动.如图6Y-5 2）所示刚架，它为两个自由度体系列两横梁的动平衡方程时，先设想在两横梁处加上附 加水平链:杆，如图6-4-5 （匕）所下.根据两附加链杆总的水平反力应为零并参照图6-4-5（c ）、（4）、（？） 所示的睫杆反力，可列出动平衡方程为477鸣）Q)777(A)图67-50尤羟（八+沌浓"0]牖为用仃刈+眄淞=4海式（a ）代入上式并小曲因子sin®t +同加以整理可得（处一// 以4%q = 口1G44 +（岛-叫由‘以=oj因4、4不能全为零，故应有仅 u-m0）如如忆-叫辞”展开上式并解之可程据此可求得第一频率组和第二频率叫Q由式（C ）第一式可求得相应的两个振型分别为: 醴：网解一如朽F一 二问闻“ m.tu! - Jb.1那一一一 一内据此可以作出振型图.【例题11分析图6-4-6（a）、（c）、（e）、（g）、（i）所示体系的自由度。

不计杆件的分布质量图廿-4-6解二图6YF (a)所示体■系有一个质点.不计杆的轴向变形，则质点:只能水平运动，不能竖向运动， 只有一个位移分量了(力，故自由度为L若在质点上加一个水平支杆，则质点不能发生任何运动 (图8-4-6b),也可确定其自由度为1图已4-5(c)所示体■系有两个质点口不计杆的轴向变形，两个质点的水平位移相同均为丁«),尚无竖向 位移，若在其卬一个质息上加一个水平支杆则两个场点场不能运动t图B-4-68口故液体系具有一个自由度 为单自由度体系.可见I自由度数不一定等于质点个数：自由度马体系是静定结构还有超静定结构无关日 86~4-6所示体■系有一个质点口由于杆件可发生弹性弯曲变形，质点有竖向和水平的两个位移分量，这 两个位移相互独立,故有两个自由度口加支杆确定时如图日7-8住)所示.图6-4-6(g)所示体系有两个质点，杆件可发生弹性弯曲变形，质点有竖向和水平的两个位移分量，这两个位移相互独立，故有两个自由度加支杆确定时如图6-4-6(h)所示图6-4-6(i)所示体系有两个质点，质点有竖向两个位移分量和水平向一个位移分量，这三个位移相互独立，故有三个自由度加支杆确定时如图6-4-6 (j ) 所示。

例题2】图6Y-7 （a）所示为二层层屋的动力计算简图，柱子无质量（质量已集中到横梁），不计 梁的弯曲变形（双二 00）,确定其自由度.解：由于不计杆的轴向变形，梁的两端不能上下运动；又因为梁无弯曲变形，梁上各点只能水平运 动且位移相同.只要在两个梁端加水平支杆，则所有质量均不能运动（如图b）,故此体系有两个自由度.【例题3】列出图67-8 （a）所示简支梁的运动方程.图6-4-8解：设△力为质点重力用弓I起的静位移，y（E）为从静平衡位置量起的附加位移，¥0为质点的总 位移（见图6-4-8a）,在质点上加惯性力-掰¥〃），列位移方程，有九［中）一鹿川）+府卜年）式中左端三项分别为动荷载、惯性力、重力引起的位移.将丫幻=乂八小¥（£）=，©代人上式, 得fn ［P（f ）- k）+ 町］=y （f ）+ 屋注意到＜1取=A 5,代入上式得质点的运动方程/L1［F（z）-殉（z）］ = y（z）I3式中：柔度系数可由图乘法求得＜1 =恭玩（图6-4-8b）.由此可见，重力对动位移》（£）没有影响，列运动方程时可不予考志例题4】列出图6-4-9（所示体系的运动方程解：图示年系是单自由度体系，设质点位移向右为正，沿位移正向加惯性力（图6-4-如）.用柔度法列 位移方程炖）=［-确）］必+M式中；柔度系数工1和位移（图6-4-9g、d）可由图乘法求得为加"%」里ZEI ' 32 EI代人上式得运动方程为。

七£3&也L或刈+季姐=;项 ml4附【例题5】如图67-10㈤为钢制悬臂梁，梁端部有一个质量为123kg的电机.已知梁长为1m,弹性模量否= 2.06x10】】凶/加2,截面惯性矩/ = 7&桁~不计梁的自重,求自振频率和周期图6-4-10解；单位力作用下的单位弯矩图如图6-4-10 （b）所示，由图乘法计算柔度系数，为f __ ,n * 3£J " 3 x2.06 xlOn x78 xlO r = 62.6s'1 123x2.074x10^则：唉r= —= 2x314 =o.is㈤62.61例题求图b-4-ll㈤所示排架水平振动的自振频率，不计横梁变形.（06-4-11解：图示港系为单自由度年系为求刚度系数，在质量上沿位移方向加链杆，并令犍杆沿位移 方向发生单位移动（如图6-4-11b）,求出链杆反力（如图6-4-1"）即为刚度系数y 3EI , 6Ef及「Lf则体系的自振频率为则««图6-4-13【例题7】求。