七年级数学下册 1.6 完全平方公式课件 （新版）北师大版.ppt

6 完全平方公式一、完全平方公式的推导一、完全平方公式的推导1.1.两数和的平方两数和的平方. .(a+b)(a+b)2 2=(a+b)(a+b=(a+b)(a+b)=___________=_________.)=___________=_________.2.2.两数差的平方两数差的平方. .(a-b)(a-b)2 2=(a-b)(a-b=(a-b)(a-b)=___________=_________.)=___________=_________.a a2 2+ab+ab+b+ab+ab+b2 2a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2a a2 2-ab-ab+b-ab-ab+b2 2a a2 2-2ab+b-2ab+b2 2【归纳【归纳】】(1)(a(1)(a＋＋b)b)2 2＝＝______________________，，(a(a－－b)b)2 2＝＝___________.___________.(2)(2)公式特征：公式特征：①①左边：二项式的左边：二项式的_____;_____;②②右边是右边是______项项, ,且有且有______个平方项个平方项, ,中间项为首尾两项底数积的中间项为首尾两项底数积的2 2倍倍. .(3)(3)语言叙述：两数和语言叙述：两数和( (或差或差) )的平方的平方, ,等于这两个数的等于这两个数的_______,_______,加上加上( (或减去或减去) )这两数的这两数的______的的2 2倍倍. .a a2 2＋＋2ab2ab＋＋b b2 2a a2 2－－2ab2ab＋＋b b2 2平方平方两两平方和平方和积积三三二、几何解释二、几何解释如图如图, ,最大正方形的面积可用两种形式表示：最大正方形的面积可用两种形式表示：①______①______，，②_________②_________，，由于这两个代数式表示同一块面积由于这两个代数式表示同一块面积, ,所以应所以应相等相等, ,即即______= _________.______= _________.【点拨【点拨】】公式中的公式中的a a和和b b可代表一个字母、一个数字、单项式或可代表一个字母、一个数字、单项式或多项式多项式. .(a+b)(a+b)2 2a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2(a+b)(a+b)2 2a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2【预习思考【预习思考】】(a-b)(a-b)2 2与与(-a+b)(-a+b)2 2相等吗？相等吗？提示：提示：相等相等. . 完全平方公式完全平方公式【例【例1 1】】(2012(2012··盐城中考盐城中考) )化简：化简：(a-b)(a-b)2 2+b(2a+b).+b(2a+b).【解题探究【解题探究】】(1)(a-b)(1)(a-b)2 2化简后的结果为化简后的结果为a a2 2-2ab+b-2ab+b2 2. .(2)b(2a+b)(2)b(2a+b)化简后的结果为化简后的结果为2ab+b2ab+b2 2. .所以原式所以原式= =a a2 2-2ab+b-2ab+b2 2+2ab+b+2ab+b2 2= =a a2 2+2b+2b2 2. .【规律总结【规律总结】】学习完全平方公式学习完全平方公式““三注意三注意””1.1.明确结构特征：公式的左边是两数和明确结构特征：公式的左边是两数和( (或差或差) )的平方，而右边的平方，而右边是这两个数的平方和加上是这两个数的平方和加上( (或减去或减去) )这两个数的积的这两个数的积的2 2倍倍. .2.2.理清字母含义：公式中的字母理清字母含义：公式中的字母a a，，b b可以是具体的数，也可以可以是具体的数，也可以是单项式、多项式是单项式、多项式. .只要符合公式的结构特征，就可以利用公式只要符合公式的结构特征，就可以利用公式. .3.3.避免常见错误：在学习中不少同学经常出现如下错误：避免常见错误：在学习中不少同学经常出现如下错误：(1)(a+b)(1)(a+b)2 2=a=a2 2+b+b2 2. .(2)(a-b)(2)(a-b)2 2=a=a2 2-b-b2 2. .(3)(a-b)(3)(a-b)2 2=a=a2 2-2ab-b-2ab-b2 2. .【跟踪训练【跟踪训练】】1.(20121.(2012··南通中考南通中考) )已知已知x x2 2＋＋16x16x＋＋k k是完全平方式，则常数是完全平方式，则常数k k等等于于( )( )(A)64 (B)48 (C)32 (D)16(A)64 (B)48 (C)32 (D)16【解析【解析】】选选A.A.因为因为16x=216x=2××x x××8 8，所以这两个数是，所以这两个数是x x，，8 8，所以，所以k=8k=82 2=64.=64.2.(20122.(2012··凉山州中考凉山州中考) )整式整式A A与与m m2 2-2mn+n-2mn+n2 2的和是的和是(m+n)(m+n)2 2，则，则A=_____.A=_____.【解析【解析】】A=(m+n)A=(m+n)2 2-(m-(m2 2-2mn+n-2mn+n2 2)=4mn.)=4mn.答案：答案：4mn4mn3.3.计算：计算：(1)((1)(－－m m－－n)n)2 2.(2)(.(2)(－－5a5a－－2)(5a2)(5a＋＋2).2).【解析【解析】】(1)((1)(－－m m－－n)n)2 2＝＝( (－－m)m)2 2＋＋2(2(－－m)(m)(－－n)n)＋＋( (－－n)n)2 2＝＝m m2 2＋＋2mn2mn＋＋n n2 2. .(2)((2)(－－5a5a－－2)(5a2)(5a＋＋2)2)＝－＝－(5a(5a＋＋2)(5a2)(5a＋＋2)2)＝－＝－(5a(5a＋＋2)2)2 2＝－＝－(25a(25a2 2＋＋20a20a＋＋4)4)＝－＝－25a25a2 2－－20a20a－－4.4. 完全平方公式的应用完全平方公式的应用【例【例2 2】已知】已知x+yx+y=8=8，，xyxy=12=12，求，求x x2 2+y+y2 2的值的值. .【解题探究【解题探究】】(1)(1)因为因为x+yx+y=8=8，所以，所以(x+y)(x+y)2 2的值是的值是6464. .(2)(2)由完全平方公式可知由完全平方公式可知(x+y)(x+y)2 2= =x x2 2+2xy+y+2xy+y2 2，由上述探究可得，由上述探究可得x x2 2+2xy+y+2xy+y2 2= =6464，即，即x x2 2+y+y2 2= =64-2xy64-2xy. .(3)(3)由已知由已知xyxy=12=12可得可得x x2 2+y+y2 2= =64-264-2××1212= =4040. .【规律总结【规律总结】】完全平方公式的常见变形完全平方公式的常见变形(1)a(1)a2 2+b+b2 2=(a+b)=(a+b)2 2-2ab=(a-b)-2ab=(a-b)2 2+2ab.+2ab.(2)(a+b)(2)(a+b)2 2+(a-b)+(a-b)2 2=2(a=2(a2 2+b+b2 2).).(3)(a+b)(3)(a+b)2 2-(a-b)-(a-b)2 2=4ab.=4ab.在运用公式时，不应拘泥于公式的形式，而要深刻理解、灵活在运用公式时，不应拘泥于公式的形式，而要深刻理解、灵活应用应用. .【跟踪训练【跟踪训练】】4.4.我们已经用图形的面积对二项的完全平方公式作了说明，我们我们已经用图形的面积对二项的完全平方公式作了说明，我们也可用如图对三项的完全平方公式也可用如图对三项的完全平方公式(a+b+c)(a+b+c)2 2=a=a2 2+b+b2 2+c+c2 2+2ab+2bc++2ab+2bc+2ca2ca作说明，那么其中用来表示作说明，那么其中用来表示b b2 2的是的是( )( )(A)(A)区域区域①①的面积的面积(B)(B)区域区域⑤⑤的面积的面积(C)(C)区域区域⑥⑥的面积的面积(D)(D)区域区域⑧⑧的面积的面积【解析【解析】】选选C.C.由图形可知，区域由图形可知，区域⑥⑥是边长为是边长为b b的正方形，所以用的正方形，所以用来表示来表示b b2 2的是区域的是区域⑥⑥的面积的面积. .5.(20125.(2012··株洲中考株洲中考) )先化简，再求值：先化简，再求值：(2a-b)(2a-b)2 2-b-b2 2，其中，其中a=-2,b=3.a=-2,b=3.【解析【解析】】原式原式=4a=4a2 2-4ab+b-4ab+b2 2-b-b2 2=4a=4a2 2-4ab.-4ab.当当a=-2,b=3a=-2,b=3时，原式时，原式=4=4××(-2)(-2)2 2-4-4××(-2)(-2)××3 3=16+24=40.=16+24=40.1.(20121.(2012··遵义中考遵义中考) )如图，从边长为如图，从边长为(a+1)cm(a+1)cm的正方形纸片中剪的正方形纸片中剪去一个边长为去一个边长为(a-1)cm(a-1)cm的正方形的正方形(a(a＞＞1)1)，剩余部分沿虚线又剪拼，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形成一个矩形( (不重叠无缝隙不重叠无缝隙) )，则该矩形的面积是，则该矩形的面积是( )( )(A)2 cm(A)2 cm2 2 (B)2a cm(B)2a cm2 2(C)4a cm(C)4a cm2 2 (D)(a(D)(a2 2-1)cm-1)cm2 2【解析【解析】】选选C.C.矩形的面积是矩形的面积是(a+1)(a+1)2 2-(a-1)-(a-1)2 2=a=a2 2+2a+1-(a+2a+1-(a2 2-2a+1)=4a (cm-2a+1)=4a (cm2 2).).2.2.已知已知a+ba+b=5,ab=6=5,ab=6，则，则(a-b)(a-b)2 2的值为的值为( )( )(A)1 (B)4 (C)9 (D)16(A)1 (B)4 (C)9 (D)16【解析【解析】】选选A.(a-b)A.(a-b)2 2=(a+b)=(a+b)2 2-4ab=5-4ab=52 2-4-4××6=1.6=1.3.(20123.(2012··南安中考南安中考) )已知已知a+ba+b=3=3，，abab=1=1，则，则a a2 2+b+b2 2的值为的值为_____._____.【解析【解析】】因为因为(a+b)(a+b)2 2=a=a2 2+b+b2 2+2ab+2ab，所以，所以a a2 2+b+b2 2=(a+b)=(a+b)2 2-2ab=3-2ab=32 2-2=7.-2=7.答案：答案：7 74.(20124.(2012··常州中考常州中考) )已知已知x=y+4x=y+4，则代数式，则代数式x x2 2-2xy+y-2xy+y2 2-25-25的值为的值为_____._____.【解析【解析】】因为因为x=y+4x=y+4，所以，所以x-yx-y=4=4，，所以所以x x2 2-2xy+y-2xy+y2 2-25=(x-y)-25=(x-y)2 2-25=16-25=-9.-25=16-25=-9.答案：答案：-9-95.(20125.(2012··泉州中考泉州中考) )先化简，再求值：先化简，再求值：(x+3)(x+3)2 2+(2+x)(2-x)+(2+x)(2-x)，其，其中中x=-2.x=-2.【解析【解析】】原式原式=x=x2 2+6x+9+4-x+6x+9+4-x2 2=6x+13=6x+13，，当当x=-2x=-2时，原式时，原式=6=6××(-2)+13=1.(-2)+13=1.。