空间中的平行关系.ppt

山东金榜苑文化传媒集团山东金榜苑文化传媒集团步步高大一轮复习讲义步步高大一轮复习讲义8.3空间中的平行关系空间中的平行关系➳➳判定：判定：平面外一条直线与平面外一条直线与此平面内的一条直线此平面内的一条直线平行平行, ,则该直线与此平面平行．则该直线与此平面平行．1.1.直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定与性质➳➳性质：性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行任一平面与此平面的交线与该直线平行➳➳判定判定: 一个平面内的一个平面内的两条相交直线两条相交直线与另一个平面平与另一个平面平行，则这两个平面平行．行，则这两个平面平行．2.2.平面与平面平行的判定与性质平面与平面平行的判定与性质➳➳性质性质1 1：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．那么它们的交线平行．1.➳➳性质性质2 2：：如果两个平面平行如果两个平面平行, ,那么一个平面内的任何那么一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面一条直线必平行于另一个平面. .1.空间三种平行关系空间三种平行关系(线线平行、线面平行、面线线平行、线面平行、面面平行面平行)的转化的转化,是立是立 体几何证明中常用思路体几何证明中常用思路.三、例题解析例例 1: 已知已知m,n是直线，是直线，α,β是平面判断是平面判断下列结论是否正确下列结论是否正确:1.1.若若m m⊂ ⊂αα, n n⊂ ⊂αα, m∥m∥ββ, n∥n∥ββ, 则则αα∥∥ββ2.2.若若αα内有无数条直线平行于内有无数条直线平行于ββ, 则则αα∥∥ββ3.3.若若αα内任意直线都平行于内任意直线都平行于ββ, 则则αα∥∥ββ桃江一中数学组桃江一中数学组4.m//α,m //β,n//α,n//β,α,m //β,n//α,n//β,则则α//βα//β 5.若若α//α//γγ,β//,β//γγ, ,则则α//βα//β4、垂直于同一平面的两平面平行、垂直于同一平面的两平面平行5、若、若α∥∥β,则平面则平面α内任一直线内任一直线a ∥∥β6、若、若n α,m α,n∥∥β,m ∥∥β则则α∥∥β∩∩αβnmγβα(1) 定义法，常常借助于反证法定义法，常常借助于反证法. .(2) 判定定理判定定理( (线线∥∥线线⇒⇒线线∥∥面面) )；；(3) 面面平行的性质面面平行的性质定理定理( (面面∥∥面面⇒⇒线线∥∥面面) )；；(4)向量法向量法2.直线与平面平行的判定方法有三种：直线与平面平行的判定方法有三种：(1)利用定义证明利用定义证明(常常借助于反证法常常借助于反证法 ) ；；(2)利用判定定理证利用判定定理证；；(3)利用利用“垂直同一直线的两个平面平行垂直同一直线的两个平面平行”3.证明两平面平行的方法有三种证明两平面平行的方法有三种：：DD④④③③⑤⑤②②题号题号答案答案12345直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定与性质 【【例例1】】正正方方形形ABCD与与正正方方形形ABEF所所在在平平面面相相交交于于AB，，在在AE, BD上上各各有有一一点点P, Q,且且AP＝＝DQ. 求求证证：：PQ∥∥平面平面BCE.证明证明:方法一方法一, 作作PM∥∥AB交交BE于于M,作作QN∥∥AB交交BC于于N,连接连接MN.∵∵正方正方形形ABCD, ABEF有公共边有公共边AB，，∴∴AE＝＝BD.又又AP＝＝DQ，，∴∴PE＝＝QB，，∴∴PQ∥∥MN.又又MN 平面平面BCE，，PQ 平面平面BCE,∴∴PQ∥∥平面平面BCE.直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定与性质 直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定与性质 ∴∴MQ∥∥BC，，∴∴MQ∥∥平面平面BCE，又，又PM∩MQ＝＝M，，BE∩BC＝＝B，，∴∴平面平面PMQ∥∥平面平面BCE，，又又PQ 在在平面平面PMQ内内. ∴∴PQ∥∥平面平面BCE.证明证明:连接连接AC交交BD于点于点O，连接，连接MO∵∵四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，∴∴O是是AC中点，又中点，又M是是PC的中点，的中点，∴∴AP∥∥OM. 则有则有PA∥∥平面平面BMD.∵∵平面平面PAHG∩平面平面BMD＝＝GH，，∴∴PA∥∥GH. 如如图图,四四边边形形ABCD是是平平行行四四边边形形,点点P是是平平面面ABCD外外一一点点，，M是是PC的的中中点点,在在DM上上取取一一点点G,过过G和和AP作平面交平面作平面交平面BDM于于GH.求证：求证：AP∥∥GH.例例2．如图，正方体．如图，正方体ABCD－－A1B1C1D1中，中，E为为DD1的中点，证明的中点，证明BD1∥∥平面平面AEC．．证明：连结证明：连结BD交交AC于于O,连结连结EO∵∵E,O分别为分别为DD1与与BD的中点的中点C1CBAB1DA1D1EO在在∧∧BDD1中，中，∴∴EO∥∥＝＝BD1∴∴BD1 ∥∥平面平面AEC而而EO平面平面AEC,BD1平面平面AEC例例1.如图如图, 三棱柱三棱柱ABC- -A1B1C1 , D是是BC上一点上一点,且且A1B//平面平面AC1D, D1是是B1C1的中点的中点.求证求证:平面平面A1BD//平面平面AC1D.DD1C1BA1ABCO平面与平面平行的判定与性质平面与平面平行的判定与性质平面与平面平行的判定与性质平面与平面平行的判定与性质【例【例2】如图所示】如图所示,已知已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为是棱长为3的正方体的正方体,点点E在在AA1上上, 点点F在在CC1上上, G在在BB1上上,且且AE＝＝FC1＝＝B1G＝＝1, H是是B1C1的中点．的中点． (1)求证：求证：E, B, F, D1四点共面；四点共面； (2)求证：平面求证：平面A1GH∥∥平面平面BED1F.证明证明:(1)连接连接FG.∵∵AE＝＝B1G＝＝1，，∴∴BG＝＝A1E＝＝2，，∴∴BG A1E，，∴∴A1G∥∥BE.又又∵∵C1F B1G，，∴∴四边形四边形C1FGB1是平行四边形，是平行四边形，∴∴FG C1B1 D1A1，，∴∴四边形四边形A1GFD1是平行四边形．是平行四边形．∴∴A1G D1F, ∴∴D1F EB, 故故E, B, F, D1四点共面四点共面. 证明面面平行的方法有：证明面面平行的方法有： (1)面面平行的定义面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行利用垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)两个平面同时平行于第三个平面两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行；则这两个平面平行； (5)利用利用“线线平行线线平行”、、“线面平行线面平行”、、“面面平行面面平行” 相相互转化互转化.(2)取取BG的中点的中点K，连接，连接C1K. ∵∵H为为B1C1的中点，的中点，∴∴HG∥∥C1K. 又又∵∵C1F BK. ∴∴四边形四边形BFC1K是平行四边形，是平行四边形， ∴∴C1K∥∥BF，，∴∴HG∥∥BF. 由由A1G∥∥BE, A1G∩HG＝＝G, BF∩BE＝＝B. ∴∴平面平面A1GH∥∥平面平面BED1F.2.应用应用判定定理判定线面平行时应注意六个字判定定理判定线面平行时应注意六个字: （（1））面外面外，（，（2））面内面内，（，（3））平行。

平行小结：1.直线与平面平行的判定：直线与平面平行的判定：(1)判定定理判定定理；；(2)证明面面平行证明面面平行：：线线平行线线平行线面平行线面平行3.应用应用判定定理判定线面平行的关键是判定定理判定线面平行的关键是找平行线找平行线方法一：三角形的中位线定理；方法一：三角形的中位线定理；方法二：平行四边形的平行关系方法二：平行四边形的平行关系注意：证明平行四边形的方法：一组对边平行注意：证明平行四边形的方法：一组对边平行且相等且相等面面面面平行平行线面平行线面平行 如图如图,在三棱柱在三棱柱ABC—A1B1C1中，中，E，，F，，G，，H分分别是别是AB，，AC，，A1B1，，A1C1的中点，的中点， 求证求证:(1)B，，C，，H，，G四点共面；四点共面； (2)平面平面EFA1∥∥平面平面BCHG.∵∵A1E 平面平面BCHG，，GB平面平面BCHG. 线面、面面平行的综合应用线面、面面平行的综合应用线面、面面平行的综合应用线面、面面平行的综合应用证明证明:①①当当AB，，CD在同一平面内时，在同一平面内时， 由由α∥∥β，，α∩平面平面ABDC＝＝AC，， β∩平面平面ABDC＝＝BD，， ∴∴AC∥∥BD，， ∵∵AE∶ ∶EB＝＝CF∶ ∶FD, ∴∴EF∥∥BD，， 又又EF β，，BD β，，∴∴EF∥∥β. ②②当当AB与与CD异面时，异面时， 设平面设平面ACD∩β＝＝DH，且，且DH＝＝AC. ∵∵α∥∥β,α∩平面平面ACDH＝＝AC,∴∴AC∥∥DH. ∴∴四边形四边形ACDH是平行四边形．是平行四边形．【【例例3】】如如图图所所示示，，平平面面α∥∥平平面面β, 点点A∈∈α, C∈∈α,点点B∈∈β，，D∈∈β，，点点E、、F分分别别在线段段AB、、CD上上,且且AE∶ ∶EB＝＝CF∶ ∶FD.求证：求证：EF∥∥β，，EF∥∥α. 面面面面平平行行的的性性质质定定理理的的应应用用问问题题,往往往往涉涉及及面面面面平平行行的的判判定定、、线线面面平平行行的的判判定定与与性性质质的的综综合合应应用用.解解题题时时,要要准准确确地地找找到到解解题题的的切切入入点点,灵灵活活地地运运用用相相关关定定理来解决问题理来解决问题,注意三种平行关系之间的相互转化注意三种平行关系之间的相互转化.在在AH上取一点上取一点G，使，使AG∶ ∶GH＝＝CF∶ ∶FD，，又又∵∵AE∶ ∶EB＝＝CF∶ ∶FD，，∴∴GF∥∥HD，，EG∥∥BH，，又又EG∩GF＝＝G，，∴∴平面平面EFG∥∥平面平面β.∵∵EF平面平面EFG，，∴∴EF∥∥β.综上，综上，EF∥∥β.∵∵α∥∥β，，EF∥∥β且且EF α，，∴∴EF∥∥α. 证明如下：证明如下： ∵∵Q为为CC1的中点，的中点，P为为DD1的中点，的中点， ∴∴QB∥∥PA. ∵∵P,O分别为分别为DD1,DB的中点的中点, ∴∴D1B∥∥PO. 又又∵∵D1B 平面平面PAO, PO平面平面PAO, QB 平面平面PAO, PA平面平面PAO, ∴∴D1B∥∥平面平面PAO, QB∥∥平面平面PAO, 又又D1B∩QB＝＝B, D1B, QB平面平面D1BQ, ∴∴平面平面D1BQ∥∥平面平面PAO. 如如 图图 ,在在 正正 方方 体体 ABCD—A1B1C1D1中中 ,O为为 底底 面面ABCD的的中中心心，，P是是DD1的的中中点点，，设设Q是是CC1上上的的点点,问问:当点当点Q在什么位置时在什么位置时,平面平面D1BQ∥∥平面平面PAO?解解:当当Q为为CC1的中点时，平面的中点时，平面D1BQ∥∥平面平面PAO.立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题 (14分分)如图所示，在正方体如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中中, E是棱是棱DD1的中点．的中点． (1)求直线求直线BE和平面和平面ABB1A1所成的角的正弦值；所成的角的正弦值； (2)在棱在棱C1D1上是否存在一点上是否存在一点F,使使B1F∥∥平面平面A1BE ?证明你的结论．证明你的结论． (1)本本题题属属立立体体几几何何中中的的综综合合题题，，重重点点考考查查考考生生的的推推理能力和计算能力理能力和计算能力. (2)第第(1)问问常常见见错错误误是是无无法法作作出出平平面面ABB1A1的的垂垂线线,以致无法确定线面角以致无法确定线面角. (3)第第(2)问问为为探探索索性性问问题题，，考考生生找找不不到到解解决决问问题题的的切入口，入手较难切入口，入手较难. (4)书写格式混乱，不条理，反映考生思路不清晰．书写格式混乱，不条理，反映考生思路不清晰． 对对于于探探索索类类问问题题，，书书写写步步骤骤的的格格式式有有两两种种：：一一种种是是：：第第一一步步，，探探求求出出点点的的位位置置．．第第二二步步，，证证明明符符合合要要求求.第第三三步步，，给给出出明明确确答答案案.第第四四步步，，反反思思回回顾顾．．查查看看关关键键点点，，易易错错点点和和答答题题规规范范．．另另一一种种是是：：从从结结论论出出发发，，“要要使使什什么么成成立立”,“只只需需使使什什么么成成立立”，，寻寻求求使使结结论论成成立立的的充充分分条条件，类似于分析法．件，类似于分析法． 1.平行问题的转化关系平行问题的转化关系 2.直线与平面平行的主要判定方法直线与平面平行的主要判定方法 (1)定义法；定义法； (2)判定定理；判定定理； (3)面与面平行面与面平行的性质．的性质． 3.平面与平面平行的主要判定方法平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法；定义法； (2)判定定理；判定定理；(3)推论；推论；(4)a⊥⊥α,a⊥⊥β⇒⇒α∥∥β. 1.在在推推证证线线面面平平行行时时，，一一定定要要强强调调直直线线不不在在平面内，否则，会出现错误．平面内，否则，会出现错误． 2.在在解解决决线线面面、、面面面面平平行行的的判判定定时时，，一一般般遵遵循循从从“低低维维”到到“高高维维”的的转转化化，，即即从从“线线线线平平行行”到到“线线面面平平行行”，，再再到到“面面面面平平行行”；；而而在在应应用用性性质质定定理理时时，，其其顺顺序序恰恰好好相相反反，，但但也也要要注注意意，，转转化化的的方方向向总总是是由由题题目目的的具具体体条条件件而而定定，，决决不不可可过于过于“模式化模式化”．． 预祝各位同学，预祝各位同学，20132013年高考取得好成绩年高考取得好成绩! !A. AC⊥⊥BDB. AC∥∥截面截面PQMNC. AC=BDD. 异面直异面直线PM与与BD所成的角所成的角为45° 【【1】】(09江西江西)如图，在四面体如图，在四面体ABCD中，截面中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为是正方形，则在下列命题中，错误的为( )【【2】】。