数列求和的8种常用方法最全[共14页].doc

求数列前 n 项和的 8 种常用方法一. 公式法（定义法） ：1. 等差数列求和公式：n(a a ) n(n 1)1 nS na dn 12 2特别地，当前 n 项的个数为奇数时， S2k 1 (2k 1) ak 1 ，即前n 项和为中间项乘以项数这个公式在很多时候可以简化运算；2. 等比数列求和公式： （1）q 1， Sn n a1；（2）q 1，Snna q1 11 q，特别要注意对公比的讨论；3. 可转化为等差、等比数列的数列；4. 常用公式:（1）kn1k11 2 3 L n n(n 1) ；2（2）kn1k212 2 2 2 1 11 2 3 L n n(n 1)(2n 1) n(n )(n 1) ；26 3（3）kn13k3 3 3 3 ( 1) 2n n1 2 3 L n [ ] ；2（4）n(2k 1)21 3 5 L (2n 1) n .k 1例 1 已知log13 x ，求log 322 3 nx x x L x 的前n 项和.解：由1log 3 x log 3 x log3 2 xlog 3212由等比数列求和公式得2 3 nS x x x L xn＝x(11nxx)＝12(111n212)＝1－1n2例 2 设 1 2 3S L n ，n*n N , 求Snf (n) 的最大值.(n 32)Sn 11 1解：易知 Sn ( 1) ， ( 1)( 2)n n Sn 1 n n2 2∴Snf (n) ＝(n 32)Sn 1n2 nn 3464＝n13464n＝(n18n)250150∴ 当8n ，即 n 8时，8 1f (n)max . 50二. 倒序相加法 : 如果一个数列a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那n么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法。

如：等差数列的前 n 项和即是用此法推导的，就是1将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原数列相加，就可以得到 n 个 (a ).1 an2 的值2 2 2 2例 3 求 sin 1 sin 2 sin 3 sin 88 sin 892 2 2 2 2解：设S sin 1 sin 2 sin 3 sin 88 sin 89 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ①将①式右边反序得2 2 2 2 2S sin 89 sin 88 sin 3 sin 2 sin 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ② （反序）又因为sin cos(90 ), sin cos 1x x2 x 2 x①+②得 （反序相加）2 2 2 2 2 22S (sin 1 cos 1 ) (sin 2 cos 2 ) (sin 89 cos 89 ) ＝89∴ S ＝44.5例 4 函数f xx1 x，求1 1 1f 1 f 2 L f 2012 f f L f f 1 的值.2012 2011 2三.错位相减法： 适用于差比数列（如果a 等差，nb 等比，那么na b 叫做差比数列）即把n n每一项都乘以b 的公比 q，向后错一项，再对应同次项相减，即可转化为等比数列求和 .n如：等比数列的前 n项和就是用此法推导的 .例 5 求和：2 7 3 (2 1) 1nSn 1 3x 5x x n x ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ①解：由题可知， {n 1(2n 1)x } 的通项是等差数列 2n 1 的通项与等比数列 {n 1x } 的通项之积2 4 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ② （设制错位）3 n设xSn 1x 3x 5x 7x (2n 1)x①－②得 (12 3 n 1 n （错位相减）4x) n 1 2x 2x 2x 2x 2x (2n 1)xS即： (1n 11 xnx) Sn 1 2x (2n 1)x 1 x∴Sn(2nn1)x1n(2n 1)x (12(1 x)x)2 4 6 2n变式 求数列 , , , , ,2 3 n2 2 2 2前 n项的和 .解：由题可知，2nn2的通项是等差数列 2n 的通项与等比数列 {1n2} 的通项之积设Sn224 6 2n2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ①3 n2 2 2122 4 6 2nS ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ② （设制错位）n2 2n3 4 12 2 2①－②得，(1122 2 2 2 2 2n)S （错位相减）n2 2n 13 4 n2 2 2 2 221n22n1 2n1∴nS 4n n221四. 裂项相消法 : 即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。

这是分解2与组合思想（分是为了更好地合） 在数列求和中的具体应用 . 裂项法的实质是将数列中的每项 （通项）分解，然后重新组合， 使之能消去一些项， 最终达到求和的目的 . 适用于ca an n1，其中an是各项不为 0 的等差数列， c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等其基本方法是a f n 1 f n .n常见裂项公式 ：（1）1 1 1n(n 1) n n 1，1 1 1 1( )n(n k) k n n k；1 1 1 1( )a a d a an n 1 n n 1（a 的公差为 d ）；n（2）1 1a an n1d( a a )n 1 n. （根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和） ；（3）1 1 1 1[ ]n( n 1)( n 1) 2 n( n 1) (n 1)( n 2)；（4）an1 1 1 1( )(2 n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 12(2n) 1 1 1 )；a 1 ( ；(2n 1)(2 n 1) 2 2n 1 2n 1（5）annn(n21)1n22(nn(n1) n 1)1n2n1n21 11 ,则S 1 ；n nn(n 1)2 (n 1)2sin 1（6） n ntan( 1) tancos n cos(n 1)；（7）n 1 1(n 1)! n! (n 1)!；（8）常见放缩公式： 2 1 22( n 1 n) 2( n n 1) n 1 n n n n 1.1 1 1例 6 求数列 ,, , ,1 2 2 3 n n 1的前n 项和.1解：设 n nan 1n n 1（裂项）则1 1 1S （裂项求和）1 2 2 3 n n 1＝( 2 1) ( 3 2) ( n 1 n)＝ n 1 1例 7 求和Sn1 1 1 1L .1 3 3 5 5 7 (2n 1)(2 n 1)例 8 在数列a 中，n 1 2 nan ，又 n 1 n 1 n 12b ，求数列n a an n 1b 的前 n 项的和.n解： ∵ann1 2 n n1 n 1 n 1 232 1 1 8(∴ bn ) （裂项）n n 1n n 12 2∴ 数列b 的前 n项和n1 1 1 1 1 1 1Sn （裂项求和）8[( 1 ) ( ) ( ) ( )]2 2 3 3 4 n n 11＝ )8(1n 1＝8nn 1例 9 求证：cos 01cos1cos11cos 2cos 881cos 89cos12sin 1解：设Scos 01cos1cos11cos 2cos881cos89sin 1∵ tan(n 1) tan n cos n cos( n 1)（裂项）∴1 1 1S （裂项求和）cos 0 cos1 cos1 cos 2 cos88 cos891＝ {(tan 1 tan 0 ) (tan 2 tan1 ) (tan 3 tan 2 ) [tan 89 tan 88 ]}sin 11＝ (tan 89 tan 0 )sin 11＝ cot 1sin 1＝cos12sin 1∴ 原等式成立变式 求 1 1 1 1S .n3 15 35 631 1 1 1解：3 15 35 631 1 1 11 3 3 5 5 7 7 91 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3 5 2 5 7 2 7 91 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( )2 3 3 5 5 7 7 91 1 (1 )2 949五. 分段求和法：例 10 在等差数列a 中 a10 23, a25 22 ，求：（1）数列na 前多少项和最大；（2）数列nan前 n项和.六. 分组求和法 : 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列， 可把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可 .1 1 1例 11 求数列的前 n项和： n 3 2 ，⋯1 1, 2 7, , n4,1a a a41 1 1解：设3 2)S (1 1) ( 4) 2 7) ( n( nn 1a a 。