函数的零点.【高考考情解读】常考查：1.结合函数与方程的关系，求函数的零点．2.结合根的存在性定理或函数图像，对函数是否存在零点或存在零点的个数进行判断．3.判定函数零点(方程的根)所在的区间．4.利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或取值范围．高考题突出数形结合思想与函数方程思想的考查，以客观题的形式为主．(1) 函数与方程的关系：函数f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点⇔f(x)与g(x)有交点⇔f(x)=g(x)． 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图像与函数y＝g(x)的图像交点的横坐标．(2)函数f(x)的零点存在性定理：如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使f(c)＝0.注：①如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f(x)在区间[a，b]上是一个单调函数，那么当f(a)·f(b)<0时，函数f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使f(c)＝0. ②如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)>0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内不一定没有零点． ③如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f(x)在区间(a，b)内有零点时不一定有f(a)·f(b)<0，也可能有f(a)·f(b)>0.(3) 判定函数零点的方法:①解方程法；②利用零点存在性定理判定；③数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(2013·重庆)若a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.(2)依题意，当x>0时，在同一个直角坐标系中分别作出y＝ln x和y＝x2－2x＝(x－1)2－1的图象，可知它们有两个交点；当x≤0时，作出y＝2x＋1的图象，可知它和x轴有一个交点．综合知，函数y＝f(x)有三个零点． (1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(2)提醒：函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标． (1)(2012·天津)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是 ( )A．0 B．1 C．2 D．3(2)已知函数f(x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a、b满足2a＝3,3b＝2，则n＝________.答案 (1)B (2)－1解析 (1)先判断函数的单调性，再确定零点．因为f′(x)＝2xln 2＋3x2>0，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．(2)f(x)＝ax＋x－b的零点x0就是方程ax＝－x＋b的根．设y1＝ax，y2＝－x＋b，故x0就是两函数交点的横坐标，如图，当x＝－1时，y1＝＝log320可得f(x)在(1,2)内必有零点． [答案] B2. 若函数f(x)＝则函数F(x)＝xf(x)－1的零点的个数为( )A．4 B．5 C．6 D．7[解答]据题意，函数F(x)＝xf(x)－1的零点个数可转化为函数y＝f(x)与函数y＝图像交点的个数，在同一坐标系中画出两个函数图像如图所示：由图可知共有6个交点，故函数F(x)＝xf(x)－1的零点个数为6. [答案] C(2013·武汉模拟)定义运算M：x⊗y＝设函数f(x)＝(x2－3)⊗(x－1)，若函数y＝f(x)－c 恰有两个零点，则实数c的取值范围是 ( )A．[－3，－2) B．[－3，－2]∪[3，＋∞) C．[－2,2] D．(－3，－2)∪[2，＋∞)[解答]由x2－3≥x－1解得x≤－1或x≥2，所以f(x)＝函数y＝f(x)－c恰有两个零点，即函数y＝f(x)，y＝c的图像恰有两个交点，作出函数y＝f(x)，y＝c的图像如图，由图可知－30时，函数y＝f[f(x)]＋1的零点个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：结合图像分析，当k>0时， f[f(x)]＝－1，则f(x)＝t1∈或f(x)＝t2∈(0,1)．对于f(x)＝t1，存在两个零点x1，x2；对于f(x)＝t2，存在两个零点x3，x4，共存在4个零点．(2013·潍坊模拟)函数f(x)＝若函数y＝f(x)－kx有三个零点，则k的取值范围为________．[考题揭秘] 本题考查二次函数、对数函数的图像、性质以及函数的零点问题，意在考查考生的推理论证能力、运算求解能力、转化与化归能力以及数形结合思想的运用能力．[审题过程] 第一步：审条件．题目已知函数f(x)的解析式以及函数y＝f(x)－kx有三个零点．第二步：审结论．求实数k的取值范围．第三步：建联系．问题等价于函数y＝f(x)的图像与直线y＝kx有三个不同的交点[规范解答] 显然x＝0是函数y＝f(x)－kx的一个零点．因此只要函数y＝f(x)的图像与直线y＝kx的图像在x≠0时有两个不同的交点即可．又函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，结合函数图像，只需寻找函数y＝f(x)的图像与直线y＝kx有两个交点的条件即可．…………………………………………………………①画出函数y＝f(x)及y＝kx的图像，如图所示．当直线y＝kx与曲线y＝ln(x＋1)相切时，y′＝在x＝0时恰好等于1，即k＝1，所以直线y＝x与曲线y＝ln(x＋1)恰好相切于坐标原点．结合图像，可知只有当0时，函数y＝kx与函数y＝－x2＋x的图像在(－∞，0)上才存在交点．………………………………………………………③要使y＝f(x)－kx有三个零点，则k的值为上述两个k值的交集，故1 D．01，数形结合可知≥(4－3)2，即≥，故≤2，a≥，故 ≤a<1.答案：C1． 已知函数f(x)＝()x－log2x，实数a，b，c满足f(a)·f(b)·f(c)<0(0b C．x0c答案 D解析 函数f(x)＝()x－log2x，在其定义域(0，＋∞)上是减函数，∵0f(b)>f(c)．又∵f(a)f(b)f(c)<0，则f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0，或者f(a)>0，f(b)>0，f(c)<0.若f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0，则x00，f(b)>0，f(c)<0，则bc不可能成立，故选D.2． 若f(x)＋1＝，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间(－1,1]内，g(x)＝f(x)－mx－m有两个零点，则实数m的取值范围是( )A．[0，) B．[，＋∞) C．[0，) D．(0，]答案 D解析 根据方程与函数关系．设x∈(－1,0)，则x＋1∈(0,1)，∴f(x)＝－1＝－1，∴画出f(x)在(－1,1]上的图象(如右图)，g(x)＝f(x)－mx－m在(－1,1]上有两个零点，即f(x)＝m(x＋1)有两个不同根，即y＝f(x)与y＝m(x＋1)有两个不同交点．如右图，当过(－1,0)的直线处于l与x轴之间时，满足题意，则00，f(3)＝log23－>1－＝>0，即f(1)·f(2)<0，∴函数f(x)＝log2x－的零点在区间(1,2)内．答案 C(2011·新课标全国)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在区间为( )．A． B． C． D．解析 f(0)＝－2＜0，f＝e＋4×－3＜0，f。
