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无穷级数整理一、数项级数（一）数项级数的基本性质1. 收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0.2收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数8，总存在N使得对于任何两个N大于的正整数m和n，总有|S-S|<8即部分和数列收敛）mn3. 收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散.4. 对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变.5. 在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性.（二）数项级数的性质及敛散性判断1正项级数的敛散性判断方法（1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛.（2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数艺u和艺v之间自某项以后成立着关系：存在常数c>0，nnn=1n=1使u0，那么这两个级数nnv11nT8vn=1n=1n敛散性相同。

注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容）另外，若l=0，则当级数艺v收敛时，级数艺u亦收敛;若l=g，则当级数艺u发散时，级数艺nnn=1n=1n=1n=1发散.常用度量：(完整版)无穷级数整理① 等比级数：艺qn，当q|<1时收敛，当|q|>1时发散；n=0② P—级数：艺—，当p>1时收敛，当p<1时发散(p=1时称调和级数)；npn=1③ 广义p—级数：£1、，当p>1时收敛，当p<1时发散.nlnnpn=2④ 交错P—级数：艺(-1)n-1-L，当p>1时绝对收敛，当01时级数£u发散；当r=1或r=1时需进一步判断u_n_nn=1(5)柯西判别法的极限形式(根值法)：对于正项级数£u，设r=limn'u，那么r<1时此级数必为收敛，r>1nn.nsn=1时发散,而当r=1时需进一步判断6)柯西积分判别法：设艺u为正项级数，非负的连续函数f(x)在区间［a,+8)上单调下降，且自某项以nn=1后成立着关系：f(u)=u，则级数Xu与积分严f(x)dx同敛散。

nnn0n=12任意项级数的理论与性质(1) 绝对收敛与条件收敛：① 绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然;②对于级数艺u，将它的所有正项保留而将负项换为0,组成一个正项级数艺v，其中v=nnnn=1vnu—n2；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数£8w，其中w=nnn=1u—u-n-n-n=1，那么若级数艺u绝对2nn=1收敛，则级数£v和£w都收敛；若级数£u条件收敛，则级数£v和£w都发散.nnnnnn=1n=1n=1n=1n=1③绝对收敛级数的更序级数(将其项重新排列后得到的级数)仍绝对收敛，且其和相同④若级数艺u和£v都绝对收敛，它们的和分别为U和V，则它们各项之积按照任何方式排列所构成的级nnn=1n=1也绝对收敛，且和也数也绝对收敛，且和为UV特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积为UV完整版)无穷级数整理注：艺cnn=1QuIn=1n丫)、厶v，这里c-uv+uv++uv+uvnJn1n2n-1n-12n1n=1(2) 交错级数的敛散性判断(莱布尼兹判别法)：若交错级数艺(-1)n-1u满足limu=0，且L｝单调减少(即nnn.nsn=1u>u),则艺(-1)n-1u收敛，其和不超过第一项，且余和的符号与第一项符号相同，余和的值不超过余nn+1nn=1和第一项的绝对值。

二、函数项级数(一)幂级数1. 幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域(1)柯西一阿达马定理：幕级数艺a(x-x)n在|x-x|R内发散，其中R为幕n000n=0级数的收敛半径2)阿贝尔第一定理：若幕级数艺a(x-x)n在x=g处收敛，则它必在x-x*-x|也发散.n000n=0推论1：若幂级数艺axn在x=*(*H0)处收敛，则它必在|x|<*|内绝对收敛；又若幕级数nn=0艺axn在nn=0n=0x=*(*H0)处发散，则它必在|x|>|*|时发散推论2：若幕级数ya(x-x)n在x=*处条件收敛，则其收敛半径R=*-xI，若又有n00n=0a>0，则可以确定此幂级数的收敛域.(3)收敛域的求法:令limnsn<1解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集.2幂级数的运算性质1)幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有：厶axnJnn=0n=0n丿abin-i丿n=0i=0xn，收敛域仍取交集.(2)幕级数的和函数S(x)在收敛域内处处连续，且若幕级数ya(x-x)n在x=x-R处收敛，则S(x)在n00(完整版)无穷级数整理Ex-R,x+R)内连续；又若幕级数艺a(x-x)n在x=x+R处收敛，则S(x)在(x-R,x+R〕内连续。

00n0000n=0(3) 幕级数的和函数S(x)在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变.3函数的幂级数展开以及幂级数的求和(1)常用的幂级数展开：①ex=1+x+2!x2+…+2xn+…=区，xf(-¥,+¥)n=0②一^=1+X+X2+・・・+xn+・・・二艺xn,xf(一1,1)1—xn=0从而，=艺(—x)nn=0—=艺(—1)nx2n.1+x2n=011)③sinx=1x一%3+3!1x5—5!…+(—1)nx2n+1(2n+1)!+・・・=(—1)nn=0x2n+1(2n+1)!xf一¥，+¥).④COSx=1——x2+—x4+(—1)n2!4!+…=^in盖，n=0xf(一¥,+¥).111£⑤ ln(1+x)=x—x2+x3+(—1)nxn+1+=乙(—1)23n+1n=1⑥ (1+x)a=1+Ox+a(a—1)x2+…+Q一D…Q—n+Dxn+…,x|(一1,2!-n—1A,xf(-1,1]onn!1)1 x3(2n—1)!!x2n+1a(2n)!⑦arcsinx=x++…++…=x2n+1,x|2 3(2n)!!2n+14n(n!)2(2n+1)n=0(2n)![-1，1]。

„11yif⑧arctanx=x—x3++(—1)nx2n+1+—=厶(—1)nx2n+1,x|32n+12n+1n=0-1，1］2)常用的求和经验规律：①级数符号里的部分x可以提到级数外;②系数中常数的幕中若含有n，可以与x的幕合并，如将Cn和xn合并为(cx)n；nn=0nnnn=0③对艺axn求导可消去a分母因式里的n，对艺axn积分可消去a分子因式里的n+1；④ 系数分母含n!可考虑ex的展开，含(2n)!或(2n+1)!等可考虑正余弦函数的展开；⑤ 有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解.(二)傅里叶级数1狄利克雷收敛定理(本定理为套话，不需真正验证,条件在命题人手下必然成立)若f(x)以21为周期，且在［—I,I］上满足：①连续或只有有限个第一类间断点；② 只有有限个极值点；则f(x)诱导出的傅里叶级数在［—I,I］上处处收敛.2傅里叶级数S(x)与f(x)的关系：f(x),x为连续点;S(x)=