孙冰—开题报告.doc

鞍山师范学院数学系12届学生毕业设计（论文）开题报告课题名称：关于含参量反常积分一致收敛性的研究学生姓名：孙冰专 业：数学与应用数学班 级：08、4学 号：32号指导教师：赵艳英2012年2月15日论文开题报告论文题目：关于含参量反常积分一致收敛性的研究一、 选题意义1 .理论意义：含参量反常积分在微积分中占有重要的地位，含参量反常积分不仅是反 常积分的延伸和推广，也是研究和表达函数（特别是非初等函数）的有力工 具，并为研究多元函数的积分打下了坚实的基础一致收敛性以其特有的抽 象性让初学者无可是从，难以掌握，也成为数学专业课程数学分析区别于工 科课程高等数学的基本要素之一讨论含参量反常积分的一•致收敛性，对以 后的学习和研究有着深远的意义和影响2 .现实意义：一致收敛性是数学分析课程中一个非常重要的概念，很多重要的结论要有一 致收敛的性质作为前提条件例如，函数项级数的逐项求导、逐项求积、交换 求导与积分运算顺序等等都要求函数项级数为一致收敛含参量的反常积分对于 参数的连续性、可微性都要有含参量反常积分的一•致收敛性作为前提一般而言, 在非数学专业工科的各项课程，特别是高数则回避对一致收敛性的具体讨论。

本 文将针对含参量反常积分的一致收敛性问题，分析一致收敛性的一些直观特征， 以帮助读者加深对含参量反常积分一致收敛性这一抽象概念的理解与认识二、 论文综述1. 理论的渊源及演进过程含参量反常积分是数学分析叶1的一个重要分支，人们对•含参量反常积分 一致收敛性的认识经历了一个漫长的过程.1686年，莱布尼茨发表了一篇积 分学论文，这篇论文初步论述了积分问题与微分问题的互逆关系到18世纪， 欧拉发表了《积分学》，是微枳分史上里程碑式的著作，此后很多数学家如 狄尼、魏尔斯特拉斯、狄利克莱等人深入研究了一•致收敛性问题，进而研究 含参量反常积分一致收敛性问题，为此做了不懈努力，取得了一些有成效的 成果，对含参量反常积分的发展做出了重要的页献.2. 国外有关研究的综述微积分由在莱布尼茨后者们的推动下蓬勃发展，此后魏尔斯特拉斯、狄利克 莱，阿贝尔等人深入研究了一•致收敛的问题，提出了魏尔斯特拉斯判别法，狄利 克莱判别法，阿贝尔判别法来判断含参量反常积分的一致收敛性3. 国内研究的综述无穷级数是构造新函数的一种重要工具，利用它可以构造出一些用通常 解析式无法表达的函数，这些函数具有很重要的特性，比如利用无穷级数可 以构造出处处连续而处处不可微的函数。

含参量积分是构造新函数的另一重 要工具，就是用积分形式表示的函数，比如欧拉积分等,在数理方程和概率论 中经常出现这样的函数由于含参量反常积分一直收敛性的广泛应用，涌现 出许多新理论新方法，这些新的理论和方法乂促进了含参量反常积分理论本 身的发展，不仅使它的内容更加丰富，而且开辟了许多新分支和新领域我 国的一些从事基础数学教学和研究的人员对此进行了经验研究与理论思索， 并取得了较大进展4. 本人对以上研究的综论通过国内、国外对此课题的研究，我们知道了含参量反常积分的一致收敛性 是一个抽的象概念，我们一时•之间不会有深入的理解与认识，我想通过该课题更 加全面地让同学们了解含参量反常积分一致收敛性的理论三、论文提纲刖H :在有限区间上的连续函数的含参量积分具有很好的分析性质,并且极限与积 分,求导与积分,积分与积分都可以交换顺序.于是，人们期望这种情况在其他情 形的含参量积分也具备，但是对于含参量反常积分的情形，事情就没有那么简单 了，这需要反常积分和被积函数具有比连续更好的性质，这就要研究含参量反常 积分一致收敛性.在一致收敛意义下，极限与积分、求导与积分、积分与积分都可 以交换顺序.于是判断含参量反常积分的一•致收敛性变得尤为重要.含参量反常 积分一致收敛性的特点是抽象、逻辑性强。

本文围绕国内外数学书刊出现的一些 含参量反常积分一致收敛性的性质和判别法，及其对确定相关的i致收敛性应用 进行了广泛而深入的讨论，并结合一些新发现的方法来讨论相关知识，使我们充 分认识了有关含参量反常积分一致收敛的性质和判别法以下就是对此类问题进 行的讨论：1、 预备知识1） 含参量反常积分的定义2） 含参量反常积分一致收敛性的定义2、 含参量反常积分一致收敛的充分必要条件1） 一致收敛的柯西准则2） 含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致收敛之间的联系3、 含参量反常积分一•致收敛的判别法及其应用1） 魏尔斯特拉M判别法2） 狄利克莱判别法3） 阿贝尔判别法4） 判别法的应用4、 含参量反常积分的性质1）含参量反常积分的连续性 2）含参量反常积分的可微性3）含参量反常积分的可积性结论含参量反常积分一致收敛性对讨论多元函数的连续性，可微性，可积性十分 重要，因此，在学习过程中要加强对定理的理解，更好的掌握判断含参量反常积 分一致收敛性的方法四、预期的结果通过对含参量反常积分一致收敛性的研究探讨，让同学们了解到如何判断含 参量反常积分的一致收敛性，对多元函数的积分有了初步的了解能将含参量反 常积分的一致收敛性与函数级数的一致收敛性的知识巧妙结合在一起。

多给学生 一种解决此类问题的新方法，帮助学生很好地理解与掌握含参量反常积分-•致收 敛性的理论，理出清晰思路和脉络四、参考文献[1] 吕通庆.一致连续与一致收敛[M].北京：人民教育出版社，1981.[2] 华东师范大学数学系，数学分析（下册）国].3版.北京：高等教育 出版社，2001.[3] 张永锋.含参量反常积分的局部一致收敛与连续性[J].咸阳师范 学院学报，2006,21 （6）.[4] 黄慧、陈辉.含参量无穷限反常积分的一•致收敛性[J].高等数学研 究，2011, 14 （1）.[5] 裴礼文 数学分析中的典型问题与方法[M ].北京：高等教育出版社， 2001.[6] 刘玉琏 傅沛仁.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，1992.[7] 杜瑞芝;王青建，孙宏安编.数学史词典山东教育出版社2000-08.[8] R约翰逊鲍.现代数学分析基础[M].广州：中山大学出版社， 1988. 94-99.[9] 吉林大学数学系编 数学分析[M]北京:人民教育出版社,1979[10] B. A.卓里奇.数学分析（第二卷）（第4版）.[M].北京：高等教育出版社，2006. 12.［11］ 董立华，叶盼盼.关于含参量反常积分一致收敛性的讨论［J］.枣庄 学院学报，2008,25(5):51-55.［12］ 谭东北.含参量反常积分的连续与局部一致收敛性［J］六盘山师专 学报 1995(4) : 33-36.［13］ 徐利治，王兴华 数学分析的方法及例题选讲［M］.北京：高等教育出 版社，1984.五、论文写作的进度安排11月初〜11月中旬论文选题，确定论文题目11月下旬〜12月末根据所选论文题目搜集资料、初步论证，完成开题报告。

12年1月〜2月学习所搜集的资料，并对.其进行分析、归纳、整理，完成 论文初稿3月初〜3月末根据指导教师意见,对论文初稿进行修改，完成论文二稿4月初〜4月中旬根据指导教师意见,对论文二稿进行修改，完成论文三稿, 同时完成论文的英文摘要4月下旬〜5月15 口 5月下旬~5月末继续修改论文，直至定稿，并完成论文的排版与打印工作 准备毕业答辩.。