全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案详解.pdf

海天教育海天教育 第 1 页 共 11 页 数学教研室 2011 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题及答案详解 2011 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题及答案详解 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1） 已知当0x →时，函数( )3sinsin3f xxx=−与kcx是等价无穷小，则（ ） （A）1,4kc== （B）1,4kc== − （C）3,4kc== （D）3,4kc== − 【答案】应选（C） 【分析】由泰勒公式及无穷小阶的比较可得 【详解一】33 3327sin(),sin33()3!3!xxxxo xxxo x=−+=−+ 33 330009()3sinsin3422limlimlim1kkkxxxxxo xxxx cxcxcx→→→−++−=== 所以4,3ck== 【详解二】110003sinsin33cos3cos332sin2 sin()limlimlimkkkxxxxxxxxx cxckxckx−−→→→−−−−== 21012lim1kxx ckx−→== 所以12,12kck− ==，即3,4kc== （2） 已知( )f x在0x =处可导，且(0)0f=，则2330( )2 ()lim xx f xf x x→−等于（ ） （A）2(0)f ′− （B）(0)f ′− （C）(0)f ′（D）0 【答案】应选（B） 【分析】根据导数在某点的定义求解。

【详解】2322333300( )2 ()( )(0)2 ()2 (0)limlim xxx f xf xx f xx ff xf xxx→→−−−=−因为( )f x在0x =处可导，所以 海天教育海天教育 第 2 页 共 11 页 数学教研室 23223333000( )2 ()( )(0)2 ()2 (0)limlimlim xxxx f xf xx f xx ff xf xxx→→→−−−=−(0)2(0)(0)fff′′′=−= −（3）设{}nu是数列，则下列命题正确的是（ ） （A）若1n nu∞=∑收敛，则212 1()nn nuu∞− =+∑收敛 （B）若212 1()nn nuu∞− =+∑收敛，则1n nu∞=∑收敛 （C）若1n nu∞=∑收敛，则212 1()nn nuu∞− =−∑收敛 （D）若212 1()nn nuu∞− =−∑收敛，则1n nu∞=∑收敛 【答案】应选（A） 【详解】1n nu∞=∑收敛，则对它的任意项加括号后所成的级数仍收敛，逆命题不一定正确，所以选（A） （4）设444 000lnsin,lncot,lncosIxdx Jxdx Kxdxπππ ===∫∫∫，则, ,I J K的大小关系是 （A）IJK的泊松分布，12,,,(2)nXXXn ≥L为来自正态总体的简单随机样本，则对应的统计量112 11111,1nniin iiTX TXXnnn−====+−∑∑满足（ ） （A）1212,ETET DTDT>> （B）1212,ETET DTDT> （D）1212,ETET DTDT，即( )f x在(3, 3)−上单调递增. 又4(3)0,( 3)2(3)0, lim( ), lim( )3xxfff xf xπ→−∞→+∞−==−>= +∞= −∞， 故在3x = −处有一个实根，在区间( 3,)+∞内有且仅有一个实根，在(,3)−∞ −和(3, 3)−内都没有实根. 综上所述，方程恰有两个实根. （19） （本题满分 10 分）( )f x在[0,1]内有连续的导数，(0)1f=，且 ()( ),ttDDfxy dxdyf t dxdy′+=∫∫∫∫其中{( , ) 0,0,}(01)tDx yxtyt xytt=≤≤≤≤+≤< ≤，求( )f x的表达式. 【详解】由题知 00002()()[ ( )( )]( )( )1( )( )2tttt xttDDfxy dxdydxfxy dyf tf x dxtf tf x dxf t dxdyt f t−′′+=+=−=−=∫∫∫∫∫∫∫∫所以有 201( )( )( )2ttf tf x dxt f t−=∫，得2( )(2)Cf tt=−（C为任意常数） 将(0)1f=代入，得4C=，所以24( )(2)f tt=−(20)（本小题满分 11 分）设向量组123(1,0,1)(0,1,1)(1,3,5)TTTααα===，，，不能由向量组123(1, ,1)(1,2,3)(1,3,5)TTTaβββ===，，线性表出. (1)求a的值. (2)将123βββ，，由123ααα，，线性表出. 【详解】 (1)易知123ααα，，线性无关， 由其不能被123βββ，，线性表出， 得到123βββ，， 线性相关，从而123()3rβββ<，，. 海天教育海天教育 第 8 页 共 11 页 数学教研室 由 1 1 11 1 1a 2 30 2 41 3 50 2-a 3-a⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠得1a=. (2) 由 1 0 1 1 1 11 0 1 1 1 1 0 1 3 1 2 30 1 3 1 2 3 1 1 5 1 3 50 1 4 0 2 41 0 1 1 1 11 0 0 2 1 0 1 3 1 2 3 0 0 1 -1 0 1⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞ ⎜⎟→→⎜⎟⎜⎟⎝⎠0 0 1 0 4 2 0 0 0 1 -1 0 1⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎝⎠得 ()()123123210420101βββααα⎛⎞ ⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠(21)（本小题满分 11 分）A 为三阶实对称矩阵，( )2r A=且1 11 10 0 0 0-1 1 1 1A−⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠. (1)求 A 的特征值与特征向量. (2)求矩阵 A. 【详解】(1)易知特征值-1 对应的特征向量为10-1⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎝⎠，特征值 1 对应的特征向量为101⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠.由( )2r A=知 A 的另一个特征值为 0.因为实对称矩阵不同特征值得特征向量正交，从而特征值 0 对应的特征向量为010⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠. (2)由 1110100110001010001 110000110A−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠得 海天教育海天教育 第 9 页 共 11 页 数学教研室 001000100A⎛⎞ ⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠（22） （本题满分 11 分）设随机变量X与Y的概率分布分别为 X0 1X1−01P 1 32 3P1 31 31 3且22()1P XY==. （Ⅰ）求二维随机变量(, )X Y的概率分布； （Ⅱ）求ZXY=的概率分布； （Ⅲ）求X与Y的相关系数XYρ. 【解析】 （Ⅰ）由于22()1P XY==，即 (0,0)(1,1)(1,1)1P XYP XYP XY==+== −+=== 则有 (1,0)(0,1)(0,1)0P XYP XYP XY===== −==== 1(0,0)(0)(1,0)3 1(1,1)(1)(0,1)3 1(1,1)(1)(0,1)3P XYP YP XYP XYP YP XYP XYP YP XY====−===== −== −−== −=====−===所以(, )X Y的概率分布为 X Y1−010 0 1 301 1 301 3（Ⅱ）易知随机变量Z的可能取值为1,0,1−，则有 海天教育海天教育 第 10 页 共 11 页 数学教研室 1(1)(1,1)3 1(1)(1,1)3 1(0)1(1)(1)3P ZP XYP ZP XYP ZP ZP Z====== −=== −=== −=−= −=故ZXY=的概率分布为 Z1−01P1 31 31 3（Ⅲ）由（Ⅰ）和（Ⅱ）知 11()( 1)1033 2 3 11( 1)1033E XYEZEXEY== −×+ ×=== −×+ ×=故有 (, )()0Cov X YE XYEXEY=−=，所以0XYρ= （ 23 ） （ 本 题 满 分 11 分 ） 二 维 随 机 变 量(, )X Y在G上 服 从 均 匀 分 布 ，G由0,xy−=2xy+=与0y =围成. （Ⅰ）求边缘密度( )Xfx； （Ⅱ）求()X Yfx y. 【解析】由题知二维随机变量(, )X Y的概率密度函数为 1,( , )( , )0,( , )x yGf x yx yG∈⎧=⎨∉⎩（Ⅰ）由边缘密度的定义知 当01x<≤时，有 0( )( , )xXfxf x y dydyx+∞−∞===∫∫当12x<<时，有 20( )2xXfxdyx−==−∫海天教育海天教育 第 11 页 共 11 页 数学教研室 所以 , 01 ( )2,120, Xxx fxxx<≤⎧ ⎪=−<<⎨ ⎪⎩其他（Ⅱ）同（Ⅰ）可得 当01y<<时，有 2( )( , )2(1)yYyfyf x y dxdxy+∞−−∞===−∫∫则有 2(1),01( )0, Yyyfy−<<⎧=⎨ ⎩其他所以 1,( , )( , )2(1)()( )0, ( , )X Y Yx yGf x yyfx yfyx yG⎧∈⎪−==⎨ ⎪∉⎩。