高等数学应用题(上).doc

高等数学应用题（上）1 1、、一个星级旅馆有 150 个客房，经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到一些 数据：若每间客房定价为 160 元，住房率为 55%；每间客房定价为 140 元， 住房率为 65%；每间客房定价为 120 元，住房率为 75%；每间客房定价为 100 元，住房率为 85%.欲使每天收入最高，每间客房定价应为多少？ 问题分析问题分析 易于看出，定价每降低 20 元，住房率便增加 10%，呈线性增长趋势； 1. 160 元的定价是否为最高价应给予确定； 2. 是否所有客房定价相同需要确定. 模型假设模型假设 3. 在无其他信息时，每间客房的最高定价均为 160 元； 4. 所有客房定价相同. 模型建立模型建立 根据假设 1.，如果设代表旅馆一天的总收入，而 表示与 160 元相比降低的房价，yx 则可得每降低 1 钱元的房价，住房率增加为 10%/20=0.005.由此便可以得到（1）)005. 055. 0)(160(150xxy注意到又得到于是得到所求的数学模型为：, 1005. 055. 0x,900 x，max)005. 055. 0)(160(150xxy.900 x模型求解模型求解这是一个二次函数的极值问题，利用导数方法易于得到为唯一驻点，]90, 0[25x问题又确实存在最大值，故（元）即为价格降低幅度，也即 160-25=135（元）应为25x 最大收入所对应的房价. 模型分析模型分析1. 将房价定在 135 元时，相应的住房率为最大收入为%,5 .6725005. 055. 0（元）.表面上住房率没有达到最高，但是总收入达75.13668%5 .67135150maxy到最大，这自然是住房率与价格相互制约造成. 2. 可以将五种定价的总收入求出以做比较（从略）和检验知我们的结果是正确的. 3. 为了便于管理，将价格定在 140 元/（天.间）也无妨，因为此时的总收入与最高收 入仅差 18.75 元. 4. 假如定价是 180 元，住房率应为 45%，其相应的收入只有 12150 元，由此可知，我 们的假设 1.是正确的.2、试作一些合理的假设，证明在起伏不平的地面上可以将一张正方形椅子放稳。

答：(一)假设：地面是一光滑曲面，方凳的四脚连线构成一正方形 如图建立坐标系：其中 A,B,C,D 代表方凳的四个脚,以正方形 ABCD 的中心为坐标系原点记 H 为脚 A,C 与地面距离之和，G 为脚 B,D 与地面距离之和， θ 为 AC 连线与 X 轴的夹角， 不妨设 H(0)>0 , G(0)=0,(为什么?) 令 f(θ) = H(θ) - G(θ) 则 f 是 θ 的连续函数,且 f(0)=H(0)>0 将方凳旋转 90°,则由对称性知 H(π/2)=0, G(π/2)=H(0) 从而 f(π/2)= -H(0) 0） ，已知汽锤击打桩三次后，可将桩打进地下 a 米根据 设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为 常数 r ( 0

（1）求汽锤第一次击打将桩打进地下的深度；（2）若 击打次数不限，问汽锤至多能将桩打进地下多深?设打桩 i 次后可将桩打进地下米，则由题可知， （3 分）ix030,xxa（5 分）1200(1)axkhdhrrkhdh 故类似地， （10 分）121ax rr  （15 分）11200(1)nxxnkhdhrrrkhdh L可得，（18 分）11 1nnrxxr所以，（20 分） 3*lim 1nnaxx r 全微分9、将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远 可以延伸多大距离 解 设砖块是均质的，长度与重量均为 1，其重心在中点 1/2 砖长处，现用归纳法推导 现设已用 n+1 块砖叠成可能达到的最远平衡状态，并考察自上而下的第 n 块砖，压在其上 的 n-1 块砖的重心显然在它的右边缘处，而上面 n 块砖的重心则位于第 n+1 块砖的右边缘 处，设两者水平距离为 Zn由力学知识可知第 n 块砖受到的两个力的力矩相等，即有：1/2-Zn=(n－1)Zn故 Zn =1/2n，从而上面 n 块砖向右推出的总距离为 ，令 n 趋于无穷11111 22nnn kkSkk大，因调和级数是发散的，故砖块向右可叠至任意远，这一结果多少有点出人意料。