“数学概念学习中的错误分析”之分析论文.doc

数学概念学习中的错误分析”之分析徐文彬（南京师范大学 教育科学学院，江苏 南京210097）摘要：对数学概念学习中的错谋作调查分析，不能仅仅局限于调杳所得的抽彖的具体数字 或数据，更要明确调查中所设计问题的论域，并结合具体的语境，对作为社会行动者的学生之 响应作出合情合理的分析与建议•关键词：论域；社会行动者；语境李善良先生在《数学概念学习中的错误分析》^一文中就其所概括•的数学概念学习过程中 的两种错误，即过程性鉛误和“合理性”错误进行了精细的建构主义分析，对我们正确理解、 防范并克服学生在学习数学概念的过程中有可能出现的各类错课具有原则性和策略性I'】的启发 作用但是，我们认为文［1］中所运用的儿个案例及其分析有值得进一步推敲的地方.下而我 们将仅从逻辑学、社会心理学和应用语言学等视角对具做进一步的分析.1. 逻辑学视角从逻辑学的视角來看，任何问题或提问都预设着该问题或提问所涉及到的范围，即论 域.所以，当问题或提问的设计者所预设的论域和问题的解决者（或回答者）所选择的论域不 —•致的时候，即使问题的解决者（或冋答者）在其所选择的论域范围内所做的解答是正确的， 也会被解答的分析者（以问题或提问设计者的预设为分析标准，而且分析者通常就是设计者） 视为“错误”・我们认为，为避免出现这类“合理性”错误，问题（或提问）设计者应该明示 其隐藏的预设.如果明确给出问题（或提问）所涉及到的论域，那么文［1］所得到的调查结果 及其分析就有可能是另外一冋事.当然，这需耍作更进一步的调查与分析.例1 “对于方程x2+2x+3=0，许多大学生认为没有根.”分析 从这一结果为分析我们可以看出：问题设计者为结果分析者所预设的x的収值范围 显然是复数域C,而这些“认为没有根”的人学生所选择的x的取值范|韦］则应该是实数域 R.我们认为，这正是造成这一所谓“合理性”错误的真正原因所在，而不是什么“认知的惯 性”等其他因素.试想如果我们的问题是“在复数范围内求方程x24-2x+3=0的根”，那么又会 有儿个（数学专业）大学生会认为这个方程没有根呢？或者，如果问题是"在实数范围内求方 程x2+2x+3=0的根”，那么这些“认为没有根”的大学生就是正确的，因而也就根木没有犯什 么所谓“合理性”错误.例 2 “ 已知：x2+y2=0,求 x、y. ”分析 从问题的设计者和结果的分析者所作的分析（具体分析可参见文［1］）,我们能够 看出：他们所预设的论域仍然是复数域C,而“得x二y=0”的那些（大）学生们所选择的论域 也没有变，还是实数域R.如果我们把问题改编成“在实数或复数范围内，x2+y2=0,试求 X、y Z间的关系.”那么，如果是前者，则那些“得X二y=（）”的学生就没有错，而如果是后 者，则那些“得x=y=O"的学生数量至少会降低.行文至此，可能直的读者会提出如下的疑问：如果明确了问题或提问所涉及到对象的范 I韦I，那么势必会降低问题或提问的难度，体现不出对学生的考察之功能？对此，我们的观点 是：如果问题或提问的设计者和结果的分析者想要以其所预设的论域为评判学生“解答”的 “惟-”标准，那么，他们就必须在问题或提问中明示其所预设的论域.否则，在考察者和被 考察者之间就建立不起真正公正的“评判关系”，因而评判也就起不到它所预期的考察之功 效.例如，如果我们的问题是：“1 + 1 =? ”，那么，请问：被提问者（可以是数学专业的 大学生或者计算机专业的大学生）如何解答呢？在此，我有意没有明示问题所涉及到的论 域.你能说“1 + 1=2”正确而"1 + 1 =10”错误，或者相反吗？其实，即使是“1 + 1 =2”，仅仅凭借这一点，我们也无法断定回答者是在何种记数制下所作的思考（十进制仅仅 是其中的一种町能，而二进制也仅仅是其中的另一种可能）.2、社会心理学视角从社会心理学的视角来看，当学生“遭遇”要其回答的“问题”时，他或她总是要采取某 种“行为”以作为响应•而这时的学生显然就是一个生物行动者（秉承着其生物存在）、文化 行为者（秉承着其文化存在）和社会能动者（秉承着其社会存在）三位一体的社会行动者.E 此 对作为社会行动者的学生所作出的“行为”响应（针对他或她所“遭遇”的问题）所作的 任何单一因素的分析都不可能给出其合理的解释及预测门］.而文［1］对其所选择的学生“行 为”响应所作的分析，町以说主耍是抽象而非具体的（数学）“社会——文化”分析.例3 “六年级学生对于小数、分数概念已经熟悉，各种运算非常熟练.然而在判断'2 个数的积与这2个数的差（0除外），在任何情况下都不会相等'时（300人），只有41人 （14%）给出正确答案.经过访谈分析，出错的原因是他们的思维都限制在自然数中.”分析 显然，问题“ 2个数的积与这2个数的差（0除外），在任何情况下都不会相等” 中仍然存在着论域不明的问题.我们可以设想：如果在问题中明示“数的范围”，那么，尽管 町能不会彻底根除这类出错现象，但是正确率肯泄会人人提高.此外，上述分析还隐含着这样一个“社会一一文化”预设：如果我们熟悉了某个更大（因 而也更加抽彖）的某类对彖（比如“数”）的范围，并对其中的关系（比如“数的运算”）非 常熟练，那么，当我们“遭遇”与此对彖冇关的论域不明的问题时，就应该选择这个更大的范 I韦1来解决问题.而这个假设是经不住细究的.例如，当我们请人学数学教师冋答“方程2 X2 + 3 X= 0有什么解？ ”这一问题时，我们能希望他们有怎样的回答呢？由于没有明确X的“収 值”范围，因而可能的答案就肓可能显得五花八门.因为X的“取值”范围既可以是各类数 集，也可以是矩阵集合，还可以是函数集合，等等.显然，我们不能说他们对其小的某一个更 大的范围不熟悉或不熟练.那么，影响这些大学数学教师在如此众多的选择中做出某种选择的 因素冇哪些呢？影响因素冇很多，但概括起来就是他或她“遭遇”该问题时所处的具体悄景， 涉及到他或她作为社会行动者的生物存在、文化存在和社会存在Z三重丿力史或三位一体.例4 “例如：一a是负数，实质上是在新数集中研究，但他们乂不自觉地将a限制到正 数范I韦1. ”分析 与例3类似.那些认为“一a是负数”的初中生只是在其“遭遇”问题“一a表示 什么数？ ”时选择了 "正数作为a的取值范围”而已.至于他们为什么会作出这样的选择道是 值得做进一步的具体分析.抛开具体情景不说，我们可以给出如下的猜测：如果我们在问题中 明示a的取值范围为“有理数”或“实数”，那么，认为“一a是负数”的学生是否还会有这 么多呢？而把认为“一a是负数”的原因仅仅归结为“他们乂不自觉地将a限制到正数范围” 是否显得有些过于简单化？是否掩盖了作为社会行动者的学生行为的复杂性？因为“任何具体 的社会情景中的社会行为，必须依据社会行为的三重历史或者三位一体的社会行动者，才能给 出合理的解释及预测.” m3、应用语言学视角从应用语言学的视角来看，对于一个概念或语词的学习耳理解总是在这个概念或语词的具 体使用中进行的.所以，如果离开了具体语境或与境（context）,那么一个概念或语词就仅仅 是一个符号而已，“而任何符号都不存在垠终的意义，也不存在只能作单一解释的文木，不存 在任何优于其他解释的解释.”①所以，它的“含义”也就有了无穷多种可能.否则，我们就 冇可能仅仅通过查阅字典或词典来学习语言和文化，或者通过翻阅科学手册或技术手册来学习 科学与技术了.例5 “对问题'代数式A. -a2； B. （2a+b2） /3； C. a2+l/b： D.（）中，不是整式的 是'的回答为（共 96 人）A： 2%, B： 25%, C： 38%, D： 35%. ”分析 文［1］认为，“这个结果表明，学生对整式概念的理解是借助于'形象描述’进行 的，并没有把握其本质属性.”姑且不论这一分析结果的正确性与否，从文［1］对其所作的进 一步分析中我们还是可以知道，作者的问题可能是：“在上述代数式中，不是'关于字母a或 b的'整式的是”.由于抽掉了 '关于字母a或b的'这一关键词，于是便产生了如下的疑为什么不能把“X+l/b”看作是整式（关于字母a与“1/b”的）呢？可能有的读者会认为 这是在狡辩.但是，请不耍忘记：在学生们后续的数学学习过程中，我们却要着力培养或发展 他们的（代数）变换思维与能力——把像“1/b” 一样的字母组合视为一个整体、一个变量、一 个字母，甚至把已知与未知的关系颠倒过來：而且，在某些具体问题情景中，只有通过这样的 转换才能解决问题.因此，在这种抽象的具体语境中，我们就根本无法乞求对同样是抽象的具 体数字做出唯一且合理的解释.此外，上述分析也表明，过分的“精确”之追求很可能会导致对数学的“纯形式”理解， 即，尽管数学是关于“形式”的一门学科，但是，如果我们仅仅拘泥于数学的形式，将无法理 解其形式背后的实质——这正是数学教育界反对“形式化”的真正根源Z—.与此同时，代数式“a'+l/b”中显然隐含着"bHO”，但是文［1］却同时认为“形如 ax2+bx+c=0的方程是一元二次方程”是学生在进行概括时发生了 “遗漏”“即所概括的只是 （一元二次方程）概念的部分本质特征.”真是令人匪夷所思.例6 “例如同样把2x2+3y+l=0和nix2+3x+l=()视为一元二次方程的2个错误，尽管都是 属于泄义理解的不正确，但错误性质并不一样.”分析 上述结论中明显存在若如卜的会话隐含(conversational implicaturc ) : 2x2+3y+1 =0 是二元(二次)方程，而mx2+3x+l=O当mHO时是一元二次方程.但是，正如我们对例5所作 的分析一样，这样的隐含也是值得推敲的.因为，单就这两个方程而言(只有抽象的具体与 境)，我们可以给出其多种“正确的”解释.比如，“mx2+3x+l=0” (当xHO时)是关于 (未知数)m的一元一次方程，“2x2+3y+l=0”是关于x的一元二次方程、是关于y的一元一 次方程，等等.由此口J见，我们不能简单地把“把2x2+3y+l= 0和nix2+3x+l=0视为一元二次方 程”视为两个“过程性错误”甚至“错误”.因此，当我们利用调查问卷等方式來研究数学(概念)学习的时候，就至少耍结合上述三 个方面来对调杳或研究结果加以具体分析与讨论.而要获得“简单、明确、一致”的结论，就 必须事先明确调查或研究问题的论域、与境及其和作为社会行动者的学习者之间的适切性，并 做事后的检验与修订.只有这样才有可能获得科学、合理的结论为建议.参考文献：[1] 李善良・数学概念学习中的错误分析[J].数学教育学报，2002, 11 (3) : 6-11.[2] 李善良.现代认知观下的数学概念学习与教学理论研究[D].南京：南京师范大学， 2002, 140—141, 146—162.[3] 方文.社会行动者[M].北京：中国社会科学出版社,2002. 14.[4] 方文.社会行动者[M].北京:中国社会科学出版社,2002. 180.[5] [美]彼德・洛温伯格.粘神分析学说与后现代主义[J].史学理论研究，2002 ( 4).转 引自《新华文摘》2003年第4期第160页.Analysis on uAnalysis on the Errors in Mathematics Concept Learning''Xu Wen-bin(Educational Science Institute of Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210097, China)Abstract: When making an investigation of and an analysis on errors in mathematics concept learning, we should not o。