9-7 方向导数与梯度1.docx

第7节方向导数与梯度教学目的：掌握方向导数的定义和求法；掌握梯度的定义、求法及其与等高线的关系教学重点：方向导数与梯度的求法教学难点：方向角的确定教学方法：讲授为主，互动为辅教学课时：2教学内容：一、方向导数现在我们来讨论函数z=f(x,y)在一点P沿某一方向的变化率问题设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某一邻域U(p)内有定义•自点P弓I射线l设x轴正向到射线l的转角为*(逆时针方向：*>0;顺时针方向：*<0),并设P'(x+△x,y+△y)为l上的另一点且P'匕U(p)我们考虑函数的增量f(x+△x,y+△y)—f(x,y)与P、Pz两点间的距离p=,：'(Ax)2+(Ay)2的比值•当P'沿着l趋于P时，如果这个比的极限存在，则称这极限为函数f(x,y)在点P沿方向l的方向导数，记作f，即(1)f(x+Ax,y+Ay)—f(x,y)p从定乂可知，当函数f(x,y)在点P(x,y)的偏导数f、f存在时，函数在点P沿着xyx轴正向e=h,｝,y轴正向e2=｛o,l｝的方向导数存在且其值依次为f、f,函数xyf(x,y)在点P沿x轴负向el'=｛—1,0｝，y轴负向e2'=｛0,—1｝的方向导数也存在且其值依次为-fx、-fy。

xy关于方向导数"的存在及计算，我们有下面的定理al定理如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)是可微分的，那末函数在该点沿任一方向的方向导数都存在，且有afafaf=co*+sin*,(2)alaxay其中9为x轴到方向l的转角证根据函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分的假定，函数的增量可以表达为f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)=生Ax+空+p).axay两边各除以p,得到f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)=f•乂+f•乂+afaf.p)=cosp+sinp+—lim所以afaf.=cosp+sinp.f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)这就afalafaf.cos9+sin9.axay例1求函数z=xe2y在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,-1)方向的方向导数解这里方向l即向量PQ=h,-1｝的方向，因此x轴到方向l的转角9=-4因为azaz=e2y,=2xe2y,axay在点(1,0)azax=1空==1,=ay2.故所求方向导数dz例2=1•cos-—)+2sin-—)=ai44设由原点到点(x,y)的向径为r,x轴到r的转角为9，x轴到射线l的转角为9，ar求竺，其中alr|=\x2+y2(r丰0).解因为乞二：x=-=CO0,°x*x2+y2r°ryy===s11B・°yv'x2+y2r°r所以=co0cosp+sin0sin9=cos(6-9).°l由例2可知，当9=0时，°r=1,,即r沿着向径本身方向的方向导数为1；而当°l9=6+—时，°r=0,即r沿着与向径垂直方向的方向导数为零。

2°l对于三元函数u=f(x,y,z)来说，它在空间一点P(x,y,z)沿着方向l(设方向l的方向角为(a、队丫)的方向导数，同样可以定义为°f°llimPt0f(X+Ax,y+Ay,z+Az)—f(x,y,z)P(3)其中p=(Ax)2+(Ay)2+(Az)2，△x=pcosa,△y=pcosB,△z=pcosY同样可以证明，如果函数在所考虑的点处可微分，那末函数在该点沿着方向l的方向导数为°l°xcosa+cosB+°fcoy.°z(4)二、梯度与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度.在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点(x,y)eD,都可定出一个向量°f.°f.i+j,°x°y这向量称为函数z=(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y)，即gradf(x,y)=fi+fj,°x°y如果设e=cos9i+sin9j是与方向l同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式可知cos9+—sin9=

由此可以看出，就是梯度在射线l上的投影，当方向l与梯度的方向一致时，有cos(gradf(x,y)，e)=1，从而空有最大值.所以沿梯度方向的方向导数达到最大值，也就是说，梯度的方向是函数aif(x,y)在这点增长最快的方向•因此，我们可以得到如下结论：函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值.gradfx,y)|由梯度的定义可知，梯度的模为当f不为零时，那末x轴到梯度的转角的正切为axaytan0=.afax我们知道，一般说来二元函数z=f(x,y)在几何上表示一个曲面，这曲面被平面z=c(c是常数)所截得的曲线l的方程为-z=f(x,y),Vz=c.这条曲线l在xOy面上的投影是一条平面曲线L*(图8—10),它在xOy平面直角坐标系中的方程为f(x,y)=c.对于曲线L*上的一切点，已给函数的函数值都是c，所以我们称平面曲线L*为函数z=f(x,y)的等咼线.由于等咼线f(x,y)=c上任一点(x,y)处的法线的斜率为1dx所以梯度dxyi+j为等咼线上点P处的法向量，因此我们可得到梯度与等咼线的下述关系：函数z=f(x)在点P(x,y)的梯度的方向与过点P的等高线f(x,y)=c在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线(图8—10),而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数。

这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向上面所说的梯度概念可以类似地推广到三元函数的情形设函数u=f(x,y,z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y,z)eG,都可定出一个向量k,这向量称为函数u=f(x,y,z)在点P(x,y,z)的梯度，将它记作gradf(x,y,z)，即gradfx,y,z)=i+/+k.dxdydz经过与二元函数的情形完全类似的讨论可知，三元函数的梯度也是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值如果我们引进曲面f(x,y,z)=c为函数u=f(x,y,z)的等量面的概念，则可得函数u=f(x,y,z)在点P(x,y,z)的梯度的方向与过点的等量面f(x,y,z)=c在这点的法线的一个方向相同，切从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数例3求grad.x2+y2解这里因为df2xdf2ydx(x2+y2)2dy(x2+y2)2所以12x2ygrad=-i-j.x2+y2(x2+y2)2(x2+y2)2例4设f(x,y,z)=x2+y2+z2，求gradf(1,-1,2)。

解gradf=0,f,fL{2x,2y,2zxyz于是gradfl,-1,2}=(2,-2,4)下面我们简单地介绍数量场与向量场的概念如果对于空间区域G内的任一点M,都有一个确定的数量f(M),则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场)等一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定如果与点M相对应的是一个向量(M)，则称在这空间区域G内确定了一个向量场(例如力场，速度场等)一个向量场可用一个向量函数F(M)来确定，而F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k,其中P(M),Q(M),R(M)是点M的数量函数利用场的概念，我们可以说向量函数gradf(M)确定了一个向量场一一梯度场，它是由数量场f(M)产生的.通常称函数f(M)为这个向量场的势.而这个向量场又称为势场.必须注意，任意一个向量场不一定是势场，因为它不一定是某个数量函数的梯度场例5试求数量场m所产生的梯度场，其中常数m>0,r=、、；x2+y2+z2为原点Or与点M(x,y,z)间的距离mxr3同理a'm'mya'm'dyIr丿r35azIr丿myr3grar从而如果用r0表示与OM同方向的单位向量，则x.y.zr。

—i+j+—k,rrr因此mmgrad=-rrr2上式右端在力学上可解释为，位于原点O而质量为m的质点对位于点M而质量为1的质点的引力.这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比，而与它们的距离平方成反比，这引力的方向由点M指向原点•因此数量场巴的势场即梯度场grad—称为引力场，而函数rr—称为引力势r小结：本节主要研究函数z=f（x，y）在一点p沿某一方向的变化率问题，给出方向导数的定义及其相关的梯度的定义，推导出方向导数和梯度的求法，并通过梯度的意义介绍了等高线、等量面、数量场与向量场等概念作业：P]08习题9-73、4、8.。