不定积分典型例题PPT课件.ppt

一、不定积分的基本公式一、不定积分的基本公式一、不定积分的基本公式一、不定积分的基本公式不定不定不定不定积积分分分分二、不定积分的基本运算法则二、不定积分的基本运算法则二、不定积分的基本运算法则二、不定积分的基本运算法则三、直接积分法三、直接积分法三、直接积分法三、直接积分法四、经典例题四、经典例题四、经典例题四、经典例题不定积分基本公式表不定积分基本公式表当当 x < 0 时，时，所以所以当当 x > 0 时，时，所以所以综合以上两种情况，当综合以上两种情况，当 x   0 时，得时，得例例 1　　求不定积分求不定积分解解例例 2　　求不定积分求不定积分.　　　　解解　　先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基本积分公式，本积分公式，( (1) )( (2) )得得例例 3　　求不定积分求不定积分解解　　　　法则法则 1　　两个函数的代数和的不定积分等于这两个函数的代数和的不定积分等于这两个函数不定积分的代数和两个函数不定积分的代数和，，即即二、不定积分的基本运算法则二、不定积分的基本运算法则二、不定积分的基本运算法则二、不定积分的基本运算法则法则法则1 可推广到有限多个函数代数和的情况，可推广到有限多个函数代数和的情况，即即　　　　　　 根据不定积分定义，只须验证上式右端的根据不定积分定义，只须验证上式右端的导数等于左端的被积函数导数等于左端的被积函数.证证　　　法则　法则 2　　被积函数中的不为零的常数因子可以被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号前面提到积分号前面，，( (k 为不等于零的常数为不等于零的常数) )证证　　类似性质类似性质 1 的证法，的证法，有有即即例例 4　　求不定积分求不定积分 但是由于但是由于 任意常数之和还是任意常数，任意常数之和还是任意常数，其中每一项虽然都应有一个积分常数，其中每一项虽然都应有一个积分常数，解解 所所以以只只需需在在最最后后写出一个积分常数写出一个积分常数 C 即可即可. 求积分时，如果直接用求积分的两个运算法求积分时，如果直接用求积分的两个运算法则和基本公式就能求出结果，则和基本公式就能求出结果，三、直接积分法三、直接积分法三、直接积分法三、直接积分法 或对被积函数进行或对被积函数进行简单的恒等变形简单的恒等变形 (包括代数和三角的恒等变形包括代数和三角的恒等变形) ，， 在用求不定积分的两个运算法则及基本公式就能在用求不定积分的两个运算法则及基本公式就能求出结果，求出结果， 这种求不定积分的方法成为这种求不定积分的方法成为直接积分直接积分法法．．例例 5　　求求解解例例 6　　求求解解例例 ７７　　求求解解例例 9　　求求解解例例 10　　求求解解　例　例 11 已知物体以速度已知物体以速度 v = 2= 2t2+1 (m/s)作直线运动，作直线运动，当当 t=1 s 时时, 物体经过的路程为物体经过的路程为3m, 求物体的运动规律求物体的运动规律.　　　　解解　　设所求的运动规律设所求的运动规律 s = s(t)，，按题意有按题意有积分得积分得将条件将条件 s|t=1 = 3，，代入上式中，得代入上式中，得 于是物体的运动规律为于是物体的运动规律为 常用微分公式常用微分公式例例 1　　求求解解例例2.　求解解:例例3.　求解解:例例4.　求f (x)=x2+1, x<0.解解:F(x)=而要使F(x)成为f (x)在R上的原函数，必须F(x)连续，从而C1＝0，C2＝1，因此满足条件的函数为F(x)=故例例5．．例例6．．例例7．．例例8．． 解：解：因为总成本是总成本变化率y的原函数，所以 已知当 x=0 时，y=1000， 例例9．．某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成成本为1000元，求总成本与日产量的函数关系。

因此有 C =1000，作业：作业： P137：5 (2)（5) (10) (15).例例2.解：解：观察中间变量u=x2+1但 u=x2+1的导数为u = 2x在被积函数中添加2个因子u因此例例3.解解:uuduu=(x)例例4.解：解：能想出原函数的形式吗？记得这个公式吗？如何用这个公式？例例5.　求解：解：例例6解：解：例例7 7 求求解解例例8 8 求求解解熟练以后就不需要进行熟练以后就不需要进行转化了转化了例例9 9 求求解解例例11 11 求求解解正弦余弦三角函数积分偶次幂降幂正弦余弦三角函数积分偶次幂降幂,齐次幂拆开齐次幂拆开放在微分号放在微分号 解解例例1212 求求例例13 13 求求例例1414 求求解解例例1515 求求解解说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.例例1616 求求解解利用积化和差公式，得利用积化和差公式，得解解类似地可推出类似地可推出例例1717 求求[解解]ò ò+ +xxdx1例例1818[解解]dxxxò ò- -4cos42sin]19[例例[解解]dxxxxò ò+ + ln12ln]21[例例[解解]dxxexxxò ò+ ++ +)1()1(]22[例例例1解例例2 2 求求解解例例3 3 求求解解 令令注注 三角代换的目的是化掉根式三角代换的目的是化掉根式.例4解例例1 1 求求解解令令考虑到被积函数中的根号是困难所在，故考虑到被积函数中的根号是困难所在，故例2解例3解例4解例5解配方3.3.倒数代换倒数代换例例1 1 求求令令解解例例2 2 求求解解令令分母的次幂太高分母的次幂太高例3解例4解例例1 1 求积分求积分解解由万能公式由万能公式例例3 3 求积分求积分解（一）解（一）解（二）解（二）变形万能公式变形万能公式,令令解（三）解（三） 不用万能公式不用万能公式.结论结论 万能代换不一定是最佳方法万能代换不一定是最佳方法, 故三角有故三角有理式的计算中先考虑其它手段理式的计算中先考虑其它手段, 不得已不得已才用万能置换才用万能置换.例例4 4 求积分求积分解解例5解例6解例7解利用恒等变换5 5 双曲代换双曲代换积分中为了化掉根式还可用双曲代换积分中为了化掉根式还可用双曲代换. 令令例例3 3 求积分求积分解解例例4 4 求积分求积分解解 若被积函数是幂函数和对数函数的乘若被积函数是幂函数和对数函数的乘积，就考虑设对数函数为积，就考虑设对数函数为 .例例5 5 求积分求积分解解令令 若被积函数是幂函数和反三角函数的乘若被积函数是幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设反三角函数为积，就考虑设反三角函数为u.例例6 6 求积分求积分解解例例7 7 求积分求积分解解复原法复原法(回归法回归法,循环法循环法)!例例7’7’解解消去消去(超越函数超越函数)法法!例8解递推关系可以由低次幂函数的积分计算出高次幂函数的积分. 例9解例例1010 求积分求积分解解用分部积分法，当用分部积分法，当积分过程常要兼用换元法与分部积分法。

积分过程常要兼用换元法与分部积分法例例1111 求积分求积分解解[解解]解解两边同时对两边同时对 求导求导, 得得连用分部积分法解：同理可求不定积分例14.[解解]例16解例17解则则记记把真分式化为部分分式之和，再把上面的待定的把真分式化为部分分式之和，再把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系数法常数确定，这种方法叫待定系数法例例1 1通分比较分子：通分比较分子：代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数取取取取取取并将并将 值代入值代入例例2 2例例4 4 求积分求积分 解解例例6 6 求积分求积分解解令令例例1010 求积分求积分解解 令令例例1111 求积分求积分解解 令令说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时, 取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.例例1例例2三、其他典型例题解：解：解：解：（分子是分母的导数）（分子是分母的导数） 凑导数法凑导数法!!例例3解：方法解：方法1例例4例例5ux = =sin令令被积函数为余弦的被积函数为余弦的奇函数奇函数,采用正弦采用正弦换元换元方法方法2本例也可以直接采用凑微分的方法本例也可以直接采用凑微分的方法例例7例例8例例9 9解解例例1010解解例例1111解解凑导数法凑导数法!!例例1212解解(倒代换倒代换,尽管可采用割换尽管可采用割换)例例1414解解例例1515解解凑整法凑整法例例1616解解例例1818解解例例1919解解例20解凑导数法凑导数法, ,双曲函数双曲函数例21解例22解例23解。