复变函数的积分7课件.ppt

第3章 复变函数的积分 复复复复变变变变函函函函数数数数积积积积分分分分理理理理论论论论是是是是复复复复变变变变函函函函数数数数的的的的核核核核心心心心内内内内容容容容，，，，关关关关于于于于复复复复变变变变函函函函数数数数的的的的许许许许多多多多结结结结论论论论都都都都是是是是通通通通过过过过积积积积分分分分来来来来讨讨讨讨论论论论的的的的，，，，更更更更重重重重要要要要的的的的是是是是我我我我们们们们要要要要讨讨讨讨论论论论解解解解析析析析函函函函数数数数积积积积分分分分的的的的性性性性质质质质，，，，并并并并给给给给出出出出解解解解析析析析函函函函数数数数积积积积分分分分的的的的基基基基本本本本定定定定理理理理与与与与基基基基本本本本公公公公式式式式，，，，这这这这些些些些性性性性质质质质是是是是解解解解析析析析函函函函数数数数理理理理论论论论的的的的基基基基础础础础，，，，我我我我们们们们还还还还将将将将得得得得到到到到解解解解析析析析函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论。

 3.1: 复变函数的积分复变函数的积分 3.2: 柯西柯西-(古萨古萨)积分定理积分定理3.3: 复合闭路定理复合闭路定理3.4: 科西积分公式科西积分公式3.5: 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数3.6: 几个重要的定理几个重要的定理3.7: 解析函数与调和函数解析函数与调和函数本章补充新题型本章补充新题型本章小节本章小节本章测试题本章测试题本章基本内容:重点内容: (1) 柯西积分定理柯西积分定理(单、复连通区域单、复连通区域); (4) 调和函数的应用调和函数的应用； (2) 柯西积分公式柯西积分公式(单、复连通单、复连通,无界区无界区域域); (3) 高阶导数公式及其应用高阶导数公式及其应用;3.1 复变函数的积分3.1.1 3.1.1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念复变函数积分的概念复变函数积分的概念 在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的：向是这样规定的：向是这样规定的：向是这样规定的：定义定义定义定义3.1.1 3.1.1 3.1.1 3.1.1 有向曲线有向曲线有向曲线有向曲线 在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的：是这样规定的：是这样规定的：是这样规定的： (1) (1) 如果曲线如果曲线如果曲线如果曲线 是开口弧段，若规定它的端点是开口弧段，若规定它的端点是开口弧段，若规定它的端点是开口弧段，若规定它的端点 为起点，为起点，为起点，为起点， 为终点，则沿曲线为终点，则沿曲线为终点，则沿曲线为终点，则沿曲线 从从从从 到到到到 的方向的方向的方向的方向为曲线为曲线为曲线为曲线 的正方向（简称正向），把正向曲线记的正方向（简称正向），把正向曲线记的正方向（简称正向），把正向曲线记的正方向（简称正向），把正向曲线记为为为为 或或或或 . . 而由而由而由而由 到到到到 的方向称为的负方向的方向称为的负方向的方向称为的负方向的方向称为的负方向（简称负向），负向曲线记为（简称负向），负向曲线记为（简称负向），负向曲线记为（简称负向），负向曲线记为 . .(2) (2) 如果如果如果如果 是简单闭曲线，通常总规定逆时针方是简单闭曲线，通常总规定逆时针方是简单闭曲线，通常总规定逆时针方是简单闭曲线，通常总规定逆时针方向为正方向，顺时针方向为负方向．向为正方向，顺时针方向为负方向．向为正方向，顺时针方向为负方向．向为正方向，顺时针方向为负方向．(3) (3) 如果如果如果如果 是复平面上某一个复连通域的边界曲是复平面上某一个复连通域的边界曲是复平面上某一个复连通域的边界曲是复平面上某一个复连通域的边界曲线，则线，则线，则线，则 的正方向这样规定：当人沿曲线的正方向这样规定：当人沿曲线的正方向这样规定：当人沿曲线的正方向这样规定：当人沿曲线 行行行行走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界部分取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针部分取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针部分取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针部分取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针为正方向．为正方向．为正方向．为正方向． 定义定义定义定义3.1.2 3.1.2 复变函数的积分复变函数的积分复变函数的积分复变函数的积分 设函数设函数设函数设函数 在给定的光滑在给定的光滑在给定的光滑在给定的光滑或逐段光滑曲线或逐段光滑曲线或逐段光滑曲线或逐段光滑曲线 上有定义，且上有定义，且上有定义，且上有定义，且 是以是以是以是以 为起点，为起点，为起点，为起点， 为终点的一条有向曲线，如图为终点的一条有向曲线，如图为终点的一条有向曲线，如图为终点的一条有向曲线，如图3.13.1所示．把所示．把所示．把所示．把 曲线曲线曲线曲线任意分成任意分成任意分成任意分成n n个小弧段，设分点依次为个小弧段，设分点依次为个小弧段，设分点依次为个小弧段，设分点依次为 , ,在某小弧段在某小弧段在某小弧段在某小弧段 上任意取一点上任意取一点上任意取一点上任意取一点 ，并作和，并作和，并作和，并作和 其中其中其中其中 ，记，记，记，记 的最大长度为的最大长度为的最大长度为的最大长度为 则当则当则当则当n n无限增大，且无限增大，且无限增大，且无限增大，且 时，时，时，时，如果无论对如果无论对如果无论对如果无论对L L的分法及的分法及的分法及的分法及 的取法如何，都有惟的取法如何，都有惟的取法如何，都有惟的取法如何，都有惟一的极限存在，那么称这个极限值为函数沿曲线一的极限存在，那么称这个极限值为函数沿曲线一的极限存在，那么称这个极限值为函数沿曲线一的极限存在，那么称这个极限值为函数沿曲线L L的积分，记作的积分，记作的积分，记作的积分，记作 ，即，即，即，即 我们称之为我们称之为我们称之为我们称之为复变函数的积分复变函数的积分复变函数的积分复变函数的积分，简称，简称，简称，简称复积分复积分复积分复积分．．．．  定义定义定义定义3.1.3 3.1.3 闭合环路积分闭合环路积分闭合环路积分闭合环路积分 当当L L为封闭曲线时，那么沿为封闭曲线时，那么沿L L的积分为，的积分为， 并称为复变函数并称为复变函数 的的闭合环路积分（简称环路闭合环路积分（简称环路闭合环路积分（简称环路闭合环路积分（简称环路积分）积分）积分）积分）. . 为了方便，我们还可以在积分中标出环为了方便，我们还可以在积分中标出环路积分的方向路积分的方向, , 若沿逆时针方向积分，可用环路若沿逆时针方向积分，可用环路积分积分 表示表示. . 若沿顺时针方向积分，可用若沿顺时针方向积分，可用 表示表示. . 由此可知，当由此可知，当由此可知，当由此可知，当 ，且小弧段长度的最大值，且小弧段长度的最大值，且小弧段长度的最大值，且小弧段长度的最大值 时，不论对时，不论对时，不论对时，不论对L L的分法如何，点的分法如何，点的分法如何，点的分法如何，点 的取法如何，只要上式的取法如何，只要上式的取法如何，只要上式的取法如何，只要上式右端的两个和式极限存在，那么左端的和式极限也存在，右端的两个和式极限存在，那么左端的和式极限也存在，右端的两个和式极限存在，那么左端的和式极限也存在，右端的两个和式极限存在，那么左端的和式极限也存在，由于由于由于由于 连续，则连续，则连续，则连续，则 都是连续函数，根据曲线积都是连续函数，根据曲线积都是连续函数，根据曲线积都是连续函数，根据曲线积分存在的充分条件，以及曲线积分的定义得到分存在的充分条件，以及曲线积分的定义得到分存在的充分条件，以及曲线积分的定义得到分存在的充分条件，以及曲线积分的定义得到 (3.1.3)(3.1.3) 即我们可以把复积分即我们可以把复积分即我们可以把复积分即我们可以把复积分 的计算化为两个的计算化为两个的计算化为两个的计算化为两个二元实变函数的曲线积分．为便于记忆公式，可二元实变函数的曲线积分．为便于记忆公式，可二元实变函数的曲线积分．为便于记忆公式，可二元实变函数的曲线积分．为便于记忆公式，可把把把把 理解为理解为理解为理解为 ，则，则，则，则 上式说明了两个问题：上式说明了两个问题：上式说明了两个问题：上式说明了两个问题： (1) (1) 当当当当 是连续函数，且是连续函数，且是连续函数，且是连续函数，且L L是光滑曲线时，积是光滑曲线时，积是光滑曲线时，积是光滑曲线时，积分分分分 一定存在；一定存在；一定存在；一定存在； (2) (2) 可以通过两个二元实变函数的线可以通过两个二元实变函数的线可以通过两个二元实变函数的线可以通过两个二元实变函数的线积分来计算积分来计算积分来计算积分来计算. .3.1.3 复积分的基本性质 (1) (1)若若若若 沿沿沿沿 可积，且可积，且可积，且可积，且 由由由由 和和和和 连接而成，则连接而成，则连接而成，则连接而成，则 （（（（3.1.63.1.6）））） (2) (2) 常数因子常数因子常数因子常数因子 可以提到积分号外，即可以提到积分号外，即可以提到积分号外，即可以提到积分号外，即 （（（（3.1.73.1.7）））） (3) (3) 函函函函数数数数和和和和（（（（差差差差））））的的的的积积积积分分分分等等等等于于于于各各各各函函函函数数数数积积积积分分分分的的的的和和和和（（（（差差差差）））），，，，即即即即 (4)(4)若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号，即若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号，即若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号，即若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号，即 （（（（3.1.93.1.9）））） 为为为为 的负向曲线．的负向曲线．的负向曲线．的负向曲线．(5)(5)积分的模不大于被积表达式模的积分，即积分的模不大于被积表达式模的积分，即积分的模不大于被积表达式模的积分，即积分的模不大于被积表达式模的积分，即 (3.1.10) (3.1.10) 这里这里这里这里 表示弧长的微分，即表示弧长的微分，即表示弧长的微分，即表示弧长的微分，即 【证明】【证明】【证明】【证明】 因为因为因为因为 ，，，，其中其中其中其中 分别表示曲线分别表示曲线分别表示曲线分别表示曲线 上弧段上弧段上弧段上弧段 对应的弦对应的弦对应的弦对应的弦长和弧长，两边取极限就得到长和弧长，两边取极限就得到长和弧长，两边取极限就得到长和弧长，两边取极限就得到（（（（6 6）积分估值定理）积分估值定理）积分估值定理）积分估值定理 若沿曲线若沿曲线若沿曲线若沿曲线 ，，，， 连续，且连续，且连续，且连续，且 在在在在 上满足上满足上满足上满足 ，则，则，则，则 (3.1.11) (3.1.11)其中其中其中其中 为曲线为曲线为曲线为曲线 的长度．的长度．的长度．的长度．【证明】【证明】【证明】【证明】 由于由于由于由于 在在在在 上恒有上恒有上恒有上恒有 ，，，，所以所以所以所以又又又又 ，则，则，则，则 成立。

成立3.1.4 复积分的计算典型实例复积分的计算典型实例 公式（公式（公式（公式（3.1.23.1.2）提供了一种复积分的计算方法，）提供了一种复积分的计算方法，）提供了一种复积分的计算方法，）提供了一种复积分的计算方法，即把复积分的计算转化为两个二元实函数的曲即把复积分的计算转化为两个二元实函数的曲即把复积分的计算转化为两个二元实函数的曲即把复积分的计算转化为两个二元实函数的曲线积分．当曲线积分的积分路径线积分．当曲线积分的积分路径线积分．当曲线积分的积分路径线积分．当曲线积分的积分路径C C由参数方程给由参数方程给由参数方程给由参数方程给出时，复积分又可以转化为单变量的定积分．出时，复积分又可以转化为单变量的定积分．出时，复积分又可以转化为单变量的定积分．出时，复积分又可以转化为单变量的定积分． 例例例例3.1.13.1.1 计算计算计算计算 ，其中，其中，其中，其中C C为从原点到点为从原点到点为从原点到点为从原点到点3+4i3+4i的直线段．的直线段．的直线段．的直线段．  【解】【解】【解】【解】 直线的方程可写成直线的方程可写成直线的方程可写成直线的方程可写成 或或或或 于是于是于是于是 又因又因又因又因 由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实积由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实积由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实积由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实积分与路径无关的条件，所以分与路径无关的条件，所以分与路径无关的条件，所以分与路径无关的条件，所以 的值不论的值不论的值不论的值不论 是怎样的是怎样的是怎样的是怎样的曲线都等于曲线都等于曲线都等于曲线都等于 ，这说明有些函数的积分值与积，这说明有些函数的积分值与积，这说明有些函数的积分值与积，这说明有些函数的积分值与积分路径无关．分路径无关．分路径无关．分路径无关．3.1.5 复变函数环路积分的物理意义复变函数环路积分的物理意义 而且有对应关系而且有对应关系而且有对应关系而且有对应关系 则则则则 故复变函数的环路积分为故复变函数的环路积分为故复变函数的环路积分为故复变函数的环路积分为 由场论知识可知：闭合环路积分由场论知识可知：闭合环路积分由场论知识可知：闭合环路积分由场论知识可知：闭合环路积分 的物的物的物的物理意义为理意义为理意义为理意义为, , 实部实部实部实部 表示向量场表示向量场表示向量场表示向量场 沿沿沿沿 曲线的环量曲线的环量曲线的环量曲线的环量．虚部．虚部．虚部．虚部 表示向量场沿曲线表示向量场沿曲线表示向量场沿曲线表示向量场沿曲线 的通量．的通量．的通量．的通量．3.2 柯西积分定理柯西积分定理 早在早在早在早在18251825年柯西给出了如下定理，它是复变函数论中的年柯西给出了如下定理，它是复变函数论中的年柯西给出了如下定理，它是复变函数论中的年柯西给出了如下定理，它是复变函数论中的一条基本定理，现称为一条基本定理，现称为一条基本定理，现称为一条基本定理，现称为柯西积分定理柯西积分定理柯西积分定理柯西积分定理（简称（简称（简称（简称柯西定理柯西定理柯西定理柯西定理））））．．．． 定理定理定理定理3.2.1 3.2.1 柯西积分定理柯西积分定理柯西积分定理柯西积分定理 如果函数如果函数如果函数如果函数 在单连通区域在单连通区域在单连通区域在单连通区域 内及其边界线内及其边界线内及其边界线内及其边界线L L上解析（即为在单连通闭区域上解析（即为在单连通闭区域上解析（即为在单连通闭区域上解析（即为在单连通闭区域 解析），解析），解析），解析），那么函数那么函数那么函数那么函数 沿边界沿边界沿边界沿边界L L或区域或区域或区域或区域 内任意闭曲线内任意闭曲线内任意闭曲线内任意闭曲线 的积分为的积分为的积分为的积分为零，即零，即零，即零，即 （（（（3.2.13.2.1）））） 或或或或 （（（（3.2.23.2.2）））） 证明：证明：证明：证明：如图如图如图如图 3.2 3.2所示，由于对函数所示，由于对函数所示，由于对函数所示，由于对函数 在闭区域解析概念的理解，故函数的导数即在闭区域解析概念的理解，故函数的导数即在闭区域解析概念的理解，故函数的导数即在闭区域解析概念的理解，故函数的导数即 在区域内部及其边界是存在的，而且可以证明也在区域内部及其边界是存在的，而且可以证明也在区域内部及其边界是存在的，而且可以证明也在区域内部及其边界是存在的，而且可以证明也是连续的．再根据格林定理有是连续的．再根据格林定理有是连续的．再根据格林定理有是连续的．再根据格林定理有 由于函数在闭区域解析，故满足由于函数在闭区域解析，故满足由于函数在闭区域解析，故满足由于函数在闭区域解析，故满足C-RC-R条件条件条件条件代入即得代入即得代入即得代入即得  如如如如果果果果我我我我们们们们在在在在该该该该闭闭闭闭区区区区域域域域 内内内内任任任任选选选选某某某某一一一一单单单单连连连连通通通通闭闭闭闭区区区区域域域域 ，其边界为，其边界为，其边界为，其边界为 ．由上述推导中．由上述推导中．由上述推导中．由上述推导中 将将将将 , , 则同理可证明则同理可证明则同理可证明则同理可证明 故结论成立故结论成立故结论成立故结论成立. . 这这这这个个个个定定定定理理理理是是是是柯柯柯柯西西西西(Cauchy)(Cauchy)于于于于18251825年年年年发发发发表表表表的的的的，，，，古古古古莎莎莎莎(Goursat)(Goursat)于于于于19001900年年年年提提提提出出出出了了了了修修修修改改改改，，，，故故故故又又又又称称称称为为为为柯柯柯柯西西西西－古莎定理－古莎定理－古莎定理－古莎定理. . 说明：说明：说明：说明：[1][1]根据第二章，函数在单连通区域根据第二章，函数在单连通区域根据第二章，函数在单连通区域根据第二章，函数在单连通区域D D内及闭曲线内及闭曲线内及闭曲线内及闭曲线L L上解析，即为在闭区域上解析，即为在闭区域上解析，即为在闭区域上解析，即为在闭区域 解析，我们应该理解为函数在解析，我们应该理解为函数在解析，我们应该理解为函数在解析，我们应该理解为函数在比边界稍大一些的区域内部也是解析的；比边界稍大一些的区域内部也是解析的；比边界稍大一些的区域内部也是解析的；比边界稍大一些的区域内部也是解析的； [2] [2]边界正方向规定：当沿边界线环行时，其边界线边界正方向规定：当沿边界线环行时，其边界线边界正方向规定：当沿边界线环行时，其边界线边界正方向规定：当沿边界线环行时，其边界线所包围的解析区域始终在左边，则前进的方向为边界线的所包围的解析区域始终在左边，则前进的方向为边界线的所包围的解析区域始终在左边，则前进的方向为边界线的所包围的解析区域始终在左边，则前进的方向为边界线的正方向．据此规定，故有界单连通区域积分的边界线沿逆正方向．据此规定，故有界单连通区域积分的边界线沿逆正方向．据此规定，故有界单连通区域积分的边界线沿逆正方向．据此规定，故有界单连通区域积分的边界线沿逆时针方向为正方向．而对于有界复连通区域，外边界取逆时针方向为正方向．而对于有界复连通区域，外边界取逆时针方向为正方向．而对于有界复连通区域，外边界取逆时针方向为正方向．而对于有界复连通区域，外边界取逆时针为边界线的正方向，内边界取顺时针方向为正方向．时针为边界线的正方向，内边界取顺时针方向为正方向．时针为边界线的正方向，内边界取顺时针方向为正方向．时针为边界线的正方向，内边界取顺时针方向为正方向．（注意：对于无界区域则相反，内边界取顺时针方向为边（注意：对于无界区域则相反，内边界取顺时针方向为边（注意：对于无界区域则相反，内边界取顺时针方向为边（注意：对于无界区域则相反，内边界取顺时针方向为边界线的正方向）；界线的正方向）；界线的正方向）；界线的正方向）； [3][3]格林（格林（格林（格林（GreenGreen）定理）定理）定理）定理（（或格林公式：在单连通区域或格林公式：在单连通区域或格林公式：在单连通区域或格林公式：在单连通区域内，若内，若内，若内，若 有连续的偏导数，则有连续的偏导数，则有连续的偏导数，则有连续的偏导数，则 其中其中其中其中L L是区域是区域是区域是区域 的边界；的边界；的边界；的边界； [4] [4]进一步指出，经修改后的柯西－古萨积分定理成立进一步指出，经修改后的柯西－古萨积分定理成立进一步指出，经修改后的柯西－古萨积分定理成立进一步指出，经修改后的柯西－古萨积分定理成立的条件可以弱化为在区域的条件可以弱化为在区域的条件可以弱化为在区域的条件可以弱化为在区域 内解析，在边界上连续．以内解析，在边界上连续．以内解析，在边界上连续．以内解析，在边界上连续．以后使用中，当满足此条件时柯西积分定理仍然成立．后使用中，当满足此条件时柯西积分定理仍然成立．后使用中，当满足此条件时柯西积分定理仍然成立．后使用中，当满足此条件时柯西积分定理仍然成立．3.2.2 不定积分：复积分的牛顿－莱不定积分：复积分的牛顿－莱布尼兹公式布尼兹公式 定理定理定理定理3.2.33.2.3 由定理由定理由定理由定理 3.2.2 3.2.2 知道，解析函数知道，解析函数知道，解析函数知道，解析函数 在单连通域在单连通域在单连通域在单连通域 内的积分只与起点内的积分只与起点内的积分只与起点内的积分只与起点 和终点和终点和终点和终点 有关，假设有关，假设有关，假设有关，假设 是区域是区域是区域是区域 内连接内连接内连接内连接 和和和和 的两条简单曲线，则的两条简单曲线，则的两条简单曲线，则的两条简单曲线，则 和和和和 分别称为积分的上限和下限，当下限分别称为积分的上限和下限，当下限分别称为积分的上限和下限，当下限分别称为积分的上限和下限，当下限 固定，而上限固定，而上限固定，而上限固定，而上限 在在在在 内变动时，积分内变动时，积分内变动时，积分内变动时，积分 可以看作是上限的函数，可以看作是上限的函数，可以看作是上限的函数，可以看作是上限的函数，记为记为记为记为 （（（（3.2.43.2.4）））） 对对对对 ，有以下的定理．，有以下的定理．，有以下的定理．，有以下的定理．定理定理 3.2.4 如果如果 在单连通在单连通域域 内处处解析，则内处处解析，则 在在D内也解析，并且内也解析，并且【证明】【证明】【证明】【证明】 令令令令 则则则则 因为因为因为因为 和和和和 是与路径无关的，因此是与路径无关的，因此是与路径无关的，因此是与路径无关的，因此 定理定理定理定理3.2.53.2.5 任何两个原函数相差一个常数．任何两个原函数相差一个常数．任何两个原函数相差一个常数．任何两个原函数相差一个常数． 【证明】【证明】【证明】【证明】 若若若若 均为均为均为均为 的原函数，则的原函数，则的原函数，则的原函数，则 利用原函数这个关系，我们可以得出：利用原函数这个关系，我们可以得出：利用原函数这个关系，我们可以得出：利用原函数这个关系，我们可以得出： 定理定理定理定理3.2.6 3.2.6 若函数若函数若函数若函数 在单连通域内处处解析，在单连通域内处处解析，在单连通域内处处解析，在单连通域内处处解析， 为为为为 的一个原函数，那么的一个原函数，那么的一个原函数，那么的一个原函数，那么 其中其中其中其中 , , 为为为为 中任意两点．上式称为复积分中任意两点．上式称为复积分中任意两点．上式称为复积分中任意两点．上式称为复积分的牛顿－莱布尼兹公式：的牛顿－莱布尼兹公式：的牛顿－莱布尼兹公式：的牛顿－莱布尼兹公式：3.2.3 典型应用实例典型应用实例例3.2.2 （非闭合环路积分中的换元积分法） 计算积分计算积分计算积分计算积分 【解法【解法1】】 在整个复平面上解析，且在整个复平面上解析，且运用复积分的牛顿－莱布尼兹公式复积分的牛顿－莱布尼兹公式有【【解法解法2】】换元积分法 令，则当，有，有；当；当，有，有 所以所以  例例3.2.3 求积分求积分 并判断闭合环路积分并判断闭合环路积分 中换元积分法是否成立．中换元积分法是否成立．【解法【解法1】】 作作积积分分变换变换得：得：? 例例3.2.4 3.2.4 计算积分计算积分因而积分与路径无关，可用分部积分法得因而积分与路径无关，可用分部积分法得【解】【解】 由于由于 在复平面内处处解析，在复平面内处处解析，3.2.4 柯西积分定理的物理意义柯西积分定理的物理意义3.3 复合闭路定理复合闭路定理 不失一般性，取不失一般性，取n＝＝1进行证明进行证明. 有下述定理：有下述定理： （（1）） （（3.3.3））（（2）） (3.3.4) 定理定理3.3.2 设设 L和和 为复连通区域内的两条为复连通区域内的两条简单闭曲线，如图简单闭曲线，如图3.5所示，所示， 在在L内部且彼此内部且彼此不相交，以不相交，以 和和L为边界所围成的闭区域为边界所围成的闭区域 全全含于含于D．则对于区域．则对于区域D内的解析函数内的解析函数 有有 总结：单连通和复连通区域的柯西定理可以表述为：总结：单连通和复连通区域的柯西定理可以表述为：总结：单连通和复连通区域的柯西定理可以表述为：总结：单连通和复连通区域的柯西定理可以表述为： (i) (i)在闭单连通区域中的解析函数，沿边界线或区域在闭单连通区域中的解析函数，沿边界线或区域在闭单连通区域中的解析函数，沿边界线或区域在闭单连通区域中的解析函数，沿边界线或区域内任一闭合曲线的积分为零；内任一闭合曲线的积分为零；内任一闭合曲线的积分为零；内任一闭合曲线的积分为零； (ii) (ii)在闭复连通区域中的解析函数，沿所有边界线的在闭复连通区域中的解析函数，沿所有边界线的在闭复连通区域中的解析函数，沿所有边界线的在闭复连通区域中的解析函数，沿所有边界线的正方向（即外边界取逆时针方向，内边界取顺时针方向）正方向（即外边界取逆时针方向，内边界取顺时针方向）正方向（即外边界取逆时针方向，内边界取顺时针方向）正方向（即外边界取逆时针方向，内边界取顺时针方向）的积分为零；的积分为零；的积分为零；的积分为零； (iii) (iii) 在闭复连通区域中的解析函数，按逆时针方向在闭复连通区域中的解析函数，按逆时针方向在闭复连通区域中的解析函数，按逆时针方向在闭复连通区域中的解析函数，按逆时针方向沿外边界的积分等于按逆时针方向沿所有内边界的积分沿外边界的积分等于按逆时针方向沿所有内边界的积分沿外边界的积分等于按逆时针方向沿所有内边界的积分沿外边界的积分等于按逆时针方向沿所有内边界的积分之和．之和．之和．之和． 关于常用积分符号的说明：为了以后计算环路积分的方便，在关于常用积分符号的说明：为了以后计算环路积分的方便，在关于常用积分符号的说明：为了以后计算环路积分的方便，在关于常用积分符号的说明：为了以后计算环路积分的方便，在有界区域我们规定记号：有界区域我们规定记号：有界区域我们规定记号：有界区域我们规定记号： （（（（i i）））） C C代表取逆时针方向积分；代表取逆时针方向积分；代表取逆时针方向积分；代表取逆时针方向积分； （（（（ii ii）））） 代表顺时针方向积分；代表顺时针方向积分；代表顺时针方向积分；代表顺时针方向积分； （（（（iiiiii）而且）而且）而且）而且 成立成立成立成立 上述定理上述定理上述定理上述定理3.3.23.3.2还说明在区域还说明在区域还说明在区域还说明在区域 内的一个解析函数沿闭曲内的一个解析函数沿闭曲内的一个解析函数沿闭曲内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变其值．因此可线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变其值．因此可线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变其值．因此可线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变其值．因此可得到闭路变形定理．得到闭路变形定理．得到闭路变形定理．得到闭路变形定理． 本定理说明：（本定理说明：（本定理说明：（本定理说明：（1 1）设）设）设）设 为包含奇点为包含奇点为包含奇点为包含奇点 的任意曲的任意曲的任意曲的任意曲线，且线，且线，且线，且 为边界，为边界，为边界，为边界， 为边界内的曲线为边界内的曲线为边界内的曲线为边界内的曲线. . 由图由图由图由图3.6 3.6 容容容容易看出，当积分路径由易看出，当积分路径由易看出，当积分路径由易看出，当积分路径由 变形为变形为变形为变形为 曲线时，考曲线时，考曲线时，考曲线时，考虑一个微小区域虑一个微小区域虑一个微小区域虑一个微小区域 （不含奇点）的情况来分析，根（不含奇点）的情况来分析，根（不含奇点）的情况来分析，根（不含奇点）的情况来分析，根据柯西定理有据柯西定理有据柯西定理有据柯西定理有 当分区无限多时，两条直线当分区无限多时，两条直线当分区无限多时，两条直线当分区无限多时，两条直线 无限接近，且为相反方向。

无限接近，且为相反方向无限接近，且为相反方向无限接近，且为相反方向根据积分性质根据积分性质根据积分性质根据积分性质, ,有有有有 故得到故得到故得到故得到 综合考虑各个小区域，自然得到综合考虑各个小区域，自然得到综合考虑各个小区域，自然得到综合考虑各个小区域，自然得到 (2) (2) 例如本章例例如本章例例如本章例例如本章例3.1.33.1.3中，当中，当中，当中，当L L为以为以为以为以 为中心的正向圆周时：为中心的正向圆周时：为中心的正向圆周时：为中心的正向圆周时： ，根据闭路变形原理，对于包含，根据闭路变形原理，对于包含，根据闭路变形原理，对于包含，根据闭路变形原理，对于包含 的任何一条简单闭曲线的任何一条简单闭曲线的任何一条简单闭曲线的任何一条简单闭曲线 , ,都都都都有有有有 成立．成立．成立．成立．例例例例3.3.1 3.3.1 计算计算计算计算 ，其中，其中，其中，其中 为圆周为圆周为圆周为圆周 ，且取正向．，且取正向．，且取正向．，且取正向． 【解】【解】【解】【解】 要注意要注意要注意要注意 在在在在 内只有一内只有一内只有一内只有一个奇点个奇点个奇点个奇点 ，将，将，将，将 分成为分成为分成为分成为 ，，，，则由闭路变形定理则由闭路变形定理则由闭路变形定理则由闭路变形定理 3.4 柯西积分公式 3.4.1 3.4.1 有界区域的单连通柯西积分公式有界区域的单连通柯西积分公式有界区域的单连通柯西积分公式有界区域的单连通柯西积分公式 定理定理定理定理3.4.1 3.4.1 （柯西积分公式）（柯西积分公式）（柯西积分公式）（柯西积分公式） 如果如果如果如果 在有界区域在有界区域在有界区域在有界区域D D处处解析，处处解析，处处解析，处处解析，L L为为为为D D内的任何一条正向简单闭曲线，内的任何一条正向简单闭曲线，内的任何一条正向简单闭曲线，内的任何一条正向简单闭曲线，且其内部全含于且其内部全含于且其内部全含于且其内部全含于D, D, 为为为为L L内的任一点，那么内的任一点，那么内的任一点，那么内的任一点，那么 (3.4.1) (3.4.1) 称为柯西积分公式称为柯西积分公式称为柯西积分公式称为柯西积分公式, , 简称柯西公式．但一定要简称柯西公式．但一定要简称柯西公式．但一定要简称柯西公式．但一定要注意其与柯西定理称谓上的区别．注意其与柯西定理称谓上的区别．注意其与柯西定理称谓上的区别．注意其与柯西定理称谓上的区别．由复积分性质知道根据由复积分性质知道根据由复积分性质知道根据由复积分性质知道根据 在在在在 连续，则对任意小的连续，则对任意小的连续，则对任意小的连续，则对任意小的 对应于对应于对应于对应于R R足够小，有足够小，有足够小，有足够小，有 ．．．．又显见该积分的值与又显见该积分的值与又显见该积分的值与又显见该积分的值与R R无关．这就证明了无关．这就证明了无关．这就证明了无关．这就证明了 ，即为柯西积分公式，即为柯西积分公式，即为柯西积分公式，即为柯西积分公式 它表明：对于解析函数，只要知道了它在区对于解析函数，只要知道了它在区对于解析函数，只要知道了它在区对于解析函数，只要知道了它在区域边界上的值，那么通过上述积分公式，区域内域边界上的值，那么通过上述积分公式，区域内域边界上的值，那么通过上述积分公式，区域内域边界上的值，那么通过上述积分公式，区域内部点上的值就完全确定了．部点上的值就完全确定了．部点上的值就完全确定了．部点上的值就完全确定了． 特别地，从这里我们可以得到这样一个重要从这里我们可以得到这样一个重要从这里我们可以得到这样一个重要从这里我们可以得到这样一个重要的结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处的结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处的结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处的结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处相等，则它们在整个区域上也相等．相等，则它们在整个区域上也相等．相等，则它们在整个区域上也相等．相等，则它们在整个区域上也相等． 【解】（【解】（【解】（【解】（1 1）注意到）注意到）注意到）注意到 在复平面内解析，而在复平面内解析，而在复平面内解析，而在复平面内解析，而 在在在在积分环路积分环路积分环路积分环路C C内，由柯西积分公式得内，由柯西积分公式得内，由柯西积分公式得内，由柯西积分公式得 （（（（2 2））））注注注注意意意意到到到到函函函函数数数数 在在在在 内内内内解解解解析析析析，，，，而而而而 在在在在 内，由柯西积分公式得内，由柯西积分公式得内，由柯西积分公式得内，由柯西积分公式得【解解】根据柯西积分公式，得到 故得到故得到 3.4.2有界区域的复连通柯西积分公式有界区域的复连通柯西积分公式 (3.4.3)3.4.3 无界区域中的柯西积分公式无界区域中的柯西积分公式 上面对柯西积分公式讨论了（上面对柯西积分公式讨论了（上面对柯西积分公式讨论了（上面对柯西积分公式讨论了（1 1）单连通区域）单连通区域）单连通区域）单连通区域;(2);(2)复连通区域复连通区域复连通区域复连通区域. . 但所涉及的积分区域都是有限的区但所涉及的积分区域都是有限的区但所涉及的积分区域都是有限的区但所涉及的积分区域都是有限的区域，若遇到函数在无界区域求积分的问题又如何域，若遇到函数在无界区域求积分的问题又如何域，若遇到函数在无界区域求积分的问题又如何域，若遇到函数在无界区域求积分的问题又如何求解？我们可以证明如下的无界区域柯西积分公求解？我们可以证明如下的无界区域柯西积分公求解？我们可以证明如下的无界区域柯西积分公求解？我们可以证明如下的无界区域柯西积分公式仍然成立．式仍然成立．式仍然成立．式仍然成立． 1 1 无界区域柯西积分公式无界区域柯西积分公式无界区域柯西积分公式无界区域柯西积分公式 定理定理定理定理3.4.3 3.4.3 无界区域中的柯西积分公式（当满足无界区域中的柯西积分公式（当满足无界区域中的柯西积分公式（当满足无界区域中的柯西积分公式（当满足 时）：时）：时）：时）： 若在若在若在若在 某一闭曲线某一闭曲线某一闭曲线某一闭曲线L L的外部解析，并且当的外部解析，并且当的外部解析，并且当的外部解析，并且当 时，则对于时，则对于时，则对于时，则对于L L外部区域中的外部区域中的外部区域中的外部区域中的 点有点有点有点有 (3.4.4) (3.4.4) 这就是无界区域的柯西积分公式．这就是无界区域的柯西积分公式．这就是无界区域的柯西积分公式．这就是无界区域的柯西积分公式． 【证明】【证明】【证明】【证明】 为了将柯西积分公式推广到这一情况，以原为了将柯西积分公式推广到这一情况，以原为了将柯西积分公式推广到这一情况，以原为了将柯西积分公式推广到这一情况，以原点为中心，作一个半径为点为中心，作一个半径为点为中心，作一个半径为点为中心，作一个半径为 的大圆的大圆的大圆的大圆 ，将，将，将，将L L和点和点和点和点 全部全部全部全部包含在内，则在包含在内，则在包含在内，则在包含在内，则在 与与与与L L之间的区域之间的区域之间的区域之间的区域 解析，如图解析，如图解析，如图解析，如图3.103.10．应用复连通区域的柯西积分公式得到．应用复连通区域的柯西积分公式得到．应用复连通区域的柯西积分公式得到．应用复连通区域的柯西积分公式得到 (3.4.5) (3.4.5) 这一式子的左边与这一式子的左边与这一式子的左边与这一式子的左边与 无关，右边第二项也与无关，右边第二项也与无关，右边第二项也与无关，右边第二项也与 无关，无关，无关，无关，因而右边第一项也应与因而右边第一项也应与因而右边第一项也应与因而右边第一项也应与 无关．可以进一步证明，当无关．可以进一步证明，当无关．可以进一步证明，当无关．可以进一步证明，当 时它趋于零，由此可以肯定它恒等于零．时它趋于零，由此可以肯定它恒等于零．时它趋于零，由此可以肯定它恒等于零．时它趋于零，由此可以肯定它恒等于零． 事实上，当事实上，当事实上，当事实上，当 在上在上在上在上 时，时，时，时， 因而利用积分不等式性质有因而利用积分不等式性质有因而利用积分不等式性质有因而利用积分不等式性质有 其中其中其中其中 表示表示表示表示 在圆在圆在圆在圆 上的最大值，根据条件上的最大值，根据条件上的最大值，根据条件上的最大值，根据条件 ，且注意到函数的连续性故有，且注意到函数的连续性故有，且注意到函数的连续性故有，且注意到函数的连续性故有 时，时，时，时， ，由上式可知，由上式可知，由上式可知，由上式可知 ，且前面已经指出，这一积分的，且前面已经指出，这一积分的，且前面已经指出，这一积分的，且前面已经指出，这一积分的值与值与值与值与 R R无关，因而恒等于零：无关，因而恒等于零：无关，因而恒等于零：无关，因而恒等于零： 故由故由故由故由(3.4.5)(3.4.5)得得得得 这就是适用于无界区域的柯西积分公式这就是适用于无界区域的柯西积分公式这就是适用于无界区域的柯西积分公式这就是适用于无界区域的柯西积分公式．  说明：说明：说明：说明： 注意这一公式和有界区域柯西积分公式的区别：注意这一公式和有界区域柯西积分公式的区别：注意这一公式和有界区域柯西积分公式的区别：注意这一公式和有界区域柯西积分公式的区别： （（（（1 1）有界区域中柯西积分公式中的）有界区域中柯西积分公式中的）有界区域中柯西积分公式中的）有界区域中柯西积分公式中的 是闭合曲线是闭合曲线是闭合曲线是闭合曲线 内部内部内部内部的一点，而无界区域柯西积分公式中的的一点，而无界区域柯西积分公式中的的一点，而无界区域柯西积分公式中的的一点，而无界区域柯西积分公式中的 为为为为 外部的一外部的一外部的一外部的一点；点；点；点； （（（（2 2）应用有界柯西积分公式的条件是）应用有界柯西积分公式的条件是）应用有界柯西积分公式的条件是）应用有界柯西积分公式的条件是 在在在在 内部解析，内部解析，内部解析，内部解析，而无界区域柯西积分公式的条件是在而无界区域柯西积分公式的条件是在而无界区域柯西积分公式的条件是在而无界区域柯西积分公式的条件是在 外部解析，且当外部解析，且当外部解析，且当外部解析，且当 时时时时 ；；；； （（3））应应用用有有界界区区域域公公式式的的积积分分沿沿着着逆逆时时针针方方向向进进行行，，而而无无界界区区域域的的公公式式积积分分沿沿顺顺时时针针方方向向进进行行（（两两种种情情况况下下都都是是正正方方向向，，即即为为沿沿此此方方向向环环行行时时，，所所讨讨论论的的区区域域在在左左手手边边））．． 故故图图3.10中中的的取取顺顺时时针针方方向向即即为为正正方方向向．． 2. 2. 无界区域的柯西积分公式应用推广（当无界区域的柯西积分公式应用推广（当无界区域的柯西积分公式应用推广（当无界区域的柯西积分公式应用推广（当 不趋于零时）不趋于零时）不趋于零时）不趋于零时） 定理定理定理定理3.4.43.4.4 假设假设假设假设 在某一闭曲线在某一闭曲线在某一闭曲线在某一闭曲线L L的的的的外部解析，则对于外部解析，则对于外部解析，则对于外部解析，则对于L L外部区域中的点外部区域中的点外部区域中的点外部区域中的点 有有有有 【证明】设【证明】设【证明】设【证明】设 为包含点为包含点为包含点为包含点 的大圆周的大圆周的大圆周的大圆周, , 因为函数因为函数因为函数因为函数 在闭回路的在闭回路的在闭回路的在闭回路的 外部解析外部解析外部解析外部解析, ,故由复连通区域的柯西积故由复连通区域的柯西积故由复连通区域的柯西积故由复连通区域的柯西积分公式得分公式得分公式得分公式得 由于由于由于由于 在无限远处连续，即任给在无限远处连续，即任给在无限远处连续，即任给在无限远处连续，即任给 ，有，有，有，有 ，其中，其中，其中，其中 有界，于是有界，于是有界，于是有界，于是 对于有限远点对于有限远点对于有限远点对于有限远点 ，显然，显然，显然，显然 得得得得 故故故故 成立．成立．成立．成立． 说明：特别地，当说明：特别地，当说明：特别地，当说明：特别地，当 满足满足满足满足 时，即时，即时，即时，即 ，则，则，则，则 即退化为定理即退化为定理即退化为定理即退化为定理3.4.33.4.3讨论的情形．讨论的情形．讨论的情形．讨论的情形．3.5.1解析函数的无限次可微性（高阶导数公解析函数的无限次可微性（高阶导数公式）式） 作为柯西积分公式的推广，我们可以证明作为柯西积分公式的推广，我们可以证明一个解析函数的导函数仍为解析函数，从一个解析函数的导函数仍为解析函数，从而可以证明解析函数具有任意阶导数．请而可以证明解析函数具有任意阶导数．请特别注意：这一点和实函数完全不一样，特别注意：这一点和实函数完全不一样，一个实函数一个实函数 有一阶导数，不一定有二阶有一阶导数，不一定有二阶或更高阶导数存在．或更高阶导数存在．3.5 柯西积分公式的几个重要推论柯西积分公式的几个重要推论 定理定理定理定理3.5.13.5.1 解析函数解析函数解析函数解析函数 的导数仍为解析函数，它的的导数仍为解析函数，它的的导数仍为解析函数，它的的导数仍为解析函数，它的n n阶导数为阶导数为阶导数为阶导数为 (3.5.1) (3.5.1) 其中其中其中其中 为为为为 的解析区域的解析区域的解析区域的解析区域 内并包含内并包含内并包含内并包含 的任一简单正向的任一简单正向的任一简单正向的任一简单正向闭曲线，而且它的内部全属于闭曲线，而且它的内部全属于闭曲线，而且它的内部全属于闭曲线，而且它的内部全属于 ．．．． 【证明】如图【证明】如图【证明】如图【证明】如图3.113.11所示所示所示所示. . 我们先证我们先证我们先证我们先证 的情况的情况的情况的情况. . 为了理解方便，不妨设为了理解方便，不妨设为了理解方便，不妨设为了理解方便，不妨设 在边界在边界在边界在边界C C上取值上取值上取值上取值. . 即要证即要证即要证即要证. . 设区域设区域设区域设区域D D内的内的内的内的 点的微小变化量为点的微小变化量为点的微小变化量为点的微小变化量为 ，其中，其中，其中，其中 在区域在区域在区域在区域D D内部取值内部取值内部取值内部取值. . 根据定义根据定义根据定义根据定义 由柯西积分公式得到由柯西积分公式得到由柯西积分公式得到由柯西积分公式得到从而有从而有 由于函数在边界上解析，故在边界上连续且有界由于函数在边界上解析，故在边界上连续且有界由于函数在边界上解析，故在边界上连续且有界由于函数在边界上解析，故在边界上连续且有界. . 即存在即存在即存在即存在 ，使得在边界，使得在边界，使得在边界，使得在边界 上上上上 ，设，设，设，设 为为为为 到到到到边界边界边界边界 上的点的最短距离，则上的点的最短距离，则上的点的最短距离，则上的点的最短距离，则 再考虑到再考虑到再考虑到再考虑到 是是是是 与与与与 的微小偏移量，因此可取它满足的微小偏移量，因此可取它满足的微小偏移量，因此可取它满足的微小偏移量，因此可取它满足 ，，，， 则则则则 所以所以所以所以 其中其中其中其中L L为曲线为曲线为曲线为曲线C C的长度，如果令的长度，如果令的长度，如果令的长度，如果令 ，那么，那么，那么，那么 ，，，，故故故故 因为因为因为因为 ，所以可以重复使用前面的，所以可以重复使用前面的，所以可以重复使用前面的，所以可以重复使用前面的方法，得出方法，得出方法，得出方法，得出3.5.2 解析函数的平均值公式解析函数的平均值公式 定理定理定理定理3.5.23.5.2 若函数若函数若函数若函数 在闭圆在闭圆在闭圆在闭圆 内及其圆内及其圆内及其圆内及其圆周周周周C C上解析，则上解析，则上解析，则上解析，则 （（（（3.5.23.5.2）））） 即即即即 在圆心在圆心在圆心在圆心 的值等于它在圆周上值的算术平的值等于它在圆周上值的算术平的值等于它在圆周上值的算术平的值等于它在圆周上值的算术平均值．上式称为解析函数的平均值公式．均值．上式称为解析函数的平均值公式．均值．上式称为解析函数的平均值公式．均值．上式称为解析函数的平均值公式．【证明】【证明】【证明】【证明】 我们知道　上的点可以写成我们知道　上的点可以写成我们知道　上的点可以写成我们知道　上的点可以写成 　　由柯西积分公式有　　由柯西积分公式有　　由柯西积分公式有　　由柯西积分公式有 　　则　　则　　则　　则 　　这表明一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上取值的平　　这表明一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上取值的平　　这表明一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上取值的平　　这表明一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上取值的平均值，式均值，式均值，式均值，式(3.5.2)(3.5.2)称为解析函数的平均值公式．称为解析函数的平均值公式．称为解析函数的平均值公式．称为解析函数的平均值公式．　　　　3.5.3柯西不等式柯西不等式　　定理定理3.5.3（（柯西不等式）柯西不等式）柯西不等式）柯西不等式） 若函数　　在圆若函数　　在圆若函数　　在圆若函数　　在圆C:C:　　　　　　　　　　　　 内部及其边界上解析，且　　　　内部及其边界上解析，且　　　　内部及其边界上解析，且　　　　内部及其边界上解析，且　　　　 ，则，则，则，则【证明】【证明】【证明】【证明】由柯西高阶导数公式由柯西高阶导数公式由柯西高阶导数公式由柯西高阶导数公式 　　　　　　　　　　　　 所以所以所以所以 柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式，表明解析函数在解析点式，表明解析函数在解析点式，表明解析函数在解析点式，表明解析函数在解析点 的各阶导数的模与的各阶导数的模与的各阶导数的模与的各阶导数的模与它的解析区域大小密切相关．它的解析区域大小密切相关．它的解析区域大小密切相关．它的解析区域大小密切相关． 在整个复平面上解析的函数称在整个复平面上解析的函数称为为整函数整函数．例如多．例如多项项式，式，及及都是整函数，常数当然也是整函数．都是整函数，常数当然也是整函数．应应用柯西不用柯西不等式可得到关于整函数的刘等式可得到关于整函数的刘维维尔尔定理．定理． 3.5.5 莫勒纳定理莫勒纳定理 定理定理3.5.5（莫勒纳莫勒纳莫勒纳莫勒纳MoreraMorera定理）若函数定理）若函数定理）若函数定理）若函数 在单连通区域在单连通区域在单连通区域在单连通区域 内连续内连续内连续内连续, ,且对且对且对且对 内的任一围线内的任一围线内的任一围线内的任一围线 ，，，，有有有有 (3.5.5) (3.5.5) 则则则则 在在在在 内解析．内解析．内解析．内解析． 利用（利用（利用（利用（3.5.63.5.6）得到下列不等式）得到下列不等式）得到下列不等式）得到下列不等式 其中其中其中其中 代表边界线的长度．上式两边开代表边界线的长度．上式两边开代表边界线的长度．上式两边开代表边界线的长度．上式两边开n n次方得到次方得到次方得到次方得到 令令令令 ，则，则，则，则 ，于是得到，于是得到，于是得到，于是得到 用更精确的方法可以证明，只有当用更精确的方法可以证明，只有当用更精确的方法可以证明，只有当用更精确的方法可以证明，只有当 取常数时，上式中的取常数时，上式中的取常数时，上式中的取常数时，上式中的等号才成立．等号才成立．等号才成立．等号才成立．3.6 本章典型综合实例本章典型综合实例 【解法【解法【解法【解法1 1】】】】 柯西定理求解柯西定理求解柯西定理求解柯西定理求解 （（（（i i）当）当）当）当 时，则由例时，则由例时，则由例时，则由例3.1.3 3.1.3 结论结论结论结论 (3.1.12) (3.1.12)式，显然式，显然式，显然式，显然有有有有 （（（（ii ii）当）当）当）当 时，由于已经讨论了函数时，由于已经讨论了函数时，由于已经讨论了函数时，由于已经讨论了函数 的奇点的奇点的奇点的奇点为为为为 设可分解设可分解设可分解设可分解 即为即为即为即为 注意：注意：到推导中已使用到推导中已使用 【解法【解法【解法【解法2 2】】】】 柯西定理、柯西积分公式求解柯西定理、柯西积分公式求解柯西定理、柯西积分公式求解柯西定理、柯西积分公式求解 主要讨论主要讨论主要讨论主要讨论 的情形，设的情形，设的情形，设的情形，设 为仅包含奇点为仅包含奇点为仅包含奇点为仅包含奇点 ，又，又，又，又彼此不相交的小圆周（根据闭路变形原理也可以是任彼此不相交的小圆周（根据闭路变形原理也可以是任彼此不相交的小圆周（根据闭路变形原理也可以是任彼此不相交的小圆周（根据闭路变形原理也可以是任意小的闭合曲线）则根据柯西定理（或复合闭路柯西意小的闭合曲线）则根据柯西定理（或复合闭路柯西意小的闭合曲线）则根据柯西定理（或复合闭路柯西意小的闭合曲线）则根据柯西定理（或复合闭路柯西定理）得到定理）得到定理）得到定理）得到 在每一具体在每一具体在每一具体在每一具体 的积分内应用柯西积分公式，并令的积分内应用柯西积分公式，并令的积分内应用柯西积分公式，并令的积分内应用柯西积分公式，并令 故有故有故有故有 最后一步推导用到了第一章已证恒等式最后一步推导用到了第一章已证恒等式最后一步推导用到了第一章已证恒等式最后一步推导用到了第一章已证恒等式（（（（1.8.11.8.1）上面的．）上面的．）上面的．）上面的．  下面数学举一简单例子来行进检验：下面数学举一简单例子来行进检验：下面数学举一简单例子来行进检验：下面数学举一简单例子来行进检验： 例例3.6.3　　求积分求积分求积分求积分 解题思路：解题思路：解题思路：解题思路：前面的积分理论未直接涉及到此类复变前面的积分理论未直接涉及到此类复变前面的积分理论未直接涉及到此类复变前面的积分理论未直接涉及到此类复变函数模的积分计算．解题的关键是去掉模符号．函数模的积分计算．解题的关键是去掉模符号．函数模的积分计算．解题的关键是去掉模符号．函数模的积分计算．解题的关键是去掉模符号．利用利用利用利用 可去掉分母的绝对值符号，对可去掉分母的绝对值符号，对可去掉分母的绝对值符号，对可去掉分母的绝对值符号，对 微分后再取模即可去掉微分后再取模即可去掉微分后再取模即可去掉微分后再取模即可去掉 的绝对值符号．的绝对值符号．的绝对值符号．的绝对值符号． 【【解解解解】】因为因为 ，且沿正方向（逆时针方向），且沿正方向（逆时针方向）所以辐角为所以辐角为 . . 于是于是 考虑到考虑到 ，故得到，故得到 当当当当 ，故所有，故所有，故所有，故所有 的项积的项积的项积的项积分为零；只有当分为零；只有当分为零；只有当分为零；只有当 时积分时积分时积分时积分 故得到故得到故得到故得到本章作业本章作业P88P88 3.3; 3.5; 3.3; 3.5;3.7: 3.7: （（（（3);(4);3);(4);3.8: (2); (5); (6);3.8: (2); (5); (6);3.10; 3.12; 3.14;3.10; 3.12; 3.14;3.15; 3.163.15; 3.16计算机仿真（选作）计算机仿真（选作）计算机仿真（选作）计算机仿真（选作）3.193.19  §1.级数的基本性质 1.复数项级数 定义4.1 复数项级数就是 其中 为复数 定义4.2 对于复数项级数 ，设 第 四 章 复 级 数若若 存在，则称级数存在，则称级数 收敛，否则为发散收敛，否则为发散 据此定义，我们立即推出：据此定义，我们立即推出：若级数 收敛，则 其次，由复数的性质易于推得其次，由复数的性质易于推得 定理4.1 设 其中 均为实数，则级数 收敛的充要条件为基数 与 均收敛，复数项级数具有与实数项级数完全相同的性质，不再一一 给出. 定理4.2（柯西收敛准则）级数 收敛的充要条件是 ，使 及 ，均有 定义4.3 若级数 收敛，则称级数 为绝对收敛. 由关系式 及 及定理4.1即可推得.定理4.3 级数 绝对收敛的充要条件为： 级数 及 绝对收敛. 再由定理4.2可知：绝对收敛级数必为收敛级数.例1.对于级数 当 时，由于 ， 而当 时， ，于是因此级数 收敛且有 ， ，显然，当 时，级数 亦为绝对收敛的级数.2.复函数项级数 定义4.4设函数 在复平面点集上有定义，则称级数 为定义在上的复函数项级数.定义4.5 设函数 在 上有定义 ，如果 ，级数 均收敛于 ，则称级数 收敛于 ，或者说级数 和函数 记作 定义4.6 如果 ，使得 当时，对任一 ，均有 则称级数 在一致收敛于 . 与定理4.2类似地我们有 定理4.4 级数 在 上一致收敛的充要条件是： ，使当 时，对任一及均有 由此我们即得一种常用的一致收敛的判别法：定理4.5 （魏尔斯特拉斯 -判别法）设 在点集 上有定义 为一收敛正项级数， 若在 上成立 则级数 在 上一致收敛于 ，则 在 上一致收敛.与实数项级数一样，不难证明以下定理：定理4.6 设 在复平面点集 上连续，级数 在 上一致收敛于 ，则 在 上连续.定理4.7 设 在简单曲线 上连续，级数 在 上一致收敛于 ， 则 . 对于复函数项级数的逐项求导问题，我们考虑解析函数项级数，首先，引入一个新概念.定义4.7 设函数 在区域 内解析,如果级数 在 内任一有界闭区域上一致收敛于函数 , 则称级数 在 内闭一致收敛于 . 由此,我们有下列重要的魏尔斯特拉斯定理.定理 设函数 在区域 内解析,级数 在 内中闭一致收敛于函数 , 则 在 内解析, 且 在内成立 证明: ,取 ,使得 .在 内任作一条简单闭曲线 ,根据定理 及柯西定 理 推得. 因而由莫勒拉定理知 在内 解析,再由 的任意性即得 在 内解析 。

其次,设 的边界 ,由已知条件得 在上一致收敛于 ,从而 ,根据定理 ,我们有 即 于是定理结论成立. 在 上一致收敛于 作业:第178页 1. §2幂级数定义 形如 的级数称为幂级数,其中 是复变量, 是复常数.特别地,当 时,级数 就变为幂级数在复变函数论中有着特殊重要意义,它不仅是研究解析函数的工具,而且在实际计算中 应用也比较方便.我们首先研究级数 的收敛性.显然,当 时,级数 总是收敛的. 当 时,则有 定理 如果幂级数 在 收敛,则对任意满足 的 ,级数 绝对收敛.若级数 在 发散,则对任意满足 的 ,级数 发散.证明: 级数 在 收敛. 从而 ,使得 其次,级数 可写成 ,因此 由于级数 收敛,故级数 绝对收敛.根据上述结论用反证法即可推得定理第二部分成立,于是定理得证.由此,我们可知存在实数 , ,使得级数 当 时绝对收敛,当 时发散. 称为级数 的收敛半径, 称为收敛圆,当 时,我们说 的收敛半径是 , 收敛圆为复平面.当 时,我们说 的收敛半径是 ,收敛圆只有一点 ,以下说幂级数有收敛圆均指收敛半径大于 的情况.通常,幂级数 的收敛半径可用以下公式求得:定理 (柯西阿达玛公式).若以下条件之一成立. 定理 (柯西 阿达玛 公式). 若以下条件之一成立. 则当 时, 的收敛半径 , 当 , 时, . 下面我们证明幂级数的和函数在其收敛圆内解析.定理 设幂级数 的收敛圆为 .则它的和函数 在 内解析,且 证明:事实上,对 ,则在 上由定理 知级数 在 上绝对收敛,从而根据判别法知 在 上一致收敛,故 在 中内闭一致收敛,在 内, 的和函数 解析且 成立,由 的任意性即知定理成立. 但幂级数在其收敛圆上可能收敛,也可能发散.例 级数 的收敛半径为 由于在收敛圆 上,此级数一般不趋于 ,因而在 上级数处处发散,但其和函数却除 处处解析. 例 级数 的收敛半径为 在收敛圆 上, 而级数 收敛,故此技术在收敛圆上也处处收敛.作业: 第178页 2 3 §3解析函数的泰勒展式一．定理定理 (泰勒 展式)设函数 在圆 内解析,则在 内 证明: ,以 为心作一圆 ,且使 ,(如图 )则由柯西公式 而当 时, , 因此有 由于 右端级数当 时是一致收敛的,把 代入 后逐项积分得  其中 由 为 内任意一点知定理成立. 结合定理 与 我们就可推出: 推论 幂级数是它的和函数 在收敛圆内的泰勒展式.即推论 函数 在一点解析的充要条件是: 在 的某一邻域内有泰勒展式 . 与实变数的情形相同,我们不难求得某些初等函数的泰勒展式.二． 求泰勒展式的方法 1．求Taylor系数 = 如求 在z=0的展开式 = =1 = = ,  =1+z+ + + = 2.利用级数的运算。

如 如 在 展开 = 3．逐项微分法 如： 逐项积分法 如：求 在 的展开式 （主支） （其中取K=0分支，即 分支） 又 一般地 =ln(1+z)+5．级数代入级数法 如 作业: 第178页 5(5) 7(2) (3)（4） §4.解析函数的零点及唯一性 定义 设函数 在 的邻域 内解析且 ，则称为 的零点.如果 在 内的泰勒展式为： 则可能有下列两种情形 ，此时在 内 不全为 ，则存在正整数 ，使得 且对一切 均有 ，此时我们说 为  的 阶零点， 时称 为 的单零点， 时称 为 的 重零点.设 为解析函数 的一个 阶零点，则在 的 某个邻域内 其中 在 内解析.由 , ,使得当 时, 于是 ,此即说明存在 的一个邻域使得在此邻域内 为 的唯一零点.根据上述讨论,我们有 定理 设函数 在 解析且 ,则或者 在的一个邻域内恒等于 ,或者存在 的一 个邻域,在其中 是的 唯一零点.定理 的后一个性质称为解析函数零点的孤立性.关于解析函数的唯一性问题,我们先证明下述引理 : 引理 设 在 区域内解析,如果 在 中的一个圆内恒等于 ,则 在 内恒等于 . 证明:设在 内一个以 为心的圆 内 ,对于 的任意一点, 用在 内的曲线 连接 及 ,设 取 ,并在 上依次取 使 .且它的任意相邻两点间距离小于 ,再作 每一点的 邻域 显然 时, 由于 在 内恒等于 ,而 ,因而, 于是 在 内的泰勒展式的系数亦全为 , 从而 在 内恒等于 ,一般地,若已证明 在 内恒等于 ,就可推得 ,由 为 内 外任意一点即知引理成立. 结合引理 及定理 就可得到关于零点的一个重要结果:定理 设 为区域 内不恒等于 的解析函数 ,则对于的每一零点 均存在一个邻域 ,使得 为 在 内唯一零点…… 此定理是定理 的推广.于是,解析函数的唯一性定理可叙述如下:定理 设函数 及 在区域 内解析, 为 内互不相同的点,且 .如果 ,则在 内, . 证明:若在 内 ,亦即在 内 . 由已知条件可得, ,其次,由于 .因而 在 连续,于是 为 在此邻域中的唯一零点,与定理 产生矛盾,于是定理结论成立.  在数学分析中我们知道,对于一般有导数或偏导数的一元或多元函数,已知它在定义域内某一部分的函数值还完全不能断定它在其它部分的函数值.而从定理 知道,对于解析函数来讲,只须知道它在区域 内一个极限点在 内的点到上的函数值就可完全确定它在 内的所有函数值,这是解析函数不同于实变数可微函数的一个重要特性. 例5 在复平面上解析,在实轴上 等于的函数只能是 .证明:设函数 在复平面上解析且在实轴上等于 ,则在复平面上解析的函数 在实轴上恒等于 ,因而由定理 知在复平面上, 即 .例6 是否现在 解析的函数 满足下列条件: 其中解: 由于 及 根据定理 知 是在 解析满足 的唯一函数,但此数不满足 , 因而在 不存在满足 条件的解析函数… 由条件 ，由定理 知 是在 解析并满足 条件的唯一函数. 定理4.16(最大模原理). 设 在区域D内解析，则 在D内任何点都不能达到最大值，除非在D内 恒等于常数。

证明：若用M表 在D内的最小上界，则必0

那么根据 的连续性， 在某个充分小的区间 内成立同时在这个区间之外总是 再由（4.15）得M=