求函数值域的方法.doc

函数值域求法基本初等函数的值域：1、一次函数y=kx+b（k≠0）的值域为R；2、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值域：当a＞0时，值域为[，﹢∞）；当a＜0时，值域为（-∞，]3、反比列函数y=（k≠0，x≠0）的值域为：{y|y≠0，y∈R}4、指数函数y=ax（a＞0且a≠1）的值域为：R+5、对数函数y=㏒ax（a＞0，且a≠1）的值域R6、正、余弦函数的值域为：[-1，+1]，正、余切函数的值域为R函数值域求法观察法对于一些比较简单的函数，其值域可结合不等式的性质、图象通过观察得到如利用|x|≥0，≥0，≥0等，直接得出它的值域．例1、 求下列函数的值域⑴ y＝． ⑵ y＝．解：⑴ 由x∈R，且x≠0，易知y∈R且x≠0．所以函数的值域为{ y|y∈R且y≠0}．⑵ ∵ x2≥0，∴≥．∴ 函数的值域为{ y| y≥5}．例2、求函数的值域解：∵0 - 0 3—3故函数的值域是：（—∞，3]例3、求函数的值域解：由得，，故函数的值域是.例4、求函数的值域分析：首先由0，得+11，然后在求其倒数即得答案解： 0+11，０＜１，函数的值域为（０，１]．例5、求的值域。

由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得：例6、求函数y=的值域解： 显然函数的值域是：配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域例1、求下列函数的值域：⑴ y＝－－4x＋1，x∈[－3，3]；⑵y＝＋－1．解：⑴配方，得y＝－(x＋2)＋5，又x∈[－3，3]，结合图象，知函数的值域是{ y│－20≤y＜5}⑵ ∵y＝＋－1＝＋1≥1，当且仅当＝0，即x＝±1时取等号，∴ 函数y＝x4＋－1的值域为[1，＋∞)．例2、求函数y=—2x+5，x[-1，2]的值域解：将函数配方得：y=（x—1）+4，∵x[—1，2]，由二次函数的性质可知：当x=1时，y =4当x= —1，时=8故函数的值域是：[4，8]例3、求函数y=3x2-6x+5（x＜-2）的值域分析：此函数是一个二次函数，但定义域不是全体实数，所以不能按二次函数的值域公式去求，不然就会得出错误答案解：y=3x2-6x+5=3（x-1）2+2配方后可知，二次函数的对称轴为：x=1，开口向上，x＜1时此函数为减函数，x=2时y=29，所以函数的值域为（29，+∞）小结：本题应用了配方法和函数的单调性有关二次函数的值域的问题，就要抓住它的对称轴及它的单调性，首先看对称轴在不在定义域内，在定义域内的话顶点纵坐标就是值域的一个端点，再根据单调性确定另一个端点；不在定义域（定义域为一个区间时）内的话，函数在定义域内一定是单调的，定义域的端点的函数值就是值域的端点。

例4、求函数的值域解：设配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：例5、求函数的值域解答：此题可以看作是和两个函数复合而成的函数，对配方可得：，得到函数的最大值，再根据得到为增函数且故函数的值域为：例6、若，试求的最大值本题可看成一象限动点在直线上滑动时函数的最大值利用两点(4，0)，(0，2)确定一条直线，作出图象易得：，y=1时，取最大值例7、求函数的值域：解：设，则原函数可化为：.又因为，所以，故，，所以，的值域为.反函数适用于分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域例1、求函数y=值域解：由原函数式可得：x=，则其反函数为：y=其定义域为：{x|x≠},故所求函数的值域为：（-∞，）例2、求函数y＝的值域．解：求得y＝的反函数是y＝，其定义域是{x│x∈R且x≠1}．所以函数y＝的值域是 {y│y∈R且y≠1}．例3、求函数y=的值域；解：y=，（3x+2）y=2x+1，（3y-2）x=1-2y，x=当3y-2≠，即y≠时，显然y=时原函数的反函数没有意义，所以y≠，即函数的值域为{y| y≠，y∈R}注意：也可用常数分离法例4、求函数的值域。

解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x，从而便于求出反函数反解得即故函数的值域为：反函数的定义域即是原函数的值域）例5、求函数的值域解：由得，故函数的值域为例6、求函数的值域解：先证明有反函数，为此，设且，所以为减函数，存在反函数可以求得其反函数为：此函数的定义域为，故原函数的值域为判别式法常用于分子或分母次数不高于二，至少有一个最高次数为二的分式函数（定义域为全体实数（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式Δ≥0加以判断）例1、求函数y＝的值域．解：原解析式可化为：( y－2)x2－2( y－2)x＋( y－3)＝0(*)．当y≠2时，因为x为实数，则Δ＝4( y－2)2－4( y－2) ( y－3)≥0，即(y－2)(3y－10)≤0．解得2≤y≤( y≠2)．当y＝2时，得x＝，属于定义域．所以函数的值域是[2，]．例2、求函数y=的值域解：原函数化为关x的一元二次方程（y-1）-x+（y-1）=0（1）当y≠1时，xR,△=(-1)-4(y-1)(y-1) 0，解得：y（2）当y=1，时，x=0,而1[,]故函数的值域为[，]例3、求函数y=x+的值域。

解：两边平方整理得：2-2（y+1）x+y=0（1） xR，△=4（y+1）-8y0，解得：1-y1+但此时的函数的定义域由x（2-x）0，得：0x2由△0，仅保证关于x的方程：2-2（y+1）x+y=0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[，]可以采取如下方法进一步确定原函数的值域0x2，y=x+0，=0，y=1+代入方程（1），解得：=[0，2]，即当=时，原函数的值域为：[0，1+]注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除例4、求函数y=的值域解：由x2-x+1≠0函数的定义域为R，y=（y-1）x2-yx+（y-1）=0（1）当y-1=0时，即y=1时，x=0，（2）y≠1时，由定义域为R，知上方程存在实数解，所以△=y2-4（y-1）2=（3y-2）（2-y）≥0≦y≦2且y≠1综上所述，函数的值域为[，2]例5、求函数的值域由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：整理得：当时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足即此时方程有实根即△，△注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验。

将分别代入检验得不符合方程，所以例6、求函数的值域解：先将此函数化成隐函数的形式得：，(1)这是一个关于的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程(1)的判别式，解得：故原函数的值域为：换元法通过换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型此方法要求学生已熟练掌握二次函数在某一区间上的值域和三角函数值域的求法例1、求函数y=x+的值域解：令x-1=t，（t0）则x=+1，∵y=+t+1=+，又t0，由二次函数的性质可知当t=0时，y=1，当t→0时，y→+∞故函数的值域为[1，+∞）例2、求函数y＝2x－3＋的值域．解：设＝t(t≥0)，得x＝，则y＝2•－3＋t＝－(t－1)2＋4，当t＝1时，函数有最大值4，即y≤4．∴ 所求函数的值域为(－∞，4]．例3、求y=x-的值域解：设t=（t≥0），则x=（1-t2），即y=（1-t2）-t=-t2-t+（t≥0）函数图像的对称轴为t=-1在[0，+∞）上函数为减函数，ymax=g（0）=所以函数的值域为（-∞，]例3、求函数的值域由于题中含有不便于计算，但如果令：注意从而得：变形得即：注意：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。

例4、求函数y=x+4+的值域解：由5-x2≥0得函数的定义域为|x|≦，设x=sin（-）则：y=sin+4+=sin+cos+4=sin（）+4因为-，所以-，所以-sin（）≦1所以：4-≦y≦4+，故函数的值域为[4-，4+]例5、求函数的值域解：令，则，当，即时，，函数无最小值，故函数的值域为.例6、求函数的值域解：由于，故令，，则，，，所以，故函数的值域为.例7、求函数，的值域解：令，，，，当，即时，；当，即时，，故函数的值域为.例8、求函数的值域解：，由于，故令，，则，，，所以，故函数的值域为.由上例可以归纳出：当遇到求形如的函数值域时，利用，可设，即，，则，，这样就转化成了三角函数的值域问题例9、求函数的值域解：原函数可变形为：，令，，则，当时，；当时，，故函数的值域为例10、已知是圆上的点，试求的值域解：在三角函数章节中我们学过：注意到可变形为：令2p)则p)即故例11、试求函数的值域解：题中出现，而由此联想到将视为一整体，令由上面的关系式易得故原函数可变形为：数形结合法对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域例1、求函数的值域。

分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式，将原函数视为定点(2，3)到动点的斜率，又知动点满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：例2、求函数的值域分析：此题首先是如何去掉绝对值，将其做成一个分段函数在对应的区间内，画出此函数的图像，如图1所示，易得出函数的值域为例3、求函数的值域解：原函数可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和由上图可知，当点P段AB上时，当点P段AB的延长线或反向延长线上时，故所求函数的值域为.例4、求函数的值域解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，，故所求函数的值域为例5、求函数的值域解：将函数变形为：，上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差即：，由图可知：当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：，当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例15，16可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。

不等式法能利用几个重要不等式及推论来求得最值如：），利用此法求函数的值域，要合理地添项和拆项，添项。