2004年考研数学三真题及答案解析.doc

2004年考研数学(三)真题一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)卄 sin x 血 ,(1)右 lim x (cosx b) 5，贝V a = ，b = •x 0ex a2f0,贝 y u v(2)设函数f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且g(y)2xex ，⑶设f (x)1 ，x1x21212，则21 f(x 1)dx .2(4)二次型 f(X1,X2,X3)(X1X2)22 2(X2 X3) (X3 X1 )的秩为(5)设随机变量X服从参数为 M勺指数分布，则P{X JDX} .Xm 和 丫1，丫2, Yn2⑹ 设总体X服从正态分布 N( M, /),总体丫服从正态分布 N( M2,(T2),X!,X2,分别是来自总体 X和丫的简单随机样本，则ni _(Xi X)i 1n2 _(Yj Y)j i(16)(本题满分8分)□ n2 2项符合题目要求,二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有 把所选项前的字母填在题后的括号内)⑺函数f (x)| x |sin(x 2)x(x 1)( x 2)2在下列哪个区间内有界(A) ( 1，0). (B) (0，1). (C) (1，2). (D) (2,3). [f (-) x 0(8) 设 f (x)在(，+ )内有定义，且 lim f (x) a , g(x) 'x八 ，则x 0 ，x 0(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点•(C) x = 0必是g(x)的连续点.(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. [ ](9) 设 f (x) = |x(1 x)|,则(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0，0)不是曲线y = f (x)的拐点.(B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0，0)是曲线y = f (x)的拐点.(C) x = 0是f (x)的极值点，且(0，0)是曲线y = f (x)的拐点.(D) x = 0不是f (x)的极值点，(0，0)也不是曲线y = f (x)的拐点. [(10) 设有下列命题：(1)若 (u2n 1 u2n)收敛，则 un收敛.n 1 n 1⑵若 un收敛，则 un 1000收敛.n 1 n 1⑶若lim 1，则 un发散.n un n 1⑷若(比Vn)收敛，则 比，n 1 n 1则以上命题中正确的是(A) (1)⑵• (B)⑵⑶•(11)设f (x)在[a , b]上连续，且f (a)vn都收敛.n 1(C)⑶⑷. (D) (1)⑷. [ ]0, f (b) 0 ,则下列结论中错误的是(A)至少存在一点x0(a,b)，使得f (xo)> f (a).(B)至少存在一点Xo(a,b),使得f (xo)> f (b).(C)至少存在一点x0(a,b),使得f (勺)0.(D)至少存在一点Xo(a,b),使得f (xo) =0.[D ](12) 设n阶矩阵A与B等价，则必有(A)当 |A| a(a 0)时,|B| a. (B)当 |A| a(a 0)时,|B| a.(C)当 |A| 0 时，|B| 0. (D)当 |A| 0 时，|B| 0. [ ](13) 设n阶矩阵A的伴随矩阵A* 0,若& ,匕&, &是非齐次线性方程组 Ax b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax 0的基础解系(A)不存在. (B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量. [](14)设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的a (0,1),数u a满足P{x u} a,若 P{| X |x}a,则x等于(B) u a.1 -2(A) u2三、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (15)(本题满分8分)(C) uL2(D) u1.)求 lim (一^x 0 sin2 xCOS2 X、丁).求 (.X2 y2 y)d ，其中D是由圆x2 y2 4和(x 1)2 y2 1所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分)设f (x) , g(x)在［a , b］上连续，且满足f (t)dt g(t)dt，x [a , b)，f(t)t.证明:bxg(x)dx.(18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为 Q = 100 5P,其中价格P (0,20)，Q为需求量.(I)求需求量对价格的弹性 Ed (Ed > 0)；(II) 推导 Q(1 Ed)(其中R为收益)，并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时, dP降低价格反而使收益增加•(19) (本题满分9分)设级数的和函数为S(x).求：(I) S(x)所满足的一阶微分方程；(II) S(x)的表达式.(20) (本题满分13分)设 a (1,2,0)T, a (1, a 2, 3aT, a ( 1, b 2, a 2b)T, B (1,3, 3)t, 试讨论当a,b为何值时，(i) B不能由a, a, a3线性表示；(n ) B可由a , a2, a唯一地线性表示，并求出表示式；(川)B可由a, a2, a线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式•(21) (本题满分13分)设n阶矩阵(i )求A的特征值和特征向量(n )求可逆矩阵P,使得P 1AP为对角矩阵1 1 1设A , B为两个随机事件，且P(A) -, P(B|A) -, P(A|B)-,令 4 3 2求(I )二维随机变量(X,Y)的概率分布；(n ) X与丫的相关系数 仗丫 ;2 2(川)Z X 丫的概率分布•(23)(本题满分13分)设随机变量X的分布函数为其中参数a0,卩 1.设 X1,X2,,Xn为来自总体X的简单随机样本(I )当a1时，求未知参数B的矩估计量；(n)当a1时，求未知参数B的取大似然估计量；(川)当2时，求未知参数a的取大似然估计量.2004年考研数学（三）真题解析、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）若 lim 罗 x 90s x b） 5，则 a = 1 ，b = 4x 0ex a 【分析】本题属于已知极限求参数的反问题 •【详解】因为lim 竺艺(cos x b) 5，且lim sin x (cosx b) 0 ,所以 x 0ex a x 0lim (ex a) 0,得a = 1.极限化为x 0sin x xlim - (cosx b) lim (cosx b) 1 b 5，得 b = 4. x 0ex a x 0x因此，a = 1， b = 4.【评注】一般地，已知lim上^ = A,g(x)(1) 若 g(x) o,则 f (x) 0；(2) 若 f (x) 0,且 A 0,则 g(x) 0.(2)设函数f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = - + g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且g(y) 0, 则丄 学.u v g2(v)【分析】令u = xg(y), v = y,可得到f (u , v)的表达式，再求偏导数即可 .【详解】令u = xg(y),v = y,贝U f (u , v) = —g(v)g(v),所以,u g(v)g(v)g2(v)2xex⑶设f(x)1,x12122则 f (x21)dx【分析】本题属于求分段函数的定积分, 的积分性质即可.先换元:1 = t,再利用对称区间上奇偶函数【详解】令-1 = t,2丄f(X21)dx11 f (t)dt211 f (x)dt2【评注】一般地，对于分段函数的定积分, 按分界点划分积分区间进行求解1丄(1)dx21 2=21 xex dx22 2 2⑷二次型 f(Xi,X2,X3) (Xi X2) (X2 X3) (X3 Xi)的秩为 2【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩 ，亦即标准型中平方项的项数 ，于是利用初等变换或配方法均可得到答案•【详解一】因为f(x1,x2,x3) (x1X2)2(X2X3)2(X3xj2211于是二次型的矩阵为A121112112112由初等变换得A033033033000从而 r( A) 2,即二次型的秩为2【详解二】因为 f(X1,X2,X3)(X1 X2)22(X2 X3) (X3 X1)2 3 22y1眷，11其中% X1 X2X3，y2 X2 X3.22所以二次型的秩为 2.(5)设随机变量X服从参数为 入的指数分布，则P{X .、DX} 丄.e【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案1【详解】由于DX p , X的分布函数为故P{X . DX} 1 P{X . DX } 1 P{X ^} 1 F (-)-.a 入 e【评注】本题是对重要分布，即指数分布的考查，属基本题型.2 2⑹ 设总体X服从正态分布 N( M1, ^ )，总体丫服从正态分布 N(鬼，(T )，X1，XXm 和 丫1，丫2,Yn2分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则n1n2(Xii 1E X)(Yjj 1Y)2(Tn1 n2 2【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案【详解】因为E[—(Xi X)2] 厲1 i iE[n2(YjY)2]故应填 o2【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查 •二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)函数f(X) 2)2在下列哪个区间内有界X(X 1)( X 2)2lim f(x)x 0sin 24lim f(x)X 1，lim f (x)x 2(A) ( 1 , 0). (B) (0 , 1).(C) (1,2).(D) (2,3).[A ]【分析】如f (x)在(a , b)内连续，且极限limf(x)与lim f (x)。