高等代数的实践应用论文.docx

目录【摘要】 3［Abstract! 3【关键词】 4［Key words 1 4【实际应用举例】 4(-)矩阵密码在保密通讯中的应用 4【问题起因】 4【模型建立】 5(-1)电路中电阻［resistance］的计算 10【问题提出】 10【模型建立】 10(三) 生物遗传［heredity］的选种概率 12【模型假设】 13【模型建立】 13(四) 基因间"距离”的表示 15【问题提出】 15【模型建立】 15【论文总结】 17【参考文献】 17【摘要】马克思曾经说过，一门学科只有成功地应用了数学时，才真 正的达到了完善的地步数学在经济学、物理学、化学以及生物 学等很多领域都有非常广泛的应川，在学习高等代数的过程中, 我们发现代数在生活和实践中都有不可缺少的的位置下面就矩 阵在密码保密学、物理学方面及生物学方面的一些应用进行了探 究[Abstract]Marx once said, a discipline only succeeded in applied mathematics, really reached the point of perfection. Mathematics in economics, physics, chemistry and biology, a very wide range of applications in many areas, in learning and in the course of higher algebra, we find algebra in life and practice are essential to the position. The following matrices in physics and biology, exploring some of the applications・【关键词】物理学：电阻 电路 电流线性代数：矩阵牛物学：遗传定律概率[Key words]Physics : resistor circuit currentLinear Algebra : matrixBiology : genetic probabilities【实际应用举例】（一）矩阵密码在保密通讯中的应用【问题起因】保密通讯，就是通讯者要把消息发送给他指定的接收者，而又不 让其他人（特别是对手）得到和了解消息的内容•消息的发送方要保 密，最好是根本不让除接收者以外的任何人得到所发送的消息•比如 人们早期用派专门信使的方法直接将密信送到接收者手中，但这一方 法的致命缺点是发送速度慢，且安全性差•由此，消息的发送者想出 一个办法：不直接将原来的消息传送出去，而将它按一定的规则加以 改变和伪装后再传送出去・密码学中称原来的消息为明文，用人们日常生活中的语言写成,谁都看得懂・经过伪装的明文则变成了密文，别人看不懂・由明文变成密文的过程称为加密•由密文变成明文的过程称为译密•改变明文 的方法称为密码，密码作为军事和政治斗争的一种技术，已有上千年 的历史•随着科学技术的发展，信息传播越来越频繁和便捷，保密通 讯也日益扩展到民间的经济生活以及日常生活当中•密码中的关键信 息称之为密钥，显然，密钥在保密通讯中占有极其重要的地位，通 常主要由通讯双方秘密商定•当一个人知道了密码，就可以读懂密文, 若不知道密码，即使他得到了密文，也看不懂，这样就达到了保密的 目的•人们对密文进行分析，企图找到译密的法则，这一过程称为破【模型建立】保密通讯就是在保密者和破译者之间的不断斗争中发展起来的.置换密码是一个最容易而且最为人们熟悉的密码，它只要把每个字母 由某个其他字母来替换而形成密文.如指定从a到z的26个英文字母 按顺序依次用从0到25这26个非负整数来表示，选定其中一个不大于26的正整数X为密钥，就制作成一张密码表・加密的方法是将每个明文字母所代表的整数加上X ,这里的“加法”是指如果加法的结果达到或超过26 ,还要将它减去26 (这种加法称为“模26加”)•即若P表示 明文字母所代表的整数，C为密文字母所代表的整数，则有记号C 三 P + K ( mod 26 )又称为“模26 ”的同余式・这种密码又称为加法密码・例如，如果明文信息是：MEETING IN MY OFFICE取K = 5,由刚才的约定，得到的密文信息是:RJJYN SLNSR DTKKN HJ这在外人眼里是一组毫无意义的字母.即得到了保密的效果，但 下一步我们还需要对密文进行解密.如果我们知道密码是由加法密码书写的，对于如下的秘密信息：FRPHK HUHLP PHGLD WHOB我们如何进行解密呢?—种可能浪费时间的解密方法是，把1到25的每一个整数代入关系式P 三 C - K ( mod 26 )中去试，直到出现合适的K .考虑密文中的第一块：FRPHK试到K = 3时，对应明文OOMEH这个K似乎是合理的，因此取K = 3时・对应明文是:COMEH EREIM MEDIA TELY(come here immediately)另一种解密方法是利用每个字母在英文语言中出现的频率•上面的密文中出现频率最大的字母是H ，而在英文中字母E的出现频率 最大，所以让密文中的H与英文中字母E对应似乎是合理的，解方程8 = 5 + K ( mod 26 ) , WK = 3 ・置换密码中同一明文字母总是对应同一密文字母，人们可以利用 字母出现频率、重复方式及字母和字母的结合方式，应用到密码中来 解方程・由此可知，用此种密码书写的密文是很容易破译的，保密性很差・于是编码学家创造了一种新的密码，叫做矩阵密码・矩阵密码是将一组n个明文字母指派给一组n个密文字母，同一字母可以有不同的对应，每一个字母用一个数代表：让1到26表 示A到Z , 27表示空格，28表示？，29表示！・为简便起见，取n = 2 ,加密过程是同时取两个明文字母Pi和P2 ,用它们的等价数字置换成具有如下形式的模29的同余式:Ci = aPi + bP2 ( mod 29 )C2 三 cPi + dP2 ( mod 29 )这样就确定了明文字母Pl和P2的等价密码Cl和C2，像这样一对一对进行下去，直到全部信息都被加密•使用矩阵乘法，令a bM=c d加密过程可记作Cl-C2一 ■MPlj巳(mod 29 )称M为密码矩阵・这种加密方法破坏了字母出现频率的不变性，加 大了破译的难度.为使破译更加困难，我们可以使用更大的n，例如取n二3,假设密 码矩阵r 0 2 3M 1 4 7= <236要加密的明文是UNITED NATIONS明文字母的等价数字依次是:21 , 14 , 9 , 20 , 5,4 , 27 , 14 , 1 ,20 , 9 , 15 , 14 , 19o因为n二3 ,所以让每三个连续的字母成为一 个列向量，进行矩阵运算：厂 0 2 3、厂 21 20 27 20 14、1 4 714 5 14 9 19厂55223163119^1406890161279〔13879102157247丿2 3 62622253、24103161822211512(mod 29 )V B E9 4 1 15 27这个信息的密文是ZXVVJUBCOEPLCRO可见字母出现频率的不变性被打破了。

假设密码矩阵不变，那么，如下的密文又如何解密呢？WUUF! NSOW VKLMH URLQH KWKI求出密码矩阵M的逆矩阵< 3-32、M-1 = 8-6 3j -5 4 -2先对前12个字母进行译密，得到「3-32 J「236 14 2 門r 194152牛8-6321291922z: 5271427a丿a丿)a丿(mod29)-5 4 -2 21 22 15 11 14 13 5 9继续作下去，得到明文信息是：SEND MONEY IMMEDIATELY!为了保证密码系统的保密性，我们可以使用更大的n值但应注 意使用密码矩阵时，应保证密码矩阵及其逆矩阵必须是整数矩阵，即 矩阵中的元是整数•这里我们应注意通过矩阵乘法、逆矩阵等的应用 来解决矩阵密码的问题・(二)电路中电阻［resistance］的计算【问题提出】如图所示的电路中，已知R1=2Q , R2=4Q , R3=12Q , R4=4Q ,R5=12Q , R6=4Q , R7=2Q ,设电压源 US=1OV ,求 i3,u4,u7.Ri+八【模型建立】解 设各个网孔的回路电流分别为b,ib和ic ,由物理学定律,任何回路中诸元件上电压之和等于0.据图可列出各回路的电压方程为(Rl + R2+R3)ia-R3ib =Us・R3ia+(R3+R4+R5)ib・R5ic =0・R5ib+(R5+R6+R7)ic =018-120-1228-120-1218ibic可写成矩阵形式为:R1+R2+R3・R30lac 、1-R3R3+R4+R5・R5ib—00a-R5R5+R6+R7y■IcJ 丿0记A为等式左端第一个矩阵，B为等式右端的第一个矩阵简写成 AI=BUS其中円ia,ib,ic）To已知Us=10V ,解矩阵方程得U=这就是问题的解.1 o 0 0.92590 1 0 0.55560.3704意味着iar0.9259/=ib—0.5556ic0.3704k 丿J 丿继而得到结论：任何稳态电路问题都可以用线性代数方程描述。

直流电路构成的是实系数方程，它的解为实数；而交流电路构成的是 复系数方程，它的解为负数所以用矩阵方程和计算机软件就显得更 为重要由此题我们看出矩阵在表示数方面有简洁直观、表现力强的 特点，是理论与实际结合的一个很好的触点三）生物遗传［heredity］的选种概率为了揭开基因遗传的秘密，有必要对基因遗传和近亲繁殖进 行研究，提出优选的办法，从而保证生物的连续性如果为了某 种实际目的，不希望生物的后代全是劣种，那么，在近亲繁殖下， 大约经过多少代应该重新选种模型假设】最初父母亲本可以是优种、混种或劣种，他们有大量后代， 从中随机选取一雄一雌进行交配，这样继续下去，分析后代的演 变情况由于每次进行繁殖是随机取来的一对，亲本中的父和母都可 能是D、H、R中的一种，组合起来有六种状态：DD、RR、DH、 DR、HH、HRo如DH状态表示取来是一优种和一混种交配六种状态按上述顺序记作状态1到状态6 ,状态转移概率Pij的含义为交配状态i转移到后代状态j的概率(其中i,j=1,2,3,4,5,6 例如，P54表示交配时的状态为5 (对应状态为HH ,即取一混种和一混种交配)，而后代为状态4(对。