二面角的定义课件.ppt

二面角一一、二面角的定义二面角的定义从从空空间间一一直直线线出出发发的的两两个个半半平平面面所所组组成成的的图图形形叫做二面角叫做二面角二面角二面角αβι二面角的平面角二面角的平面角角角 的平面角的平面角 一一个个平平面面垂垂直直于于二二面面角角的的棱棱，，并并与与两两半半平平面面分分别别相相交交于于射射线线PA、、PB垂足为垂足为P，则，则∠∠APB叫做二面叫做二面ABPγβαι二面角二面角二二、二面角的求法、二面角的求法1 1、直接法、直接法：：⑴⑴定义法定义法:a以二面角的棱以二面角的棱a上任意一点上任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于为端点，在两个面内分别作垂直于a 的两条射线的两条射线OA,OB，则，则∠∠AOB就是此二面角的平面角就是此二面角的平面角OAB在一个平面在一个平面 内选一点内选一点A A向另一平面向另一平面 作垂线作垂线ABAB，垂足为，垂足为B B，再过点，再过点B B向棱向棱a a作垂线作垂线BOBO，垂足为，垂足为O O，连结，连结AOAO，则，则∠AOB∠AOB就就是二面角的平面角是二面角的平面角ABO⑶⑶垂面法垂面法:a过二面角内一点过二面角内一点A A作作AB⊥ AB⊥ 于于B B，作，作AC⊥ AC⊥ 于于C C，面，面ABCABC交棱交棱a a于点于点O O，则，则∠BOC∠BOC就是二面角的平面角。

就是二面角的平面角ABCO⑵⑵三垂线定理法三垂线定理法:a二面角的求法ABCOcos(∮∮)=MN三角形ABC在平面N内的射影为BCO 三角形ABC的面积为S，三角形BCO的面积为S射面积法例例1. 在棱长为在棱长为a的正方体的正方体　　　　ABCD－A1B1C1D1中，中， 求求（1）平面平面C1BD与平面与平面　　　　ABCD所成角的大小；所成角的大小； （2）二面角二面角A－B1D1－C　　的大小　　的大小例题分析例题分析A1AC1BCB1D1DPO例例2.2.如如图图，，已已知知P P是是二二面面角角α-α-ABAB-β-β棱棱上上一一点点，，过过P P分分别别 在在 α α、、 β β内内 引引 射射 线线PMPM、、 PNPN，， 且且∠MPN=60º∠MPN=60º ∠BPM=∠BPN=45º∠BPM=∠BPN=45º ，求此二面角的度数求此二面角的度数βαABPMNCDO解解：：在PB上取不同于P 的一点O，在α内过O作OC⊥AB交PM于C，在β内作OD⊥AB交PN于D，连CD，可得∠COD是二面角α-AB-β的平面角设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45º∴CO=a， DO=a， PC a ， PD a又∵∠MPN=60º ∴CD=PC a∴∠COD=90º因此，二面角的度数为因此，二面角的度数为90ºaOPC二面角例例3 3．．如如图图P P为为二二面面角角α–α–ι– –β内内一一点点，，PA⊥α,PB⊥PA⊥α,PB⊥β,且且PA=5PA=5，，PB=8PB=8，，AB=7AB=7，求这二面角的度数。

求这二面角的度数 过过PA、PB的平面的平面PAB与与 棱棱ι 交于交于O点点∵PA⊥α α ∴PA⊥ι ∵PB⊥β ∴PB⊥ι ∴ι⊥平面PAB∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角又∵PA=5，PB=8，AB=7由余弦定理得由余弦定理得∴∠P= 60º ∴∠AOB=120º ∴这二面角的度数为这二面角的度数为120º解：解：βαABPιO二面角OABPC取取AB 的中点为的中点为E，连连PE，OE∵O为为 AC 中点中点， ∠ABC=90º∴OE∥BC且且 OE BC在Rt△POE中， OE ，PO ∴∴所求的二面角所求的二面角P-AB-C 的正切值为的正切值为例例4 4．．如如图图，，三三棱棱锥锥P-ABCP-ABC的的顶顶点点P P在在底底面面ABCABC上上的的射射影影是是底底面面RtRt△△ABCABC斜斜边边ACAC的的中中点点O O，，若若PB=AB=1PB=AB=1，，BC= BC= ，求二面角，求二面角P-AB-CP-AB-C的正切值的正切值∴∠PEO为二面角为二面角P-AB-C 的平面角的平面角在在Rt△PBE中中，BE ，PB=1，PEOE⊥AB ，因此因此 PE⊥ABE解：解：EOP二面角例5 已知：Rt△ABC中，AB=AC=a，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使∠BDC成直角。

求证：① 平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC ② ∠ BAC = 60证明：证明：①① 在图在图乙中乙中∵∵AD⊥⊥BD，，AD⊥⊥DC，，∴∴AD⊥⊥平面平面BDC，，∴ ∴平面平面ABD⊥ ⊥平面平面BDC，， ②② 在图在图甲中甲中∵∵AB=AC=a，，∠∠BAC=90在图在图乙中乙中∵△△ABC是等边三角形是等边三角形∴∴ ∠∠ BAC=60平面平面ACD⊥ ⊥平面平面BDC 又又∵∵AD 平面平面ABD，，AD 平面平面ACD，，∩∩BD=DC=BC/2=2/2DBACADBC(甲图）（乙图）例6、如图，设E为正方体的边CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1­所成角的余弦值 △AB1E在底面A1B1C1D1上的射影为△A1B1C1，故这两个平面所成二面角的余弦值为 ABCDA1B1C1D1EMABCA1B1C1例7：在直三棱柱ABC­A1B1C1中，BAC=900，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成300角，求二面角B­B1C­A的正弦值 NQ分析：易知，平面ABC与平面BCC1B1垂直故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线。

 h=1/3×2×， 解：由直三棱柱性质得平面ABC ⊥平面BCC1B1，过A作AN ⊥平面BCC1B1，垂足为N，则AN ⊥平面BCC1B1，（AN即为我们要找的垂线）在平面BCB1内过N作NQ棱B1C，垂足为Q，连QA，则NQA即为二面角的平面角∵AB1在 平 面 ABC内 的 射 影 为 AB， CAAB，∴CAB1A，AB=BB1=1，得AB1= ∵直线B1C与平 面 ABC成 300角 ， ∴B1CB=300， B1C=2，Rt△B1AC中，由勾股定理得AC= ，∴AQ=1在Rt△BAC中，AB=1，AC=，得AN= sinAQN= 即二面角B­B1C­A的正弦值为 1、、如如图图，，AB是是圆圆的的直直径径，，PA垂垂直直圆圆所所在在的的平平面面，，C是是圆圆上上任任一一点点，，则二面角则二面角P-BC-A的平面角为的平面角为:A.∠∠ABP B.∠∠ACP C.都不是都不是 练练 习习2、、已已知知P为为二二面面角角 内内一一点点，，且且P到到两两个个半半平平面面的的距距离离都都等等于于P到到棱棱的的距距离离的的一一半半，，则则这这个个二二面角的度数是多少？面角的度数是多少？pαβιABOABCP60º二面角二二、二面角的平面角二面角的平面角一一、二面角的定义二面角的定义 从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角1、定义、定义2、求二面角的平面角方法、求二面角的平面角方法①①点点P在棱上在棱上②②点点P在一个半平面上在一个半平面上③③点点P在二面角内在二面角内ABPγβαι小小结结αβιABαβιpιpαβABpαβιABO—定义法定义法——三垂线定理法三垂线定理法—垂面法垂面法二面角几点说明几点说明：：⑴⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。

此法得出的平面角在任作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法⑵⑵三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足此法一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法⑶⑶垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用择，所以此法一般不用⑷⑷以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角⑸⑸间接法是在不易作出平面角时用在解答题中要先证明射影面积公间接法是在不易作出平面角时用在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避免这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用了找平面角，但计算较繁，所以不常用。

二面角的求法ABCDAB=AD， BC=CD已知三个侧面的顶角,求相邻两个侧面所成的角注意一些全等三角形或相似三角形ＰＤＦＣＡＥＢ如下图：ＡＢＣＤ是正方形，Ｖ是平面ＡＢＣＤ外一点，且ＶＡ＝ＡＢ＝ＶＣ＝ＡＢ，求二面角Ａ－ＶＢ－Ｃ的大小ＶＤＡＥＣＢ。