4月南师大附中统测5.doc

2012届南京师大附中高三数学二轮复习周统测（五）（2012.3.28）（满分160分，考试时间120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卷相应的位置上.1．设复数且，则复数z的虚部为 ▲ ． 2．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如下图所示，则时速超过60km/h的汽车数量为 ▲ 辆．　　3．设函数，若，则 ▲ ． 4．已知向量==,若，则的最小值为 ▲ ． 5．点为圆的弦的中点，则该弦所在直线的方程是 ▲ ． 6．已知，则的值为 ▲ ． 7．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于 ▲ ． 8．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：仿此，若m3的“分裂数”中有一个是31，则m的值为 ▲ ．9．如图，四棱锥P—ABCD的底面为正方形，底面ABCD，开始?是输入p结束输出否PD=AD=1，设点C到平面PAB的距离为，点B到平面PAC的距离为，则比较的大小有 ▲ ． 10．执行如图的程序框图，若输出的＝5，则输入整数p的最小值是 ▲ ． 11．已知函数满足，且直线与的图象有5个交点，则这些交点的纵坐标之和为 ▲ ． 12．已知等比数列的前10项的积为32，则以下命题中真命题的编号是 ▲ ． ① 数列的各项均为正数；② 数列中必有小于的项；③ 数列的公比必是正数；④ 数列中的首项和公比中必有一个大于1．13．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动（说明：“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动．沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动．向右为顺时针，向左为逆时针）．设顶点p（x，y）的轨迹方程是，则在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积S是 ▲ ． 14．已知平面向量满足：，若，则的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15.(本小题共l4分)已知函数，xR．(1) 求的最小正周期和最小值；(2) 已知，，．求的值．16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点．(1) 求证：；(2) 当面积的最小值是9时，证明平面．17. (本小题满分14分)如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．18.(本小题满分16分)设A、B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴长等于焦距，且是它的右准线，(1) 求椭圆方程；(2) 设P为右准线上不同于点（4，0）的任一点，若直线AP、BP分别与椭圆交于异于A、B两点M、N，证明：点B在以MN为直径的圆内．19.(本小题满分16分)已知函数.(1) 若，试确定函数的单调区间；(2) 若且对任意，恒成立，试确定实数的取值范围；(3) 设函数，求证：．20.(本小题满分16分)已知等比数列的首项，公比，数列前n项和记为，前n项积记为．(1) 求数列的最大项和最小项；(2) 判断与的大小， 并求为何值时，取得最大值；(3) 证明中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为，证明:数列为等比数列．（参考数据）答案１．0；　２．38；　　３．-9；　　４．6；　　５．；　　６．；７．；　　８．6；　　９．；　　１０．8；　　１１．5；１２．③；　　１３．；　　１４．15.(1) 解析：， …………………………4分 ∴的最小正周期，最小值． ………………7分 (2) 证明：由已知得，两式相加得，∵，∴，则．……… 12分 ∴． ……………………………… 14分 16.解：（1）证明：连接，设与相交于点。

因为四边形是菱形，所以 又因为平面，平面为上任意一点，平面，所以------------------------- ------ 7分（2）连．由（I），知平面，平面，所以．在面积最小时，最小，则．，解得----------------------------------------- ------ ------ - 10分由且得平面则，又由 得，而，故平面------ 14分17.(1) 如图,不妨将摄影者眼部设为S点,做SC垂直OB于C,又故在中,可求得BA=3,即摄影者到立柱的水平距离为3米……… 3分 由SC=3，在中,可求得又故即立柱高为米. -------------------------- ------ ------ - 6分(2) （注：若直接写当时，最大，并且此时，得2分）连结SM,SN, 在△SON和△SOM中分别用余弦定理, 故摄影者可以将彩杆全部摄入画面. ……………………………………………………… 14分18.解：（1）由 得 方程为……………………………………………………………………… 6分（2）A（，0），B（2，0），令 M在椭圆上，，又M异于A、B点，，令 P、A、M三点共线，， …………… 10分，，>0，…………………… 14分 B在以MN为直径的圆内 ……………………… 16分19.解(1) ，令，解得当时，，在单调递增；当时，，在单调递减.……………………… 4分(2) 为偶函数，恒成立等价于对恒成立解法1:当时，，令，解得（I）当，即时，在减，在增，解得，（II）当，即时，，在上单调递增，，符合，综上，. …………………………10分（解法2: 等价于对恒成立, 设则.当时, ;当时, ;时, ）(3)。

……………………………16分20.解：（1）① 当n是奇数时，, 单调递减，,② 当n是偶数时，, 单调递增，；综上，当n=1时，; 当n=2时，.……4分 （2），，，则当时，；当时，，…… 6分 又，的最大值是中的较大者.，，因此当n=12时，最大. ………………………………………………………… 8分 （3）随n增大而减小，数列的奇数项均正数且递减，偶数项均负数且递增.①当n是奇数时，调整为.则，，成等差数列；②当n是偶数时，调整为；则，，成等差数列；综上可知，数列中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列.……12分 ①n是奇数时，公差；②n是偶数时，公差.无论n是奇数还是偶数，都有，则，因此，数列是首项为，公比为的等比数列. ……………………… 16分 7。