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斯托克斯公式证明环路定理作者：苏沛指导教师：髙建【摘要】引入环流量、旋度等概念，再运用斯托克斯公式证明恒稳磁场环路 定理，证明方法易懂关键词】环流量、旋度、环路定理、斯托克斯公式1.环流量与旋度给定一向量场A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,设L为场内一有向闭曲线，L上与指定方向一致的单位切向量为- 则曲线积分J A* ds = f "rdsL L称为向量场A沿有向闭曲线L的环流量设S是以L为边界的有向曲面，曲线L的方向与曲面S的侧符合右手规 则，由斯托克斯公式有J A* ds = J Pdx + Qdy + Rdzff（竺-塹如+ （兰-沦也& + （空-4dy,J? dy dz dz dx dx dy(肇-££)； +(? 一 <)丿+(字一眾庆称为向量场A的旋度，记为 oy dz dz ox dx dyrot A,于是利用旋度可将斯托克斯公式写成如下形式：rotA*dS = f A*dl s L它表示向量场A沿有向曲线L的环流量等于其旋度rotA通过以L为边界所张的曲面S的通量旋度是一个向量，它是由向量场A产生的向量场，称为旋度场如果A表示稳定流动的不可压缩流体的流速场，那么环流量J A'ds表示单位时L间内沿闭曲线L的流体总量，反映了流体沿L时的旅转强弱程度。

当rotA三0时， 即沿任意闭曲线的环流量为零，此时流体流动时不形成漩涡，称A为无旋场1. 设L为场内一有向闭曲线，L上与指定方向一致的单位切向量为=%ydz + （兰-叫dzdx + （竺-兰）如ydy dz dz dx dx dy三 Jj rotA・dS = f A・dss L2.稳恒磁场环路定理证明计算载流圆柱体周围磁场空间磁场强度〃矢量的旋度，设载流圆柱体的半径 为R,电流强度为I,且均匀分布在截面上由环路定理得其周围空间各点处和仆基旋度的柱坐标形式大小为“=（丄萤一些” + （生一也a + （丄込-丄生庆r da dz dz dr r dr r daI的流向沿Z轴方向，沿i•为径向，Q为切线方向，已知乞=0, % = 0,號=则导体外部H的旋度为：“出外=（丄坐-磴》+ （生-坐加+ （-！^ +生）"0r da dz dz dr dr da同理可得7〜 A dHz 帆 dH. A次广纭1前八/ 1厂r da dz dz dr r dr r da 刃L上述结果表明，只有载流导体内部各点处H的旋度不为零，其大小等于一个 常量 所以由 JJ rotA^dS = j A^dl 可得：、H・dl =1s L L这一结论可推广到L中包含多个电流的情况，即为\H・dl二f ZL E此式即为稳恒磁场的环路定理。

参考文献[1] 谢云苏，傅英定，微积分下册，高等教育出版社,2009年6月[2] 孙云卿，雷雨，大学物理学，科学出版社。