利用直线倾斜角求椭圆焦半径含解析数理化网.docx

莉用直线倾斜角求椭圆焦半径今天我们研究利用直线倾斜角求椭圆焦半径•根据椭圆的第二定义，可以推导出椭圆焦半径含倾斜角的公式，而且当倾斜角为直角时，焦点弦最短先看例题:22xy例：已知椭圆C：r牙1但>b>0),其相应于焦点F(2,0)的准线方程为x=4.已知过点Fi(—2,0)ab倾斜角为B的直线交椭圆C于A,B两点，求证:|AB|4222cos解:c2,根据题目条件，可知a24,a2b2•••可以解得:2ca28,b24.22•椭圆c的方程为xL841•离心率e又Fi(—2,0是椭圆C的左焦点，设I为椭圆的左准线则l:x=—4.作AAi丄I于Ai,BBi丄I于Bi,l与x轴交于点H(如图).•••点A在椭圆上•IAh|-lAA^I手(刊||AFi|cos)三—|AF,|cos2•IAF,|cos同理：|BF1|2寸2cos•••|AB|=|AFi|+|BFi|22_.2cos2cos4逅2cos2另解：当时，记k=tanQ则AB：y=k(x+2),2将其代入方程x2+2y2=8得(1+2k2)x2+8k2x+8(k2-1)=0.设A(X1,yd,B(x2,y2),则X1,X2是此二次方程的两个根.%x28k28(k21)12k2|AB|(X!X2)2(力y2)2.(1k2)(X!X2)2.(1k2)[(X1.(1k2)[(X1X2)24x1X2]8k2)22k2)8k2)22k2)32(k21)12k2].•••k2=tan2Q代入①式得|AB|4.22cos242(1k2)2k2当3时,|AB|2勺仍满足②式•|AB|•|AB|422cos2注意：另解思考上更直接，但明显运算量较大。

规律整理:对于焦点在x轴上的椭圆:2221(ab0)，左焦点F1,焦准距pb2|BFi|ep1ecos|AFi|ep1ecosIBFiep1ecos2x2a21(ab0)，右焦点F，焦准距a2b2ep|BF|1ecos|AF|1ecos再看一个例题，加深印象2x例：已知椭圆C：飞a2x例：已知椭圆C：飞ab21(ab0)的离心率为'3，过右焦点2F且斜率为k(k>0)的直线I与椭圆C相交于A，B两点，若AF3FB，则k=解：根据前面的公式，分别表示出|AF|ep1ecos|BF|ep1ecos根据题意有:ep1ecos3ep1ecos所以cos进而tan进而tan总结:1•椭圆的焦点在x轴上，利用直线倾斜角可以直接写出椭圆焦半径2•本文的公式都是以倾斜角为锐角的情形推导的，若倾斜角为直角或者钝角仍然成立3•当倾斜角为直角时，焦点弦最短即为椭圆的通径练习:221•已知椭圆C:—841，过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A,B和D,E,求|AB|+|DE|的最小值.22Xy2•设椭圆C：r牙1(ab0)的左焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,ab直线l的倾斜角为60°,AF'2FB.求椭圆C的离心率；答案1.解：设直线AB倾斜角为Q由于DE丄AB,4迈W2|AB|—,|DE|厂.2cos2sin4庞4运|AB||DE|—2—2cos2sin12.212.2sinecos1ecos1coscos22.2.解:|AF|4时,|AB|+|DE|取得最小值呼.—|BF|1ecosep1ecosep2ep另解：设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知yi<0,y2>0.直线I的方程为y3(xc)，其中cab联立y3(x22xy2.2abc),得(3a21b2)y22,3b2cy3b40解得y1低2(c2a)73b2(c2a)3a2b2，y23a2b2因为AF2FB,所以y12y2.3b2(c2a)3a2b2、、3b2(c2a)3a2b2c得离心率e-a另解：与直接用焦半径公式比较，计算繁琐。