第一章：命题逻辑.doc

1.1 命题符号化及联结词 [教学重点] 命题的概念和六个联结词的定义 [教学目的]1：使学生了解逻辑的框架，命题逻辑的基本要素是命题 2：通过示例理解命题的概念 3：通过示例理解合取、析取、异或、蕴涵、等价的含义，了解逻辑语言的精确性，为学习逻辑学打好基础 4：学会命题符号化的方法 [教学准备] [教学方法]讲述法 [课时安排]二课时 [教学过程]讲述：逻辑是解决推理方法的学科，中心是推理，基本要素是命题，称为命题逻辑数理逻辑则是用数学方法研究推理； 首先要理解命题是什么，然后了解怎样用数学方法描述命题，甚至逻辑推理后者是命题符号化的问题板书：第一章 命题基本概念1.1 命题及其符号化讲述： 首先讨论命题板书：一 命题A) 概念：能判断真假的陈述句判断要点：a 陈述句；b 或真或假，唯一真值；讲述：例：(1) 地球是圆的； 真的陈述句，是命题(2) 2+3=5； 真的陈述句，是命题(3) 你知道命题逻辑吗？ 非陈述句，故非命题(4) 3-x=5； 陈述句,但真假随x的变化而变化，非命题(5) 请安静！ 非陈述句，故非命题(6) 火星表面的温度是800°C； 现时不知真假的陈述句，但只能要么真要 么假，故是命题(7) 明天是晴天； 尽管要到第二天才能得知其真假，但的确 是要么真要么假，故是命题 (8) 我正在说谎； 无法得知其真假，这是悖论注意到(4)不是命题，后续章节中会提到，这被称为谓词，命题函数或命题变项。

板书：B) 命题的真值表示： 真：1或T假：0或FC) 分类：a 简单命题，通常用p,q,r,…,等表示命题变项和命题常项； b 复合命题，由简单命题和联结词构成；讲述： 简单命题可以简单地用单个字母表示，但复合命题还包含了联结词，多个命题变项由联结词联结起来成为复合命题所以还需要考虑联结词的问题板书：二 逻辑联结词讲述： 首先最为简单的一种情况，就是日常语言中所说的“不”，这是对原有意思的的否定，所以称为否定式板书：1) 否定式和否定联结词：命题p的非或否定，称为p的否定式，表示为Øp；符号Ø即为否定联结词用表格表示：pØpTFFT讲述：严格说，不是复合命题示例：p：今天天气好；Øp：今天天气不好p：2＋5 > 1； Øp： 2+5≤1；在此情形下，p为真，Øp为假讲述： 问题：北京和上海都是中国的直辖市显然这个句子可分成两个句子，中间由“和”、“且”之类的联结词联结这类的联结词我们统称为“合取”板书： 2）合取式和合取联结词 且称为的合取式，记为；符号Ù即为合取联结词pqp∧qTTTTFFFTFFFF逻辑“与”讲述： 相应的日常用语还有一些板书：“既…又…”，“不但(仅)…而且…”，“虽然…但是…”。

讲述：例： 1) p: 今天大太阳，q: 今天热，p∧q: 今天大太阳且热； 2) p: 今天上课有人迟到，q:2+5>1, p∧q: 今天上课有人迟到且2+5>1； 3)p: 李平聪明，q: 李平用功，p∧Øq: 李平虽然聪明，但不用功；讲述：注意到2)中的结果，我们可以用逻辑联结词来联结两个日常生活中无关的命题另外也要注意日常语言中的“和”，不一定都能用∧表示示例：“新闻和报纸不分家”，“我和你是同学”讲述： “或”也是非常常用的联结词例：(1) 文文或华华今天出差2) 他今天骑车或走路来上课讲述：(1)一般情况下两个人可能同时去出差，即可以同时为真，是相容的，所以是“相容或”板书： 相容或讲述：(2)在这两种情况下，或者发生一种，或者都不发生(如他今天是乘公共车来上课的)，但不可能二者同时发生，即不可能二者同时为真，所以是“相斥或”在自然语言中类似的“相斥或”是很多的，又如“刘苘或李兰是三班班长”板书： 相斥或 我们可以看到在日常语言中，“或”具有多义性，但我们用符号表示时，却必须避免这种歧义性通常把相容或称为“析取”，而相斥或则称为“异或”板书： 3）析取式和析取联结词 p或者q称为p，q的析取式，记为p∨q；符号Ú即为析取联结词。

pqp∨qTTTTFTFTTFFF逻辑“或”讲述： “如果…则…”也是一类常见的联结词这是有条件和结论的一类，称为“条件式”，也称为“蕴涵式”板书： 4）蕴涵式和蕴涵联结词 如果则称作、的蕴涵式，记为®为蕴涵联结词，、分别为蕴涵式的前件和后件讲述：示例:一位父亲对儿子说：“如果星期天天气好，就一定带你去动物园问：在什么情况下父亲食言？父亲的可能情况有如下四种：(1) 星期天天气好，带儿子去了动物园；(2) 星期天天气好，却没带儿子去动物园；(3) 星期天天气不好，却带儿子去了动物园；(4) 星期天天气不好，也没带儿子去动物园显然，(1), (4)两种情况父亲都没有食言；(3)这种情况和父亲原来的话没有相抵触的地方，当然也不算食言；只有(2)这种情况，答应的事却没有做，应该算是食言了2)对应着“前件真后件假”的情况，使得蕴涵式为假，而其它三种情况都使得蕴涵式为真板书：pqp®qTTTTFFFTTFFT讲述：这里注意到：在蕴涵式p®q中，p是q的充分条件，q是p的必要条件这类的联结词还有：板书：p®q：“只要p就q”，“p仅当q”，“只有q才p”等讲述：蕴涵式的一个应用：数学归纳法(1)证明P(n0)成立；(2)证明当k≥n0时P(k)®P(k+1)总是成立。

在(2)中，P(k)®P(k+1)总是成立，意味着P(k)®P(k+1)的真值为T，从而只可能是上述表中的第1, 2, 4种情形，而(1)中证明了前件为真，所以后件也一定为真讲述： 前面讲述描述了充分条件或必要条件的表示，现在我们可以表示充要条件了： “p是q的充要条件”，“p是q的充分条件”且“p是q的必要条件”，可以用蕴涵和合取两者描述板书：p®q∧q®p讲述：这个表达式较为复杂，所以用一个联结词“等价”简单表示自然语言中通常表述为“当且仅当”板书： 5）等价式和等价联结词 当且仅当称作、的等价式，记为«称为等价联结词 TTTTFFFTFFFT讲述：以上介绍了五种常用的逻辑联结词以及与之相关的复合命题这些联结词反映了复合命题及其支命题之间抽象的逻辑关系复合命题的符号化一般可以根据上述定义进行，基本步骤如下：板书： 符号化基本步骤：1) 找出各个支命题，并逐个符号化；2) 找出各个连接词，符号成相应联结词；3) 用联结词将各支命题逐个联结起来；示例：将下列命题符号化： (1) 辱骂和恐吓决不是战斗；(2) 李瑞和李珊是姐妹； (3) 除非天气好，否则我是不会去公园的；(5) 李明是计算机系的学生，他住在312室或313室．讲述： 分析并符号化，强调在进行命题符号化以前，必须明确含义，删除歧义，这是命题翻译的关键之点。

1) p：辱骂是战斗；q：恐吓是战斗符号化为Øp∧Øq2) p：李瑞和李珊是姐妹符号化为p3) p：今天天气好；q：我去公园符号化为q®p4) p：李明是计算机系的学生；q：李明住在312室；r：李明住在313室 因为李明不可能既住在312室又住在313室，符号化为p∧((q∧Ør) ∨ (Øq∧r))或者p∧(q ∨r) 讲述：最后，复习一下本节所讲述的内容作业：1.2 命题公式和真值赋值 [教学重点] 合式公式及层次，解释的含义，真值表的构成 [教学目的]1：使学生了解合式公式和公式层次的定义，理解递归定义法的方法 2：学会描述公式的形成过程 3：理解解释的含义，领会公式分类的要点4：使学生了解并学会应用真值表的构成方法 5：复习并进一步理解命题逻辑的基本概念 [教学准备] [教学方法]讲述法 [课时安排]二课时 [教学过程]讲述： 复习并示例：判断是否式命题，如果是，则符号化1) 922+97+1；2) x + 5 > 63) 理发师只给所有那些不给自己理发的人理发；（罗素悖论） 4) 李兰现在在宿舍或在图书馆里； 5) 蓝色和黄色可以调配成绿色；6) 如果晚上小王做完了做业并且没有其他事情，他就看电视或看电影。

问题： 在6)中获得一个长串的字符串，这里当然表示了一个命题，但是不是任何一个字符串能表示一个命题呢？或者称为命题公式呢？抽象地说，命题公式是由命题常项、命题变项、联结词、括号等组成的符号串，但并不是由这些符号任意组成的符号串都是命题公式板书 1.2合式公式及其解释讲述： 首先自然先要了解什么公式板书：一 合式公式1) 合式公式：(1) p, q, r, … ,1 , 0 是合式公式；(2) 如果A是合式公式，则ØA也是；(3) 如果A和B是合式公式，则Øp、p Ù q、p Ú q、p ® q、p « q也是；(4) 有限次应用(1)-(3)构成的符号串才是合式公式讲述： 上述定义方法称为递归定义法（递归就是一个过程直接或间接地调用自己），递归法定义是离散数学中常用的方法其中，（1）是递归定义的基础，直接规定简单的内容；（2）, （3）是递归定义的归纳，规定了是由简单到复杂的过程；（4）是递归定义的界限，规定了满足前述（1）~（3）条件的最小范围递归算法在计算机中容易实现，如C语言中的汉诺塔、n的阶乘、求两个数的最小公约数就是用递归的方法实现的）板书：递归定义法：递归基础、递归归纳、递归界限讲述在一个复杂的公式中，为了避免歧义需要引进许多的括号，但如果括号太多会使人眼花缭乱，如((pÙ(qÚr))®((pÚq)Ù(rÚs)))，共有6对括号，书写简单，可以省略括号板书：省略括号的约定：(1) 公式最外层的括号可以省略；(2) 规定联结词的运算优先级别由高到低是：Ø、Ù、Ú、®、«，若无括号，优先级高的先运算；(3) 若同一个联结词连续多次出现且无括号，则按从左到右的顺序运算。

讲述：按照上述约定，((pÙ(qÚr))®((pÚq)Ù(rÚs)))省略了三对括号简化为pÙ(qÚr) ®(pÚq)Ù(rÚs)省略括号只是让公式书写简便，但并不能改变其复杂性示例(1) (((p®q)∧(q®r)) ®(p∨r)) p、q是公式，(p®q)是公式；q、r是公式，(q®r)是公式；((p®q)∧(q®r))是公式；p、r是公式，(p∨r )是公式；(((p®q)∧(q®r)) ®(p∨r。