量子力学与统计力学各章习题.doc

量子力学与统计力学?各章习题习题一1.1、一颗质量为20克的子弹以仰角30初速率500米/秒从60米的高度处射出求在重力作用下该子弹着地前的轨道以及射出50秒后对射出点的位矢、速度、动量、角动量、动能和机械能〔不考虑空气阻力，重力加速度取10米/秒2，地面为零重力势能面〕1.2、在极坐标平面中任取两点P1和P2，但它们和极点三者不共线试分别画出在P1和P2处的极坐标单位矢1.3、在球坐标系中任取一点P，试画出P点的球坐标单位矢1.4、对于做斜上抛运动的子弹，以抛出点为坐标系原点建立直角坐标系试分别选取两组不同的广义坐标，并用之表示子弹在任一时刻的直角坐标1.5、氢原子由一个质子和一个电子组成试说明一个孤立氢原子体系是根本形式的Lagrange方程适用的体系1.6、证明: Lagrange方程的根本形式〔1.59〕式可写为如下的Nielsen形式：, 1.7、设一个s自由度的体系的广义坐标为试证明存在一个任意可微函数，由它与该体系的Lagrange函数构成的如下函数 满足Langrange方程〔1.67〕式1.8、设一个s自由度的体系的广义坐标为，满足Langrange方程〔1.67〕式的Lagrange函数为。

设存在另一组广义坐标，，且有变换方程 ， 此变换叫做点变换证明： 假设通过上述点变换将变换为，那么有 这就是说，Lagrange方程的形式与所选用的广义坐标无关1.9、一个质量为m的物体在地球(质量为M)引力场中做周期运动以地心为极点在轨道平面上建立极坐标系，并选极坐标为广义坐标1〕、写出该物体的Lagrange函数，广义动量，所受的广义力，并由Lagrange方程导出该物体的径向和横向运动方程；2〕、写出该物体的Hamilton函数， 并由Hamilton正那么方程导出该物体的径向和横向运动方程1.10、一个体系由n个粒子组成，粒子质量分别为 此体系在外势场中运动，第i个粒子在此外势场中的势能为，第i个粒子的动量为, 这n个粒子间的相互作用能为1〕、写出该体系的Lagrange函数和Hamilton函数;2〕、写出原子序数为Z的原子中的电子体系的Lagrange函数和Hamilton函数1.11、写出一个自由粒子在球坐标系中的广义动量及Hamilton函数1.12、假设函数及均为正那么变量、及时间t 的函数，即它们的泊松括号定义为证明：1〕、；2〕、Hamilton正那么方程可有如下形式其中，H是体系的Hamilton量。

3〕、1.13、试写出一个单原子分子的能量曲面方程，并计算能量曲面所包围的相体积1.14、一个双原子分子的运动通常包括分子质心的平动、两个原子绕质心的转动和原子间的相对振动试写出一个刚性双原子分子(即不考虑原子间的相对振动)的能量曲面方程，并计算能量曲面所包围的相体积1.15、一容器内装有一种单原子分子组成的理想气体，设容器体积为V，分子总数为N，分子质量为m1)、写出此单原子分子气体的哈密顿量H2)、计算此系统能量的曲面所包围的相体积的大小1.16、一个质量为m的质点在力的作用下在一个固定的光滑水平面上运动假设在此水平面上建立直角坐标系，那么，其中，和均为常量试计算该粒子能量为时能量曲面所包围的相体积1.17、试利用Kronecker符号、Levi-Civita符号的定义、行列式运算规那么和Einstein求和约定验证或证明：1)、； 2)、； 3)、；4)、； 5)、1.18、试利用Einstein求和约定证明:1)、 2)、9、一个质量为m荷电q的粒子在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中运动试选直角坐标为广义坐标, 坐标原点为电势零点, 分别写出在对称标准和Landau标准下该粒子的Lagrange函数和Hamilton函数，并分析Hamilton函数表达式的能量组成形式。

1.20、试由Maxwell方程组〔1.159〕，并利用式〔1.150〕推导式〔1.179〕复习总结要求一1a、用一句话概述本章内容1b、用一段话扼要表达本章内容1c、以两粒子体系为例，推导根本形式的Lagrange方程、保守系的Lagrange方程和Hamilton正那么方程1d、以习题1.19中的体系为例，仿照 1.7，从根本形式的Lagrange方程出发推导Lagrange方程1e、系统地总结本章的根本概念、根本公式、重要结论和结果以及根本技能。