自考概率论与数理统计（经管类）笔记.pdf

前言前言前言前言 本课程包括两大部分：第一部分为概率论部分：第一章至第五章，第五章为承前启后 章，第二部分为数理统计部分：第六章至第九章 第一章第一章第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率随机事件与概率随机事件与概率 本章概述本章概述本章概述本章概述 . 内容简介内容简介内容简介内容简介 本章是概率论的基础部分，所有内容围绕随机事件和概率展开，重点内容包括：随机 事件的概念、关系及运算，概率的性质，条件概率与乘法公式，事件的独立性 本章内容本章内容本章内容本章内容 §1.1 §1.1 §1.1 §1.1 随机事件随机事件随机事件随机事件 1.随机现象： 确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等； 不确定现象： 随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的 可能性等；更多内容请与 ：67460666 ：kaopass 索取 其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等 结论：随机现象是不确定现象之一 2.随机试验和样本空间 随机试验举例： E1：抛一枚硬币，观察正面 H、反面 T 出现的情况 E2：掷一枚骰子，观察出现的点数 E3：记录 110 报警台一天接到的报警次数。

E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命 E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差 E6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标 随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机 性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验 样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作所有样本 点的集合称为样本空间，记作 举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大 于 2 点”，“小于 4 点”等更多内容请与 ：67460666 ：kaopass 索取 3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用 A,B,C,…表示只包 含一个样本点的单点子集{}称为基本事件 必然事件：一定发生的事件，记作 不可能事件：永远不能发生的事件，记作 4.随机事件的关系和运算 由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运 算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述 （1）事件的包含和相等 包含：设 A，B 为二事件，若 A 发生必然导致 B 发生，则称事件 B 包含事件 A，或事 A 包含于事件 B，记作，或。

性质： 例：掷骰子，A：“出现 3 点”，B：“出现奇数点”，则 注：与集合包含的区别更多内容请与 ：67460666 ：kaopass 索取 相等：若且，则称事件 A 与事件 B 相等，记作 A＝B （2）和事件 概念：称事件“A 与 B 至少有一个发生”为事件 A 与事件 B 的和事件，或称为事件 A 与事件 B 的并，记作或 A＋B 解释：包括三种情况①A 发生，但 B 不发生，②A 不发生，但 B 发生，③A 与 B 都 发生 性质：①，；②若；则 推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作和 举例：A：“掷骰子出现的点数小于 3”与 B：“掷骰子点数大于 4”则 A∪B{1，2，5， 6}更多内容请与 ：67460666 ：kaopass 索取 （3）积事件 概念： 称“事件 A 与事件 B 同时发生”为事件 A 与事件 B 的积事件， 或称为事件 A 与 B 的交，记作 A∩B 或 AB更多内容请与 ：67460666 ：kaopass 索取 解释：A∩B 只表示一种情况，即 A 与 B 同时发生 性质：①，；② 若，则 AB＝A 推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作和。

举例：A：“掷骰子出现的点数小于 5”与 B：“掷骰子点数大于 2”则 AB＝{3, 4} （4）差事件 更多内容请与 ：67460666 ：kaopass 索取 概念：称“事件 A 发生而事件 B 不发生”为事件 A 与事件 B 的差事件，记作 A－B. 性质：① A－；② 若，则 A－B＝ 举例：A：“掷骰子出现的点数小于 5”与 B：“掷骰子点数大于 2”则 A－B＝{1，2} （5）互不相容事件 更多内容请与 ：67460666 ：kaopass 索取 概念：若事件 A 与事件 B 不能同时发生，即 AB＝，则称事件 A 与事件 B 互不相容 推广：n 个事件 A1，A2，…，An两两互不相容，即 AiAj＝，i≠j，i，j＝1，2，…n 举例： A： “掷骰子出现的点数小于 3”与 B： “掷骰子点数大于 5”则 A 与 B 互不相容 （6）对立事件：更多内容请与 ：67460666 ：kaopass 索取 概念：称事件“A 不发生”为事件 A 的对立事件，记做. 解释：事件 A 与 B 互为对立事件，满足：①AB＝ф；②A∪B＝Ω 举例：A：“掷骰子出现的点数小于 3”与 B：“掷骰子点数大于 2”则 A 与 B 相互对立 性质：①；更多内容请与 ：67460666 ：kaopass 索取 ②，； ③A－B＝＝A－AB； 注意：教材第 5 页的第三条性质有误。

④A 与 B 相互对立A 与 B 互不相容. 小结：关系：包含，相等，互不相容，互为对立； 运算：和，积，差，对立. 更多内容请与 ：67460666 ：kaopass 索取 （7）事件的运算性质 ①（和、积）交换律 A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A； ②（和、积）结合律 （A∪B）∪C＝A∪（B∪C），（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）； ③（和、积）分配律 A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B） ∪（A∩C）更多内容请与 ：67460666 ：kaopass 索取 ④对偶律 ；. 例 1 习题 1.1，5（1）（2） 设 A，B 为两个随机事件，试利用事件的关系与运算证明： 证明：更多内容请与 ：67460666 ：kaopass 索取 更多内容请与 ：67460666 ：kaopass 索取 证明：更多内容请与 ：67460666 ：kaopass 索取 例 2.习题 1.1，6 请用语言描述下列事件的对立事件： （1）A 表示“抛两枚硬币，都出现正面”； 答案：：“抛两枚硬币，至少有一枚出现反面” （2）B 表示“生产 4 个零件，至少有 1 个合格” 答案：：“生产 4 个零件，没有 1 个是合格的”。

§§§§1.21.21.21.2 概率概率概率概率 1.频率与概率 （1）频数与频率：在相同条件下进行 n 次试验，事件 A 发生 nA次，则称 nA为事件 A 发生的频数；而比值 nA/n 称为事件 A 发生的频率，记作 fn（A）. （2）fn（A）的试验特性：随 n 的增大，fn（A）稳定地趋于一个数值，称这个数值为 概率，记作 P（A）. 更多内容请与 ：67460666 ：kaopass 索取 （3）由频率的性质推出概率的性质 ①推出① ②，推出②P（ф）＝0，P（Ω）＝1 ③A，B 互不相容，推出③P（A∪B）=P（A）＝P（B），可推广到 有限多个和无限可列多个. 更多内容请与 ：67460666 ：kaopass 索取 2.古典概型 概念：具有下面两个特点的随机试验的概率模型，称为古典概型： ①基本事件的总数是有限个，或样本空间含有有限个样本点； ②每个基本事件发生的可能性相同 计算公式： 例 3.P9 例 1－8 抛一枚均匀硬币 3 次， 设事件 A 为“恰有 1 次出现正面”， B 表示“3 次均出现正面”， C 表示“至少一次出现正面”，试求 P（A），P（B），P（C）。

解法 1 设出现正面用 H 表示，出现反面用 T 表示，则样本空间 Ω={HHH，THH，HTH， HHT，TTH，THT，HTT，TTT}，样本点总数 n=8，又因为 A={TTH，THT，HTT}，B={HHH}， C={HHH，THH，HTH，HHT，TTH，THT，HTT}， 所以 A，B，C 中样本点数分别为 rA=3，rB=1，rc=7， 则 解法 2 抛一枚硬币 3 次，基本事件总数 n=2 3，事件 A 包含了 3 个基本事件：“第 i 次是正面，其他两次都是反面”，i＝1，2，3，而且 rA=3 显然 B 就是一个基本事件，它包含的基本事件数 rB=1 它包含的基本事件数 rC=n-rB=2 3-1=7 更多内容请与 ：67460666 ：kaopass 索取 故 例 4.P10 例 1－12 一批产品共有 100 件，其中 3 件次品现从这批产品中接连抽取两次，每次抽取一件， 考虑两种情况： （1）不放回抽样，第一次取一件不放回，第二次再抽取一件； （2）放回抽样，第一次取一件检查后放回，第二次再抽取一件 试分别针对上述两种情况，求事件 A“第一次抽到正品，第二次抽到次品”的概率。

解：（1）更多内容请与 ：67460666 ：kaopass 索取 （2）更多内容请与 ：67460666 ：kaopass 索取 3.概率的定义与性质 （1）定义：设 Ω 是随机试验 E 的样本空间，对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数， 记为 P（A），称 P（A）为事件 A 的概率，如果它满足下列条件： ①P（A）≥0； ②P（Ω）＝1； ③设，，…，，…是一列互不相容的事件，则有 . （2）性质 ①，； ②对于任意事件 A，B 有； ③； ④. 例 5.习题 1.2 11 设 P（A）=0.7，P（B）=0.6，P（A－B）＝0.3，求 解：（1）P（A－B）＝P（A）－P（AB） 更多内容请与 ：67460666 ：kaopass 索取 ∴P（AB）＝P（A）－P（A－B） ＝0.7－0.3＝0.4 例 6. 习题 1.2 13 设 A，B，C 为三个随机事件，且 P（A）＝P（B）＝P（C）＝，P（AB）＝P（BC）＝， P（AC）＝0求：更多内容请与 ：67460666 ：kaopass 索取 （1）A，B，C 中至少有一个发生的概率； （2）A，B，C 全不发生的概率。

解： （1）“A，B，C 至少有一个发生”表示为 A∪B∪C，则所求概率为 P（A∪B∪C）＝P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）－P（AC）－P（BC）+P（ABC） §1.3§1.3§1.3§1.3 条件概率条件概率条件概率条件概率 1.条件概率与乘法公式 条件概率定义：设 A，B 为两个事件，在已知事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率， 称为事件 B 发生条件下事件 A 发生的条件概率，记做 P（A|B）. 例 7 P13 例 1－17. 某工厂有职工 400 名，其中男女职工各占一半，男女职工中技术优秀的分别为 20 人与 40 人，从中任选一名职工，试问：更多内容请与 ：67460666 ：kaopass 索取 （1）该职工技术优秀的概率是多少？ （2）已知选出的是男职工，他技术优秀的概率是多少？ 解：设 A 表示“选出的职工技术优秀”，B 表示“选出的职工为男职工”按古典概型 的计算方法得： （1） （2） 计算公式：设 AB 为两个事件，且 P（B）0，则 乘法公式：当 P（A）0 时，有 P（AB）＝P（A）P（B|A）； 当 P（B）0 时，有 P（AB）＝P（B）P（A|B）. 推广：更多内容请与 ：67460666 ：kaopass 索取 ①设 P（AB）0，则 P（ABC）＝P（A）P（B|A）P（C|AB） ②设，则 例 8 P15 例 1－22. 盒中有 5 个白球 2 个黑球，连续不放回地在其中取 3 次球，求第三次才取到黑球的概 率。

解：设 Ai（i=1，2，3）表示“第 i 次取到黑球”，于是。