第十九讲 正态总体均值及方差的区间估计.docx

第十九讲正态总体均值及方差的区间估计1.单个正态总体方差的区间估计设总体X〜N(PQ 2), (X ,X …,X )1 2 n为来自X的一个样本，已给定置信度(水平) 为1-a，求b 2的置信区间第七章参数估计第5节正态总体均值及方差的区间估计单个正态总体均值的区间估计①当b2已知时，卩的置信水平为1 — a的置信区间为:①当卩已知时，由于X〜N( 2)，因此,iX — L1i 〜N(0,1) ( i = 1,2,…,n) b由X 2分布的定义知：(5.1)②当b 2未知时，卩的置信水平为1-a的置信区间为g (X -卩)2b 2i=1〜X 2(n)，据X 2(n)分布上«分位点的定义，有:P{X21_a2(n) < Yi=1< X2(n)} = 1 — aa2从而工(X —卩)2iP { X 2(n)a< b 2 < -4=—X 2_(n)1_a2故b 2的置信度为1-a的置信区间为:Y (X —卩)2i-i=1 X 2(n)a2Y (X _ 卩)21-4=1 X 2_(n)1_a2丿②当卩未知时，据抽样分布有:(n — 1) S 2b 2〜X 2(n — 1)类似以上过程，得到t (n — 1) a2 丿(5.4)注意：当分布不对称时，如X 2分 布和F分布，习惯上仍然取其对 称的分位点，来确定置信区间， 但所得区间不是最短的。

n — 1) S 2 (n — 1) S 2< b 2

1 2（1）当G 2Q 2已知时，由第六章定理1矢口，1 2G 2 G 2X 〜N（卩—），Y 〜N（卩，—），1 m 2 n又X与戶相互独立，所以在实际中常遇到下面的问 题：已知产品的某一质量指标服 从正态分布，但由于原料、设备 条件、操作人员不同，或工艺过 程的改变等因素，引起总体均 值、总体方差有所改变，我们需 要知道这些变化有多大，这就需 要考虑两个正态总体均值差或 方差比的估计问题G 2 G 2X — Y 〜N (|LX — |LX , —1 + 亠)，1 2 m n即(x ― y)-(叫-巴2G 2 G 21 + 2m n〜N (0,1)；所以可以得到卩-卩的一个置信水平为1 21-0的置信区间为：G 2 G 2(X - Y) 土 z - 4 + 2° V m n（2）当G 2 =G 2 =G 2，但G 2未知时，由第1 2六章定理4知：(X — Y)-(卩-卩)土 2—S 1 + +w m n〜t(m + n - 2)(m -1) S 2 + (n -1) S 2+ 2m + n - 2从而可得：卩-卩的一个置信水平为1-0的1 2置信区间为：-Y 土 t (m + n - 2) - S 1 + ■+° w m n例2 :为比较I, II两种型号步枪子弹的枪 口速度，随机地取I型子弹10发，得到枪口 平均速度为X二500(m/s)，标准差1s = 1.10(m/s)，取II型子弹20发，得到枪1口平均速度为x = 496(m/s)，标准差2s = 1.20(m/s)，假设两总体都可认为近似地2服从正态分布，且由生产过程可认为它们的 方差相等，求两总体均值差卩-卩的置信度1 2为0.95的置信区间。

解：结合实际，可认为来自两个总体的样本 相互独立因两个总体的方差相等，却未知, 所以卩-卩的一个置信水平为1 -a的置信1 2一 Y 土 t (m + n 一 2) - S 1 + 丿a w、m n区间为(m -1) S 2 + (n -1) S 22此处，1-a = 0.95, a/2 = 0.025,m = 10, n = 20, m + n - 2 = 28 ,查表得t (28) = 2.0484，0.025在该题中所得置信区间的 下限大于0,在实际中我们就认 为卩比卩大(可信度为95%)；1 2相反，若下限小于0,则认为卩1 与卩没有显著的差别2又 s2 = 9 X H9 X 亠w 28s = s2 = 1.1688，w w故所求置信区间为：£ - r 土 s t (28) • J壬 + 壬 l(4 土 0.93)1 2 w 0.025 10 20即 (3.07,4.93)3.两个正态总体方差比的区间估计设总体X〜N(卩Q2),Y〜N(卩Q2),1 1 2 2且X与Y相互独立，(X ,X…,X )来自X1 2 m的一个样本，(Y, Y，…,Y )为来自Y的一个1 2 n样本，且设X,Y,S2,S2分别为总体X与Y的 1 2样本均值与样本方差，对给定置信水平1 -a，求G 2迟2的一个置信区间。

1 ' 2S 2 / S 2据抽样分布知：1 〜F(m -1, n -1)G 2 / G 21 2由F分布的上a分位点的定义知，P{F (m -1, n -1) <1_a2S 2 /S 2—1 2-G 2 / G 21 2< F (m -1, n -1)}a2S2/S2 , S2/S2P < 1 2 < G 2 / G 2 < 1 2 >F (m -1, n -1) 1 2 F (m -1, n -1)、 a ]_a /2 2=1 — a于是得G 2 .. G 2的一个置信水平为1 -a的置1 2信区间为：S 2 /S 2 S 2 /S 2 1 2 , 1 2 F_ (m -1, n -1) F _ (m -1, n -1)\ a ]_a 丿2 2例3:研究由机器A和机器B生产的钢管的 内径，随机地抽取机器A生产的管子18只， 测得样本方差s2二0.34mm2;抽取机器B生产 1的管子13只，测得样本方差s2二0.29mm2.2设两样本相互独立，且设两机器生产的管子的内径分别服从正态分布N(卩,G2)和1 1N ( , G 2),这里卩,卩,G 2, G 2均未知，求方2 2 12 12差比G2 /G2的置信度为0.90的置信区间.1 2解：记机器A生产的钢管为总体X,机器B生产的钢管为总体Y,由题意知,X〜N（卩Q2）, Y〜N（卩Q2），且来自X与11 2 2Y的两个样本相互独立，因此，G 22 2的一 1丿2个置信水平为1 -a的置信区间为s 2 / s 2 s 2 / s 2 1 2 , 1 2 F (m -1, n -1) F (m -1, n -1)\ a ]_a 丿2 2此处,i 二丽I 二 °.05，1-（1 二m = 18, n = 13,查表求 F (17,12)二?0.05能够得到数据F (15,12) = 2.62，0.05F (20,12) = 2.54，采用线性插值方法有0.0520 -15 _ 17 -152.54 - 2.62 _ F (17,12) - 2.620.05得 F (17,12)沁 2.59 。

0.05又由F函数的性质F （m,n） _a1—得 F (n, m)1-aF (17,12) _0.951F (12,17)0.0512.38于是所求置信区间为f 034竺,034 X 2.38I 2.59 0.29即 (0.45, 2.79)由于G2.92的置信区间包含1，在实际中我1 ■ 2 们认为G 2,G 2两者没有显著差别1 2（课间休息）4. （0—1）分布参数的区间估计问题：设有一容量n > 50的大样本，它来自（0—1）分布的总体X，X的分布律为（独立同分布的中心极限定理）（林德伯格一勒维定理）设X , X ,…,X，…相互独立，服从1 2 n同一分布，且具有数学期望和方f (X； p) _ px (1 - p)1-x , x _ 0,1，其中p为未知参数现在来求p的置信水平差：E(X )=卩,D(X ) =b 2,i i为1 -a的置信区间易知(0 —1)分布的均值和方差分别为卩二 PQ 2 二 p(1 - p).设大样本X ,X，…,X来自1 2 n总体X,由中心极限定理知(0—1)分布的lim F (x) = lim P