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143§5.3 绝对连续函数与不定积分 教学目的 介绍绝对连续函数概念及性质, 证明联系微分与积分的牛顿-莱布尼兹公式. 教学要点 绝对连续函数, 不定积分, 牛顿-莱布尼兹公式. 定义1 设)(xf是定义在],[ ba上的实值函数. 若对任意,0>ε 存在,0>δ 使得对],[ ba上的任意有限个互不相交的开区间,)},{(1niiiba=当δε 存在,0>δ 使得对],[ ba中的任意可测集A , 当δε 令Mεδ = ( M是Lipschitz常数). 则当δδ 使得对],[ ba上的任意有限个互不相交的开区间,)},{(1niiiba=当δε 设δ是绝对连续函数定义中相应的正数. 现在设niiiba1)},{(=是],[ ba上的互不相交的开区间使得δε 存在],[ ba上的一个连续函数g , 使得.bafgdtε−ε的任意性我们得到() ( ) 0.bxaaf t dt f x dx′ −= ∫∫因此( ) ( ) 0 a.e..xaftdt fx′ −= ∫此即a.e..)()( xfxF =′ ■. 定理6 设f是],[ ba上的绝对连续函数, 并且在],[ ba上0)( =′ xf a.e. 则f在],[ ba上恒为常数. 证明 先证明).()( bfaf = 对任意0,>ε 存在,0>δ 使得对],[ ba上的任意有限个互不相交的开区间,)},{(1niiiba=当1()niiiba δ=−h 使得当),( hyhyy +−∈′时, .)()( yyyfyf −′ε的任意性得到).()( bfaf = 对任意],,[ bax∈ 用],[ xa代替],[ ba , 同样可以得到).()( afxf =因此f在],[ ba上恒为常数.■ 定理7 (微积分基本定理)设)(xf是定义在],[ ba上的实值函数. 则成立牛顿-莱布尼兹公式 () () () , [,]xaf xfa ftdtxab′−= ∈∫(2) 的充要条件是)(xf是绝对连续函数. 证明 由例1即知必要性成立. 往证充分性. 设)(xf是绝对连续的. 由推论3, f在],[ ba上几乎处处可导, 并且f ′是Lebesgue可积的. 令 () () () ,xax fx f tdtϕ′=−∫.],[ bax∈ (4) 由定理5知道, 在],[ ba上0)( =′ xϕ a.e.. 根据定理6, )(xϕ在],[ ba使恒为常数. 因此).()()( afax ==ϕϕ 代入(4)即得(2).■ 推论8 (分部积分公式)设gf ,是],[ ba上的绝对连续函数. 则成立 .bbbaaafgdx fg gfdx′′=−∫∫(5) 证明 容易知道fg是],[ ba上的绝对连续函数. 利用定理7, 我们有 () () () () ( ) .bbbaaaf bgb faga fg dx fgdx gfdx′′′−= =+∫ ∫∫由此即得(5). 推论证毕. 小 结 由于绝对连续函数的引进, 微积分基本定理成功地推广到Lebesgue积分. 这使得Lebesgue积分理论更加完善, 同时这也是新的积分理论成功的一个有力例证. 习 题 习题五, 第15题—第30题. 。