最速降线问题.doc

最速降线问题“想象一种小球，仅受重力，从点 A 出发沿着一条没有摩擦的斜坡滚至点 B如何设计这条斜坡，才干让小球在最短的时间内达到点 B？”这个在数学史上被称为“最速降线”的出名问题，最早是由出名的意大利科学家伽利略（Galileo Galilei）于 1630 年提出来的她在研究后觉得最速降线应当是圆弧，但可惜的是这个答案并不是对的的时间又过了 60 近年，1696 年 6 月，来自瑞士巴塞尔（Barsel，这座都市不仅是数学世家伯努利的家乡，也是欧拉的家乡，有一种由欧拉解决的出名数论问题就是以这座都市命名的）的约翰・伯努利（Johann Bernoulli）在《教师学报》（Acta Eruditorum）上又重新提出这个问题，并向全欧洲的数学家提出公开挑战这个别出心裁却又十分容易理解的问题吸引了当时全欧洲的数学家，而最后给出了对的解答的人也都是数学史上赫赫有名的巨人这也让这次挑战成为了数学史上最激动人心的一场公开挑战数学家之间公开挑战的老式要追溯到 16 世纪在乎大利的博洛尼亚（Bologna）16 世纪初的博洛尼亚曾是欧洲数学思想的大熔炉，全欧洲的学生都会来到博洛尼亚大学她们甚至还“发明”了一项新的欣赏运动——数学比赛。

这听起来有些匪夷所思，但在当时的确有大批的观众从各地涌来，围观数学家们互相之间用数学斗法其中最有名的一次，是在塔塔里亚（Tartaglia）和费奥（Fior）间上演的，是一场有关求出一元三次方程通解的世纪智力大战言归正传，在约翰・伯努利发出挑战后的半年里，她收到的唯一一份答案来自《教师学报》的主编，她的教师莱布尼茨（Gottfriend Wilhelm Leibniz）在莱布尼茨的规定下，她将接受答案的最后期限推迟到 1697 年的复活节，以便有更多的数学家能参与到这场挑战中来我们都懂得，过两点的直线段是两点间的最短途径但使质点的运动时间最短的运动轨迹，却不是那么的显而易见这个问题和以往人们见过的那些求极值的问题是有本质区别的借助微积分，人们可以求出一种函数的极值；但最速降线问题规定的并不是某个老式函数的极值点，而是要在一簇曲线（过 A、B 两点的所有曲线）中，求出能让质点运动时间最短的那条这是一种以函数（小球的运动轨迹）为自变量，以实数（小球运动的时间）为函数值的函数，也就是所谓的泛函我们规定的就是这样一种泛函的极值正如后文将要简介的那样，此类问题形成了一种全新的数学分支——变分学1697 年的复活节不久就到了，约翰・伯努利一共收到了五份对的答案。

这五份答案分别来自她自己，她的教师莱布尼茨，她的哥哥雅各布・伯努利（Jakob Bernoulli），她的学生洛必达（Guillaume Francois Antonie de L'Hospital），尚有一位来自英国的匿名数学家最后这份答案虽然没有签名，但显然出自赫赫有名的牛顿（Issac Newton）之手虽然五人的解法各不相似，但她们的答案全都同样——最速降线就是摆线同一种答案所谓摆线（cycloid），就是当圆沿一条直线运动时，圆周上一定点所形成的轨迹其实当时的数学家对这种曲线并不陌生，帕斯卡和惠更斯都曾研究过这一重要的曲线但大部分人都没有想到，这条线同步也是人们苦苦追寻的最速降线而我们人们对摆线也不陌生还记得小时候玩过的那种可以画出多种美丽曲线的玩具吗？一块塑料板上开着几种圆形的大洞，尚有几块较小的圆形塑料片，不同半径处留有某些孔把这些看似一般的小圆片放进大圆孔中，再将圆珠笔插在小孔里并带动小圆片沿着大圆的圆周运动，就能在纸上留下多种美丽的曲线这些曲线也都是摆线，只但是是另一种被称为“内摆线”（hypocycloid）的摆线它们是由给定圆在另一种圆内运动时，圆周上一定点形成的轨迹。

不同的解法让我们回到众人给出的最速降线的解法上莱布尼茨、牛顿、洛比达都是用她们擅长的微积分来解决这个问题的伯努利兄弟的解法就值得特别地说一说了约翰的解法应当是最美丽的解法了她运用了费马原理（Fermat's principle），将小球的运动类比成光线的运动费马原理又叫做“最短光时”原理，说的是光线在传播时总会选择光程极短的那条途径那么，“最速降线”就是在光速随高度下降而增长（加速度恒为重力加速度 g）的介质里光线传播的途径用这样的类比思想，约翰成功地算出了这条曲线就是前面提到的摆线这种解法出人意料地用到了费马原理，实在是太巧妙了！在物理学中，费马原理被觉得是“最小作用量原理”（principle of least action）在几何光学中的特例 而最小作用量原理则是物理学定律普遍遵循的规律，甚至被称为“物理定律的定律”不知你想过没有，当我们将一种小球抛出后，它为什么会沿着所谓的抛物线运动？你也许会说，由于小球只受重力作用，根据牛顿第一定律，它在水平方向上速度恒定不变；而根据牛顿第二定律，它在竖直方向上做匀变速运动这两个运动合起来就使得小球的运动轨迹成了一条抛物线这的确不错，但目前让我们换一种角度来考虑这个问题。

从整体的角度考虑，小球在被抛出后，为什么不沿着其她的途径运动，却总是沿着抛物线运动呢？同样，我们在考察了连接小球起点和终点的所有曲线后，会发现只有在沿着抛物线运动时，小球的动能和势能的差在运动过程中对时间的积分（这就是所谓的“作用量”）才是最小的注意，在这里我们同样是在一簇曲线中，求出一条曲线使得某个量达到极值这种在一簇曲线中，求出某条曲线使得函数取到极值的思想就是变分的核心思想也就是说，我们又是在用变分求泛函的极值再回过头来看看约翰・伯努利的哥哥——雅各布・伯努利的解法虽然雅各布的解法相对于约翰的解法来说更复杂更麻烦，但她的解法更具有一般性，体现了变分的思想约翰的学生，伟大的数学家欧拉吸取了这一思想，并从 1726 年开始刊登有关的论文，最后于 1744 年一方面给出了此类问题的解法，并创立了变分学这一新的数学分支投资者用它来计算最大利润，工程师用它来计算最小损耗，建筑师用它来优化架构它成为了微积分理论中最强大的工具之一。