场论与复变课件第1讲课件.ppt
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课程名称课程名称复变函数复变函数复变函数复变函数教教 材材《复变函数》《复变函数》《复变函数》《复变函数》( (四版四版四版四版) )西安交通大学高等数学教研室西安交通大学高等数学教研室西安交通大学高等数学教研室西安交通大学高等数学教研室 编编编编总总 学学 时时36学时学时教师姓名 付少忠付少忠课程简介课程简介《场论与复变》课件第1讲 对对 象象复变函数（自变量为复数的函数）复变函数（自变量为复数的函数）主要任务主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分具体地就是复数域上的微积分主要内容主要内容复变函数的积分、级数、留数、复变函数的积分、级数、留数、共形映射等共形映射等复数与复变函数、解析函数、复数与复变函数、解析函数、《场论与复变》课件第1讲 学习方法复变函数中许多概念、理论、和复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似广和发展，它们之间有许多相似之处但又有不同之处，在学习之处但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结意复数域上特有的那些性质与结果。
果《场论与复变》课件第1讲 背 景背 景 复复数数是是十十六六世世纪纪人人们们在在解解代代数数方方程程时时引引进进的的为为使使负负数数开开方方有有意意义义，，需需要要再再一一次次扩扩大大数数系系，，使使实实数数域域扩扩大大到到复复数数域域但但在在十十八八世世纪纪以以前前，，由由于于对对复复数数的的概概念念及及性性质质了了解解得得不不清清楚楚，，用用它它们们进进行行计计算算又又得得到到一一些些矛矛盾盾，，所所以以，，在在历历史史上上长长时时期期人人们们把把复复数数看看 作作 不不 能能 接接 受受 的的 “虚虚 数数 ” 直直 到到 十十 八八 世世 纪纪 ，，J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等等人人逐逐步步阐阐明明了了复复数数的的几几何何意意义义和和物物理理意意义义，，澄澄清清了了复复数数的的概概念念，，并并且且应应用用复复数数和和复复变变函函数数研研究究了了流流体体力力学学等等方方面面的的一一些些问问题题复复数数才才被被人人们们广广泛泛承承认认接接受受，，复变函数论才能顺利建立和发展复变函数论才能顺利建立和发展《场论与复变》课件第1讲 复复变变函函数数的的理理论论基基础础是是十十九九世世纪纪奠奠定定的的。
uchy （（1789-1866)和和K.Weierstrass(1815-1897)分分别别应应用用积积分分和和级级数数研研究究复复变变函函数数，，G.F.B.Riemann (1826-1866)研研究究复复变变函函数数的的映映射射性性质质他他们们是是这这一一时时期期的的三三位位代代表表人人物物经经过过他他们们的的巨巨大大努努力力，，复复变变函函数数形形成成了了非非常常系系统统的的理理论论，，且且渗渗透透到到了了数数学学的的许许多多分分支支，，同同时时，，它它在在热热力力学学，，流流体体力力学学和和电电学学等等方方面面也也得得到到了了很很多多的的应应用 二二十十世世纪纪以以来来，，复复变变函函数数已已被被广广泛泛地地应应用用在在理理论论物物理理、、弹弹性性理理论论和和天天体体力力学学等等方方面面，，与与数数学学中中其其它它分分支的联系也日益密切支的联系也日益密切《场论与复变》课件第1讲 第一讲 复数《场论与复变》课件第1讲 &&& 1. 1. 复数的概念复数的概念复数的概念复数的概念&&& 2. 2. 代数运算代数运算代数运算代数运算&&& 3. 3. 共轭共轭共轭共轭复数复数复数复数CH1 §1§1复数及其代数运算复数及其代数运算《场论与复变》课件第1讲 A 一般一般, , 任意两个复数不能比较大小。
任意两个复数不能比较大小1. 复数的概念复数的概念 定义定义 对任意两实数对任意两实数x、、y ,称称 z=x+iy或或z=x+yi为为复数•复数复数z 的实部的实部 Re(z) = x ; 虚部虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)• 复数的模复数的模• 判断复数相等判断复数相等《场论与复变》课件第1讲 定义定义 z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：的和、差、积和商为： z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2. 代数运算代数运算•四则运算四则运算四则运算四则运算《场论与复变》课件第1讲 z1+z2=z2+z1；；z1z2=z2z1；；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；；z1(z2z3)=(z1z2)z3；；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .•运算规律运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律。
复数的运算满足交换律、结合律、分配律与实数相同与实数相同）即，）即，《场论与复变》课件第1讲 •共轭复数的性质共轭复数的性质3.共轭复数共轭复数定义定义 若若z=x+iy , 称称 z=x-iy 为为z 的共轭复数的共轭复数.(conjugate)《场论与复变》课件第1讲 《场论与复变》课件第1讲 《场论与复变》课件第1讲 && 1. 1. 点的表示点的表示点的表示点的表示&& 2. 2. 向量表示法向量表示法向量表示法向量表示法&& 3. 3. 三角表示法三角表示法三角表示法三角表示法&& 4. 4. 指数表示法指数表示法指数表示法指数表示法§2 复数的表示方法复数的表示方法《场论与复变》课件第1讲 1. 点的表示点的表示点的表示：点的表示：A 数数z z与点与点z z同义同义. .《场论与复变》课件第1讲 2. 向量表示法向量表示法A oxy(z)P(x,y)xy 称向量的长度为复数称向量的长度为复数z=x+iy的的模模或或绝对值绝对值；；以正实轴以正实轴 为始边为始边, 以以 为终边的角的为终边的角的弧度数弧度数 称为复数称为复数z=x+iy的的辐角辐角.(z≠0时时)《场论与复变》课件第1讲 辐角无穷多：辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ，， k∈∈Z，，把其中满足把其中满足 的的θ0称为辐角称为辐角Argz的主值，的主值，记作记作θ0=argz。
A z=0z=0时，辐角不确定时，辐角不确定 计算计算argz(z≠0) 的公式的公式《场论与复变》课件第1讲 A 当当z z落于一落于一, ,四象限时，不变四象限时，不变 A 当当z z落于第二象限时，加落于第二象限时，加 A 当当z z落于第三象限时，减落于第三象限时，减 《场论与复变》课件第1讲 oxy(z) z1z2 z1+z2z2- z1由向量表示法知由向量表示法知3. 三角表示法三角表示法4. 指数表示法指数表示法《场论与复变》课件第1讲 引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形程（或不等式）来确定它所表示的平面图形例例1 用复数方程表示用复数方程表示:（（1）过两点）过两点 zj=xj+iyj (j=1,2)的直线；的直线；（（2）中心在点）中心在点(0, -1), 半径为半径为2的圆oxy(z)Lz1z2z解解 （（1）） z=z1+t (z2-z1) （（-∞ 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加证明证明 设设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2 则则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2) = r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] =r1r2e i(θ1+θ2) 1. 乘积与商乘积与商因此因此 |z1z2|=r1r2，，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2《场论与复变》课件第1讲 几何意义几何意义 将复数将复数z1按按逆时针逆时针方向旋转一个角度方向旋转一个角度 Argz2，，再将其伸缩到再将其伸缩到|z2|倍A 定理定理1 1可推广到可推广到n 个复数的乘积个复数的乘积oxy(z)z1z2z2《场论与复变》课件第1讲 要使上式成立要使上式成立,必须且只需必须且只需 k=m+n+1.《场论与复变》课件第1讲 定理定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差。 数的辐角之差证明证明 Argz=Argz2-Argz1 即：即：由复数除法的定义由复数除法的定义 z=z2 /z1，即，即 z1z = z2∵∵|z||z1|=|z2|及及Argz1+Argz=Arg z2（（ z1≠0））《场论与复变》课件第1讲 设设z=re iθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明明 zn=rn(cos nθ+isin nθ)=rn einθ2.复数的复数的乘幂乘幂定义定义 n个相同的复数个相同的复数z 的乘积，称为的乘积，称为z 的的n次幂，次幂， 记作记作z n，即，即z n=z z z（（共共n个）定义定义特别：当特别：当|z|=1时，即：时，即：zn=cosnθ+isin nθ，则有，则有 (cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ 一棣模佛一棣模佛(De Moivre)公式《场论与复变》课件第1讲 问题问题 给定复数给定复数z=re i ，求所有的满足，求所有的满足ωn=z 的的 复数复数ω。 3.复数的复数的方根方根（开方）（开方）——乘方的逆运算乘方的逆运算 当当z≠0时，有时，有n个不同的个不同的ω值与值与 相对应，每一相对应，每一个这样的个这样的ω值都称为值都称为z 的的n次方根，次方根，《场论与复变》课件第1讲 A 当当k=0=0，，1 1，，……，，n-1-1时，可得时，可得n个不同的根，个不同的根， 而而k取其它整数时，这些根又会重复出现取其它整数时，这些根又会重复出现几何上几何上，， 的的n个值是个值是以原点为中心，以原点为中心， 为半为半径的圆周上径的圆周上n个等分点，个等分点，即它们是内接于该圆周即它们是内接于该圆周的正的正n边形的边形的n个顶点xyo《场论与复变》课件第1讲 《场论与复变》课件第1讲 && 1. 1. 区域的概念区域的概念区域的概念区域的概念&& 2. 2. 简单曲线（或简单曲线（或简单曲线（或简单曲线（或JordanJordan曲线曲线曲线曲线) )&& 3. 3. 单连通域与多连通域单连通域与多连通域单连通域与多连通域单连通域与多连通域§4 §4 区区 域域《场论与复变》课件第1讲 1. 区域的概念区域的概念•邻域邻域复平面上以复平面上以 z 0为中心，任意为中心，任意δ> 0为半径的为半径的圆圆 | z -z 0|<δ(或或 0 <| z –z 0|<δ) 内部的点内部的点的集合称为点的集合称为点 z 0 的的δ（（去心去心）邻域）邻域 。 记为记为ＵＵ(z0 ,δ) 即，即，设设G是一平面上点集是一平面上点集内点内点 对任意对任意z0属于属于G，若存在，若存在ＵＵ(z 0 ,δ)，， 使该使该邻邻 域内的所有点都属于 域内的所有点都属于G，则称，则称z 0是是G的内点《场论与复变》课件第1讲 开集开集 若若G内的每一点都是内的每一点都是 内点，则称内点，则称G是开集连通连通是指是指•区域区域 设设 D是一个开集，是一个开集， 且且D是连通的，称是连通的，称 D是一个区域是一个区域D-区域区域边界与边界点边界与边界点 已知点已知点P不属于不属于D，若点，若点P的任何的任何邻域中都包含邻域中都包含D中的点及不属于中的点及不属于D的点，则称的点，则称P是是D的边界点；的边界点；内点内点外点外点D的所有边界点组成的所有边界点组成D的边界P《场论与复变》课件第1讲 有界区域与无界区域有界区域与无界区域若存在若存在 R > 0, 对任意对任意 z ∈∈D, 均有均有z∈∈G={z | |z| 否则无界•闭区域闭区域 区域区域D与它的边界一起构成闭区域与它的边界一起构成闭区域,《场论与复变》课件第1讲 《场论与复变》课件第1讲 2. 简单曲线（或简单曲线（或Jardan曲线曲线)令令z(t)=x(t)+iy(t) a≤t≤b ;则曲线方程可记为：则曲线方程可记为：z=z(t)，， a≤t≤b有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线《场论与复变》课件第1讲 重点重点 设连续曲线设连续曲线C：：z=z(t)，，a≤t≤b，，对于对于t1∈∈(a，，b), t2 ∈∈[a, b],当当t1≠t2时，若时，若z(t1)=z(t2)，，称称z(t1)为曲线为曲线C的重点 定义定义 称称没有重点没有重点的连续曲线的连续曲线C为简单曲线或为简单曲线或 Jardan曲线曲线;若简单曲线若简单曲线C 满足满足z(a)=z(b)时，则称时，则称此曲线此曲线C是简单是简单闭闭曲线或曲线或Jordan闭闭曲线曲线 z(a)=z(b)简单闭曲线简单闭曲线z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线不是简单闭曲线《场论与复变》课件第1讲 3. 单连通域与多连通域单连通域与多连通域简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质 任一条简单闭曲线任一条简单闭曲线 C：：z=z(t)，， t∈∈[a，，b]，把复，把复平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为的内部；一个是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界。 的外部；还有一个是它们的公共边界z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)内部内部外部外部边界边界定义定义 复平面上的一个区域复平面上的一个区域 B ，，如果如果B内的任何简单闭曲线的内的任何简单闭曲线的内部总在内部总在B内内，就称，就称 B为单连通为单连通域；非单连通域称为多连通域域；非单连通域称为多连通域《场论与复变》课件第1讲 例如例如 |z|
