自然数平方和推导公式.doc

1前 n 个正整数的平方和公式的推导 已知，(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 所以 (n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1 依次有 n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-2)^2+3(n-2)+1(n-2)^3-(n-3)^3=3(n-3)^2+3(n-3)+1………………………………3^3-2^3=3*2^2+3*2+12^3-1^3=3*1^2+3*1+1 以上的 n 个等式的两边分别相加得到： (n+3)^3-1 =3(1^2+2^2+3^2+……+n^2) +3(1+2+3+……+n) +(1+1+……+1)所以(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+……+n^2)+3n(n+1)/2+n 因此 1^2+2^2+3^2+……+n^2=[(n^3+3n^2+3n)-3n(n+1)/2-n]/3 =(2n^3+3n^2+n)/6 =n(n+1)(2n+1)/6平平方方和和公公式式 n n( (n n+ +1 1) )( (2 2n n+ +1 1) )/ /6 6 即即 1 1^ ^2 2+ +2 2^ ^2 2+ +3 3^ ^2 2+ +……+ +n n^ ^2 2= =n n( (n n+ +1 1) )( (2 2n n+ +1 1) )/ /6 6 ( (注注：：n n^ ^2 2= =n n 的的平平方方) ) 编编辑辑本本段段证证明明方方法法证证法法一一（归纳猜想法）： 1、N=1 时，1=1（1+1）（2×1+1）/6=1 2、N=2 时，1+4=2（2+1）（2×2+1）/6=5 3、设 N=x 时，公式成立，即 1+4+9+…+x2=x(x+1)(2x+1)/6 则当 N=x+1 时， 1+4+9+…+x2+（x+1）2=x(x+1)(2x+1)/6+（x+1）2 =（x+1）[2（x2）+x+6（x+1）]/6 =（x+1）[2（x2）+7x+6]/6 =（x+1）（2x+3）（x+2）/6 =（x+1）[（x+1）+1][2（x+1）+1]/6 也满足公式 4、综上所述，平方和公式 1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 成立， 得证。

证证法法二二2(利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1） ： (n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1, n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1 .............................. 3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1 2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1. 把这 n 个等式两端分别相加，得： (n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n, 由于 1+2+3+...+n=(n+1)n/2, 代入上式得： n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n 整理后得： 1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 a^2+b^2=a(a+b)-b(a-b) 证证法法三三（（见见下下图图））：： 证证法法四四（（排排列列组组合合法法，，见见下下图图））：： 3。