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重积分的应用(考研数学精华课件).ppt

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卖家[上传人]：wt****50

文档编号：56615589

上传时间：2018-10-14

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第四节重积分的应用,一、几何应用（一）立体的体积（二）曲面的面积二、物理应用（一）质量（二）质心（三）转动惯量,一、几何应用,（一）立体的体积,1．设为以xOy面上的闭区域 D 为底以曲面,为顶的曲顶柱体，即,则的体积,2．设,则的体积,3．设为任意空间闭区域，,则的体积,解,由对称性可知,,,解一,,,解二,解,,,(三)曲面的面积,１．设曲面的方程为：,２．设曲面的方程为：,则曲面的面积为：,则曲面的面积为：,３．设曲面的方程为：,则曲面的面积为：,设曲面的方程为：,公式推导：,解,解,二、物理应用,（一）质量,1．平面薄片的质量,2．空间物体的质量,（二）质心,1．平面薄片的质心,2．空间物体的质心,均匀薄片（物体）的质心又称为该薄片（物体）所占平面图形（空间立体）的形心．,空间立体的形心坐标为：,平面图形的形心坐标为：,注,（三）转动惯量,1．平面薄片的转动惯量,2．空间物体的转动惯量,,例6 求位于两圆,和,图形的形心.,,解利用对称性可知,而,之间的平面,,故所求形心为,例7 求底半径为 R 高为 h 的均匀圆锥体的质心．,解,建立如图所示的空间直角坐标系，则圆锥所占有的,空间闭区域为,其中，,由对称性，,故所求质心坐标为,解,其中：,（四）引力,1．平面薄片对位于点处的质点的引力,m为质点的质量．,为薄片的面密度，,G为引力常数，,,其中：,2．空间物体对位于点处的质点的引力,m为质点的质量．,为物体的密度，,G为引力常数，,,解,由对称性知,所求引力为,例10 求半径 R 的均匀球体,对位于点,的单位质量质点的引力.,解利用对称性知引力分量,,,,,,（其中M为球的质量）,。

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