2004高考数学全国卷及答案文.doc

2004 年高考试题全国卷 1 文科数学（必修+选修 I）(河南、河北、山东、山西等地区)本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分. 共 150 分. 考试时间 120 分钟.第 I 卷（选择题 共 60 分）参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B） 如果事件 A、B 相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 Pn(k)=C Pk(1－P)n－k k n一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分奎屯王新敞新疆 . 1．设集合 U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则 A∩（B）=（ UC） A．{2}B．{2，3}C．{3}D． {1，3}2．已知函数（ )(,21)(,11lg)(afafxxxf则若）A．B．－C．2D．－221 213．已知均为单位向量，它们的夹角为 60°，那么||=（ , a brr3abrr）A．B．C．D．4710134．函数的反函数是（ 1 1(1)yxx ）球的表面积公式 S=42R 其中 R 表示球的半径， 球的体积公式V=，3 34R其中 R 表示球的半径A．B．) 1(222xxxy) 1(222xxxyC．D．) 1(22xxxy) 1(22xxxy5．的展开式中常数项是（ 73)12(xx ） A．14B．－14C．42D．－426．设若则=（ )2, 0(,53sin)4cos(2）A．B．C．D．457 51 277．椭圆的两个焦点为 F1、F2，过 F1作垂直于轴的直线与椭圆相交，一个交1422  yxx点为 P，则=（ ||2PF）A．B．C．D．4233278．设抛物线的准线与轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 与抛物线有公共点，则直xy82xl线 的斜率的取值范围是（ l ）A．B．[－2，2]C．[－1，1]D．[－4，4]]21,21[9．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ )62sin(xyxy2cos）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度6 3C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度6 310．已知正四面体 ABCD 的表面积为 S，其四个面的中心分别为 E、F、G、H，设四面体 EFGH的表面积为 T，则等于（ ST）A．B．C．D．91 94 41 3111．从 1，2，……，9 这九个数中，随机抽取 3 个不同的数，则这 3 个数的和为偶数的概 率是 （ ）A．B．C．D．95 94 2111 211012．已知的最小值为（ cabcabaccbba则, 2, 2, 1222222）A．－B．－C．－－D．+321 213213213第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在题中横线上.13．不等式 x+x3≥0 的解集是 .14．已知等比数列{则该数列的通项= .,384, 3,}103aaan中na15．由动点 P 向圆 x2+y2=1 引两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为 .16．已知 a、b 为不垂直的异面直线，是一个平面，则 a、b 在上的射影有可能是 .①两条平行直线②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． （本小题满分 12 分）等差数列{}的前 n 项和记为 Sn.已知na.50,302010aa（Ⅰ）求通项；na（Ⅱ）若 Sn=242，求 n.18． （本小题满分 12 分）求函数的最小正周期、最大值和最小值.xxxxxxf2sin2cossincossin)(224419． （本小题满分 12 分）已知在 R 上是减函数，求的取值范围.13)(23xxaxxfa20． （本小题满分 12 分） 从 10 位同学（其中 6 女，4 男）中随机选出 3 位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为，每位男同学能通过测验的概率均为.试求：54 53（I）选出的 3 位同学中，至少有一位男同学的概率； （II）10 位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.21． （本小题满分 12 分） 如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD，侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形，底面 ABCD 为菱形，侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为 120°. （I）求点 P 到平面 ABCD 的距离； （II）求面 APB 与面 CPB 所成二面角的大小.22． （本小题满分 14 分）设双曲线 C：相交于两个不同的点 A、B.1:)0( 12 22 yxlayax与直线（I）求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围：（II）设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且求 a 的值..125PBPA 2004 年高考试题全国卷 1 文科数学（必修+选修 I）(河南、河北、山东、山西)参考答案一、选择题一、选择题DBCBABCCBACB 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.13．{x|x≥0} 14．3·2n－3 15． 16．①②④422 yx三、解答题三、解答题 17．本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力.满分 12 分.解：（Ⅰ）由得方程组,50,30,) 1(20101aadnaan……4 分 解得 所以 ……7 分  .5019,30911 dada. 2,121da.102  nan（Ⅱ）由得方程242,2) 1(1nnSdnnnaS……10 分 解得………12 分.24222) 1(12nnn).(2211舍去或nn18．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函数的有关性质.满分 12 分.解：xxxxxxxfcossin22cossin)cos(sin)(22222.212sin41)cossin1 (21)cossin1 (2cossin122xxxxxxx所以函数的最小正周期是，最大值是最小值是…………12 分)(xf,43.4119．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合 运用数学知识解决问题的能力.满分 12 分.解：函数 f(x)的导数：………………3 分. 163)(2xaxxf（Ⅰ）当（）时，是减函数.0)( xfRx)(xf)(01632Rxxax. 3012360aaa且所以，当是减函数；………………9 分))((, 0)(,3Rxxfxfa知由时（II）当时，=3a133)(23xxxxf,98)31(33x由函数在 R 上的单调性，可知3xy 当时，）是减函数；3aRxxf)((（Ⅲ）当时，在 R 上存在一个区间，其上有3a, 0)( xf所以，当时，函数不是减函数.3a))((Rxxf综上，所求的取值范围是（………………12 分a].3,20．本小题主要考查组合，概率等基本概念，独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知 识 解决实际问题的能力，满分 12 分. 解：（Ⅰ）随机选出的 3 位同学中，至少有一位男同学的概率为1－；………………6 分653 103 6CC（Ⅱ）甲、乙被选中且能通过测验的概率为………………6 分；………………12 分.1254 53 543 101 8CC21．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、 运算能力.满分 12 分.（I）解：如图，作 PO⊥平面 ABCD，垂足为点 O.连结 OB、OA、OD、OB 与 AD 交于 点 E，连结 PE.∵AD⊥PB，∴AD⊥OB， ∵PA=PD，∴OA=OD， 于是 OB 平分 AD，点 E 为 AD 的中点，所以 PE⊥AD. 由此知∠PEB 为面 PAD 与面 ABCD 所成二面角的平面角，………………4 分∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得 PE=3∴PO=PE·sin60°=，23 233即点 P 到平面 ABCD 的距离为.………………6 分23（II）解法一：如图建立直角坐标系，其中 O 为坐标原点，x 轴平行于 DA..连结 AG.)43,433, 0(),0 ,233, 0(),23, 0 , 0(的坐标为中点GPBBP又知由此得到：).0 ,233, 2(),0 ,23, 1 (CA0, 0).0 , 0 , 2(),23,233, 0(),43,43, 1 (PBBCPBGABCPBGA于是有所以的夹角BCGAPBBCPBGA,.等于所求二面角的平面角，…………10 分于是,772||||cos  BCGABCGA所以所求二面角的大小为.…………12 分772arccos解法二：如图，取 PB 的中点 G，PC 的中点 F，连结 EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG//BC，FG=BC.21∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB， ∴∠AGF 是所求二面角的平面角.……9 分 ∵AD⊥面 POB，∴AD⊥EG. 又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.在 Rt△PEG 中，EG=PE·cos60°=.23在 Rt△PEG 中，EG=AD=1. 于是 tan∠GAE==，21 AEEG 23又∠AGF=π－∠GAE. 所以所求二面角的大小为 π－arctan.…………12 分2322． （本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想 和综合解题能力.满分 14 分. 解：（I）由 C 与 t 相交于两个不同的点，故知方程组. 1, 12 22yxyax有两个不同的实数解.消去 y 并整理得 （1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ① ……2 分. 120. 0)1 (84. 012242 aaaaaa且解得所以双曲线的离心率分的取值范围为即离心率且且6).,2()2,26(226, 120. 11122LLUQeeeaaaaae（II）设) 1 , 0(),,(),,(12211PyxByxA……8 分.125).1,(125) 1,(,125212211xxyxyxPBPA由此得Q由于 x1，x2都是方程①的根，且 1－a2≠0，分所以由得消去所以14.1317, 060289 12,,.12 125,12 121722222 2 2222LLLaaaaxaaxaax。